🔖 キーワード索引

「Ward 法」を理解するうえで必要なキーワードを 10 件以上提示します。 各チップから対応セクションへ移動できます。

30 秒結論 文脈 直感 数式 記号読み解き 実値計算 Python 実装 落とし穴 関連手法 関連用語 グループ教材 概念マップ

🔖 キーワード索引

🎨 直感で掴む

Ward 法によるデンドログラム。 縦軸は結合距離（=分散増加量）。 均等な階層構造が形成されている。

🎓 Ward 法の理論的背景

分散最小化との関係

Ward 法は実はk-means と密接に関連しています。 両者とも「クラスタ内分散の最小化」を目的としますが：

• k-means：大域的に最小化（複数の中心を同時に動かす）
• Ward 法：貪欲的に最小化（一度に1つの結合を決定）

つまり Ward 法は「貪欲な k-means」とも言える。 そのため、 Ward 法で得たクラスタを k-means の初期値として使うと、 局所最適に陥らず良い結果が得られることがある（推奨される実務手順）。

結合基準の意味

$\Delta(A,B) = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B} \|\mu_A - \mu_B\|^2$

この変形を見ると、 結合判定は「2クラスタ中心の距離 × サイズの調和平均」。 つまり：

• 2中心が離れていれば結合 $\Delta$ は大
• クラスタが大きいほど結合コスト $\Delta$ は大（大きいクラスタは結合に抵抗）

結果として、 「小さく似ているクラスタ同士」が優先的に結合されます。 これが均等なクラスタを生む数学的根拠。

歴史と発展

Joe H. Ward Jr. が 1963 年に "Hierarchical Grouping to Optimize an Objective Function" として発表。 元々は航空宇宙工学での分類問題に動機づけられた。 その後、 心理学、 生物学、 マーケティングなど幅広い分野で標準ツールに。

2014 年に Murtagh と Legendre により、 Ward 法には実は 2つのバリエーション（Ward 1 と Ward 2）があり、 多くの実装で混同されていたことが明らかに。 R の hclust(method="ward.D2") と method="ward.D" はこの違い。 通常は ward.D2（正式な Ward 法）を使うのが正しい。

k-means との使い分け

推奨ワークフロー：n < 1000 なら Ward 法で階層構造を確認 → 適切な k を決定 → 必要なら k-means で再計算。 n が大きければ最初から k-means。

🎨 直感で掴む

Ward 法 を一言でいえば「47都道府県を Ward 法で 4 クラスタに分割」。 47 都道府県という小さな母集団でも、 SSDSE-B-2026 の A1101 列に注目すると、 大都市圏と地方の差・人口規模に伴う相対比較など、 様々なパターンが見えてきます。

比喩でいうと、 Ward 法 はデータ分析の「眼鏡」のようなもの。 同じデータでも眼鏡を変えれば、 平均（中心）・分散（ばらつき）・相関（連動）・因果（影響）と、 異なる情報が浮かび上がります。 SSDSE-B-2026 を題材に、 この眼鏡をかけてみるのが本ページの狙いです。

• 具体例 1：47 都道府県の A1101 の中央値 ± 四分位を見ると、 規模感が掴める。
• 具体例 2：A4101 と組み合わせて散布図にすると、 群構造が見える。
• 具体例 3：政令指定都市の有無で群分けすると、 介入研究の素材になる。

🎨 概念図で押さえる

Ward 法は 「2 クラスタを合体させた時の群内平方和の増加量を最小化」 する階層的クラスタリング手法。 以下 3 図で「凝集の手順」「ESS の変化」「他連結法との比較」を可視化する。

図 1: Ward の凝集ステップ

→ 毎ステップで 「合体後の ESS 増加が最小」 なペアを選ぶ。 ESS = Σ‖xᵢ − 重心‖². 結果として均等サイズのクラスタが得られやすい。

図 2: クラスタ数 K と総 ESS の関係 (エルボー)

→ K を増やすほど ESS は単調減少。 急激な減少が止まる「肘」 がクラスタ数の候補。 SSDSE-B-2026 都道府県では K=4 (関東/関西/地方都市/地方) が定番。

図 3: 連結法ごとのクラスタ形状

→ Ward は均等な球状クラスタ、 single は鎖状に伸びる、 complete は外れ値を単独クラスタにする。 都道府県分類は均等性が望ましいので Ward が第一選択。

📊 補足図 — デンドログラムと距離分布

→ SSDSE-B-2026 の 47 都道府県を Ward 法で階層クラスタリングした樹形図。 縦軸は群間距離（クラスタ統合時の SSE 増分）。 高さで切ると k 個のクラスタが得られる。

→ デンドログラムの一般形。 縦軸は併合時の距離、 横軸は各サンプル。 高さ閾値で水平に切ると最終的なクラスタが決まる。 Ward は階段が滑らかになりやすい。

🧪 理解度チェック — Ward 法

1. Q1. Ward 法が最小化する基準を一言で答えよ（SSE 増分・分散）。
2. Q2. 凝集型階層クラスタリングの単連結（single）・完全連結（complete）・群平均（average）・Ward の中で、 「球状クラスタ」を生み出しやすいのはどれか？
3. Q3. Ward 法は距離行列にユークリッド距離以外を使うとなぜ歪むのか？（SSE 定義の前提）。
4. Q4. SSDSE-B-2026 の都道府県 47 件を Ward で 4 群に分けたい。 scipy.cluster.hierarchy.fcluster の引数はどう書くか？
5. Q5. Ward 法と k-means の関係を 1 行で述べよ（共通の目的関数）。

📊 連結法の比較（補足表）

→ Ward は k-means と同じ目的関数（SSE）を凝集型で最適化する。 都道府県分類のように均等な群を作りたいときに最適。

関連: 階層クラスタリング / k-means / デンドログラム / クラスタリング / 距離（距離関数）

🔢 数式に値を入れて手で計算する — 3次元データで Ward 法を完全追跡

3 点の 3 次元データを使い、「①Ward 距離（分散増加量）」「②Lance-Williams 更新式」「③最終的な総合判定（どのペアを結合するか）」の 3 式を Step 別に手計算し、Python で一致を確認する。

このコードでやること：p1=[1,2,3], p2=[4,5,6], p3=[7,8,9] の 3 点 3 次元データで Ward 法を手計算 → Python で再現 → 一致を確認する。

📥 入力データ：

式 1 — Ward 距離（分散増加量）

$$ \Delta(A,B) = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B}\,\|\bar{x}_A - \bar{x}_B\|^2 $$

Step 1: 各クラスタの重心

Step 2: Ward 距離 Δ(p1, p2)

Step 3: Ward 距離 Δ(p1, p3)

Step 4: Ward 距離 Δ(p2, p3)

Step 5: 総合判定 — 最初に結合するペア

式 2 — Lance-Williams 更新式

$$ d(A_{12}, p3) = \frac{n_{A}+n_{p3}}{n_T}\,d(A,p3) + \frac{n_{B}+n_{p3}}{n_T}\,d(B,p3) - \frac{n_{p3}}{n_T}\,d(A,B) $$

ここで $n_T = n_{p1} + n_{p2} + n_{p3} = 1+1+1 = 3$。

Step 6: Lance-Williams で d(A12, p3) を更新

Step 7: 直接計算で検証

このコードでやること：上記 3 ステップ（Ward 距離 → 総合判定 → Lance-Williams 更新）を scipy で再現し、リンク行列 Z の各行が手計算と一致することを確認する。

📥 入力データ：p1=[1,2,3], p2=[4,5,6], p3=[7,8,9] の配列

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import numpy as np
from scipy.cluster.hierarchy import linkage

# 3次元 3点データ
X = np.array([[1,2,3],
              [4,5,6],
              [7,8,9]], dtype=float)

# ① Ward 距離を手動確認
def ward_dist(a, b):
    na, nb = len(a), len(b)
    return (na*nb)/(na+nb) * np.sum((np.mean(a,axis=0) - np.mean(b,axis=0))**2)

print("Δ(p1,p2) =", ward_dist(X[[0]], X[[1]]))  # 13.5
print("Δ(p1,p3) =", ward_dist(X[[0]], X[[2]]))  # 54.0
print("Δ(p2,p3) =", ward_dist(X[[1]], X[[2]]))  # 13.5

# ② Lance-Williams で更新後の距離
d_A_p3  = 54.0   # Δ(p1,p3)
d_B_p3  = 13.5   # Δ(p2,p3)
d_AB    = 13.5   # Δ(p1,p2)
nT = 3
lw = (2/3)*d_A_p3 + (2/3)*d_B_p3 - (1/3)*d_AB
print("Lance-Williams d(A12,p3) =", lw)  # 40.5

# ③ scipy で確認: Z の各行 = [i, j, dist, n_merged]
Z = linkage(X, method='ward')
print("リンク行列 Z:")
print(Z)

📤 実行すると次の出力が得られる：

💬 scipy の ward 連結距離 Z[:,2] は分散増加量 Δ そのものではなく √(2Δ) のスケールで格納される。Z の 1 行目: p1(0) と p2(1) が距離 5.196 = √(2×13.5) で結合 → Step 2 の手計算 Δ=13.5 に対応。Z の 2 行目: 結合クラスタ A12(3) と p3(2) が距離 9.0 = √(2×40.5) で結合 → Step 6 の Lance-Williams 更新 Δ=40.5 に対応。手計算の Δ と scipy 出力が √(2Δ) の関係で整合。

📐 Ward法の数学

📐 Ward法の数学

Ward法は、 各ステップでクラスタ内分散の増加が最小になるペアをマージします：

$$ d(A, B) = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B} \| \bar{x}_A - \bar{x}_B \|^2 $$

• n_A, n_B：各クラスタのサイズ
• x̄_A, x̄_B：各クラスタの重心
• n_A n_B / (n_A + n_B)：サイズに依存する重み

これによりサイズが似たクラスタが優先される傾向があります。 結果として「等サイズで凝集したクラスタ」が出来やすい。

Ward法の特徴

• 球状で等サイズのクラスタを好む
• k-means の階層版とも言える（分散最小化）
• 最も広く使われる階層クラスタリング法
• 外れ値の影響をやや受けやすい

Ward 法 の代表的な定義式は次のとおりです。

$$ \Delta E(A, B) = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B}\, \lVert \bar{x}_A - \bar{x}_B \rVert^2 $$

ここで使われる記号や演算の意味は次節で言葉に翻訳します。

🔬 数式を言葉で読み解く

数式の各記号を、日本語の意味に変換します。

• C_i, C_j — 結合候補の 2 クラスタ（例: SSDSE-B-2026 の A1101 総人口×A4101 就業者数で標準化した東京・神奈川クラスタと 大阪・愛知クラスタ）
• |C_i|, |C_j| — 各クラスタの要素数 (都道府県数)
• x̄_i, x̄_j — 各クラスタの重心 (centroid)
• ‖x̄_i − x̄_j‖² — 重心間ユークリッド距離の二乗
• d(C_i, C_j) = (|C_i|·|C_j|)/(|C_i|+|C_j|) · ‖x̄_i − x̄_j‖² — Ward 距離 (ESS 増分)
• ESS (Error Sum of Squares) — 各クラスタ内の重心からの二乗距離の総和。 Ward は結合後の ESS 増加が最小のペアを毎ステップ選ぶ
• Lance-Williams 更新式 — 既存のデンドログラム距離行列を再帰的に更新する漸化式 (αᵢ, αⱼ, β, γ パラメータ)
• cophenetic correlation — デンドログラムの忠実度評価 (元の距離行列との相関)

🧮 SSDSE-B-2026 実値計算 — 47 都道府県を 4 クラスタに

SSDSE-B-2026 に実在する「総人口(A1101)」「高齢化率(A1303÷A1101)」「消費支出(L3221)」「住宅地の標準価格(C5401)」の 4 変数で Ward 法を適用し、 4 つの「日本の地域類型」を抽出します。

🎯 このコードでやること：総人口・高齢化率・消費支出・住宅地標準価格の 4 変数を標準化して Ward 法を適用し、fcluster で 4 クラスタに切ってクラスタ別の平均値と、 デンドログラムの忠実度（コフェネティック相関）を出す。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（SSDSE-B の 47 都道府県・最新年度）──
# skiprows=[1] で 2 行目（日本語の項目名）を飛ばし、英字の項目コードを列名にする
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()].copy()   # 最新年度の 47 行
df['高齢化率'] = df['A1303'] / df['A1101'] * 100                 # 65 歳以上人口 ÷ 総人口

import pandas as pd
from scipy.cluster.hierarchy import linkage, fcluster, dendrogram, cophenet
from scipy.spatial.distance import pdist
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt

# SSDSE-B-2026 に実在する 4 項目で「地域類型」を作る
#   A1101 総人口 / 高齢化率（上で導出）
#   L3221 消費支出（二人以上の世帯） … 家計の水準
#   C5401 標準価格（平均価格）（住宅地） … 都市度
cols = ['A1101', '高齢化率', 'L3221', 'C5401']
X = df[cols].dropna()
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)
Z = linkage(X_std, method='ward')
df.loc[X.index, 'cluster'] = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')

# デンドログラムがもとの距離をどれだけ忠実に表しているか（コフェネティック相関）
coph, _ = cophenet(Z, pdist(X_std))
print('リンク行列 Z.shape =', Z.shape)
print('コフェネティック相関 =', round(coph, 3))
print(df.groupby('cluster')[cols].mean().round(1))

クラスタ平均（上のコードを実行して得られる実際の出力）

🧮 実値で計算してみる — SSDSE-B-2026 で Ward 法

SSDSE-B-2026（公的統計の社会・教育系データセット、 47 都道府県 × 10 年分超 × 100 以上の列）を用いて、 「Ward 法」を体感します。 ファイル名は SSDSE-B-2026.csv、 読み込みは下記の Python コードで行います。

🎯 このコードでやること：SSDSE-B-2026 を読み込み、最新年度の都道府県データから A1101（総人口）と A4101（出生数）を抽出して基本確認する。

📥 入力データ（SSDSE-B-2026 の先頭行イメージ）：

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import pandas as pd

# SSDSE-B-2026 を読み込む（cp932 / Shift_JIS）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', skiprows=[1], encoding='cp932')
print(df.shape)          # (564, 112)
print(df['SSDSE-B-2026'].unique())  # 含まれる年度
latest = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()].copy()
print(latest[['Prefecture', 'A1101', 'A4101']].head())

📤 実行すると次の出力が得られる：

💬 shape=(564,112) は 12 年分 × 47 都道府県。最新年度だけ取り出すと n=47 行になる。A1101 は総人口（人）、A4101 は出生数（人）。

ここで使った中心列 A1101 は SSDSE-B-2026 における 47都道府県を Ward 法で 4 クラスタに分割 に関連する指標です。 算出例：

• 47 都道府県・最新年度の A1101 平均と標準偏差を求める
• A1101 と A4101 の相関（線形・順位）を比較する
• 群分け（例：人口上位 10 県 vs それ以外）で平均差を見る

🧮 Ward 距離の Lance-Williams 更新式 — なぜ毎ステップ再計算しなくて済むか

Ward 法を素朴に実装すると、 クラスタ統合のたびに「すべてのペアのクラスタ内分散」を再計算することになり、 $O(n^3)$ で計算量が爆発する。 これを救うのが Lance-Williams 更新式。 クラスタ $A, B$ を統合して $A \cup B$ にしたとき、 他クラスタ $C$ との Ward 距離は

$$d(A\cup B, C) = \dfrac{n_A + n_C}{n_A + n_B + n_C}\,d(A,C) + \dfrac{n_B + n_C}{n_A + n_B + n_C}\,d(B,C) - \dfrac{n_C}{n_A + n_B + n_C}\,d(A,B)$$

で更新できる。 つまり 1 ステップ $O(n)$、 全体 $O(n^2)$ に落ちる。 これが scipy.cluster.hierarchy.linkage(method='ward') の高速化原理。

このコードでやること: SSDSE-B-2026 から「総人口(A1101)」「出生数(A4101)」「消費支出(L3221)」を取り、 Ward 法で 47 都道府県を 5 クラスタに分け、 各クラスタの代表都道府県と「統合直前の Ward 距離」を出力する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 47 都道府県、 3 列を標準化

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（英字の項目コードで読み込み）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=0)
df = df[df['Code'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
for _c in df.columns[3:]:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()]

import pandas as pd
from scipy.cluster.hierarchy import linkage, fcluster
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

X = df[['A1101', 'A4101', 'L3221']].values
Xs = StandardScaler().fit_transform(X)

Z = linkage(Xs, method='ward')
labels = fcluster(Z, t=5, criterion='maxclust')
df['cluster'] = labels

for c in sorted(df['cluster'].unique()):
    members = df[df.cluster==c]['Prefecture'].tolist()
    print(f"クラスタ{c} (n={len(members)}): {members[:3]}...")
print(f"最後の統合距離 (Z末尾5行の3列目):")
print(Z[-5:, 2])

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: 東京都が n=1 の単独クラスタになり (クラスタ3)、 神奈川・愛知・大阪の 3 県が次のクラスタ (クラスタ1) — 都道府県データでは「規模で 2 極化」する Ward 法の特徴がそのまま出る。 残りは中規模 5 県・地方 24 県・過疎寄り 14 県に分かれた。 最後の統合距離を見ると 12.16 と 7.18 の間に大きなギャップがあり (直前の 4 つは 2.87→3.08→5.47→7.18 と緩やかに増える)、 これが「5 クラスタが妥当」のエルボー証拠。 ギャップの絶対値ではなく、 手前の増え方との落差を見るのがコツである。 単連結法ではこのギャップが消え、 鎖状クラスタ (chaining) が形成される — Ward が分散最小化により球状クラスタを優先する性質の現れ。

🧪 補遺 — Ward 法と他連結法のクラスタ形状比較 (SSDSE-B-2026)

SSDSE-B-2026 を 47 都道府県 × 数値特徴量で階層クラスタリングするとき、 連結法 (linkage method) によってクラスタの形が大きく変わる。 Ward 法は「クラスタ内平方和の増加分を最小化する」基準のため、 球状で大きさが均等なクラスタを作りやすい。 以下に他法との差を整理する。

Ward 法を選ぶ判断軸: ① 各クラスタの「重心」を解釈に使う場合 (例: 「クラスタ 1 は人口 100 万前後、 消費支出 5 兆前後」)、 ② クラスタサイズの不均衡を避けたい場合、 ③ ユークリッド距離が自然な特徴量空間 (標準化済の数値変数)、 の 3 条件を満たす時。 SSDSE-B-2026 の都道府県分類はこの 3 条件を満たすため、 Ward が第一選択になる。

注意 — Ward は Euclidean 専用: scipy.cluster.hierarchy.linkage(method='ward') は内部でユークリッド距離を仮定する。 metric='cosine' 等と組み合わせると数学的に意味のないデンドログラムが出る。 距離尺度を変えたい時は average / complete に切り替えること。 また、 入力特徴量は 必ず標準化 しないと、 人口 (10⁶ オーダー) が距離を支配し他の変数が無視される。

🐍 Python での実装

① scikit-learn での基本

🎯 このコードでやること：同じ標準化データに k-means と Ward 法（AgglomerativeClustering）を当てはめ、シルエット係数でクラスタリング品質を比較する。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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from sklearn.cluster import KMeans, AgglomerativeClustering, DBSCAN
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import silhouette_score
import pandas as pd
import numpy as np

# データの標準化（重要！）
scaler = StandardScaler()
X_std = scaler.fit_transform(X)

# k-means
km = KMeans(n_clusters=3, random_state=0, n_init=10)
labels_km = km.fit_predict(X_std)
print(f'クラスタ中心: {km.cluster_centers_}')
print(f'inertia: {km.inertia_}')

# 階層クラスタリング（Ward法）
agg = AgglomerativeClustering(n_clusters=3, linkage='ward')
labels_agg = agg.fit_predict(X_std)

# シルエットスコアで評価
score = silhouette_score(X_std, labels_km)
print(f'シルエットスコア: {score:.3f}')

② 最適クラスタ数の探索

🎯 このコードでやること：k を 2〜10 まで動かし、エルボー法（inertia）とシルエット係数の 2 指標で最適クラスタ数を探索する。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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import matplotlib.pyplot as plt

inertias = []
silhouettes = []
for k in range(2, 11):
    km = KMeans(n_clusters=k, random_state=0, n_init=10).fit(X_std)
    inertias.append(km.inertia_)
    silhouettes.append(silhouette_score(X_std, km.labels_))

# エルボー法
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(range(2, 11), inertias, 'o-')
plt.xlabel('k'); plt.ylabel('inertia')

# シルエット法
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(range(2, 11), silhouettes, 'o-')
plt.xlabel('k'); plt.ylabel('Silhouette')

③ デンドログラムの描画

🎯 このコードでやること：Ward 法のリンク行列 Z からデンドログラム（樹形図）を描画し、どの高さで切ると何クラスタになるかを可視化する。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram

Z = linkage(X_std, method='ward')
plt.figure(figsize=(14, 6))
dendrogram(Z, labels=labels, leaf_rotation=90)
plt.show()

🐍 Python 実装バリエーション

A. scipy.cluster.hierarchy（教育用に推奨）

🎯 このコードでやること：scipy.cluster.hierarchy で linkage → fcluster → dendrogram を実行する、教育用に最も基本的な Ward 法の書き方。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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from scipy.cluster.hierarchy import linkage, fcluster, dendrogram
Z = linkage(X_std, method='ward')
clusters = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')
dendrogram(Z, labels=df['Prefecture'].tolist(), leaf_rotation=90)

B. sklearn.cluster.AgglomerativeClustering（Pipeline 向け）

🎯 このコードでやること：sklearn.cluster.AgglomerativeClustering(linkage="ward") でクラスタラベルを直接得る、Pipeline に組み込みやすい書き方。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
agg = AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='ward')
labels = agg.fit_predict(X_std)
print(labels[:10])

C. fastcluster（大規模データ・C++ 実装）

🎯 このコードでやること：fastcluster.linkage_vector を使い、数千点規模でも scipy より高速に Ward 法のリンク行列を計算する。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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import fastcluster
Z = fastcluster.linkage_vector(X_std, method='ward')  # 数千点規模で scipy より高速

D. シルエット係数で最適クラスタ数を選ぶ

🎯 このコードでやること：同じリンク行列 Z に対して fcluster の t（クラスタ数）を 2〜9 で変え、シルエット係数が最大になる k を選ぶ。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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from sklearn.metrics import silhouette_score
for k in range(2, 10):
    labels_k = fcluster(Z, t=k, criterion='maxclust')
    s = silhouette_score(X_std, labels_k)
    print(f'k={k}: silhouette = {s:.3f}')

E. ヒートマップ＋デンドログラム同時表示

🎯 このコードでやること：seaborn.clustermap でヒートマップと Ward 法のデンドログラムを同時に描き、変数×都道府県のパターンを一望する。

📥 入力例（df.head()）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=2)
# 47都道府県を高齢化率・所得・人口で Ward 法クラスタリング
# 入力 X（標準化済み, shape=(47, 3)）:
#   pref       z_age   z_inc   z_pop
# 0 北海道     0.31   -0.42    0.85
# 1 青森県     1.45   -1.21   -0.62
# 2 岩手県     1.39   -0.72   -0.68
# 3 宮城県    -0.23    0.18    0.21

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（SSDSE-B の 47 都道府県・最新年度）──
import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()].copy()
df['高齢化率'] = df['A1303'] / df['A1101'] * 100
X = df[['A1101', '高齢化率', 'L3221', 'C5401']].dropna()
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)

import seaborn as sns
sns.clustermap(pd.DataFrame(X_std, index=df.loc[X.index, 'Prefecture'], columns=X.columns),
                method='ward', cmap='RdBu_r', center=0)

🐍 Python 実装

scipy / pandas / scikit-learn / statsmodels を中心とした標準的な実装例です。 まず CSV を読み込み、 次に Ward 法 の解析を行います。

🎯 このコードでやること：SSDSE-B-2026 の最新年度データを読み込み、A1101（人口）と A4101（出生数）の基本統計量・相関を計算する。Ward 法クラスタリングの前処理として使う。

📥 入力データ（SSDSE-B-2026 最新年度、n=47）：A1101、A4101 の 2 列

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', skiprows=[1], encoding='cp932')
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()].copy()

x = df['A1101'].astype(float).values
y = df['A4101'].astype(float).values

# 基本統計量
print('n            =', len(x))
print('mean(x)      =', np.mean(x))
print('std(x)       =', np.std(x, ddof=1))

# Ward 法 の代表的計算（用途に応じて scipy/statsmodels を切替える）
r, p = stats.pearsonr(x, y)
print(f'Pearson r = {r:.4f}, p = {p:.4g}')
rs, ps = stats.spearmanr(x, y)
print(f'Spearman rho = {rs:.4f}, p = {ps:.4g}')

📤 実行すると次の出力が得られる：

💬 人口と出生数の Pearson 相関が r=0.995 と極めて高い。Ward 法でクラスタリングする前に標準化（StandardScaler）が必要。

用途別の追加実装：

🎯 このコードでやること：標準化した 2 変数で Ward 法（k-means 比較用）を実行し、4 クラスタのラベルと各都道府県の所属を確認する。

📥 入力データ：上記コードで生成した標準化済み Xs（shape=(47,2)）

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# 標準化と簡易クラスタリングの例
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cluster import KMeans

X = df[['A1101', 'A4101']].astype(float).values
Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
km = KMeans(n_clusters=4, n_init=10, random_state=0).fit(Xs)
df['cluster'] = km.labels_
print(df[['Prefecture', 'A1101', 'A4101', 'cluster']].head(10))

📤 実行すると次の出力が得られる：

💬 人口規模で明瞭に分かれ、北海道など人口の多い県が別クラスタになる。k=4 だと東京など超大都市を独立クラスタに分離できる（クラスタ番号は初期値依存で意味は任意）。

🎯 このコードでやること：SSDSE-B-2026 の全都道府県時系列で A1101 の推移を確認し、ADF 検定で定常性を調べる（Ward 法クラスタリング前の時系列補足分析）。

📥 入力データ：全年度の SSDSE-B-2026（A1101 列）

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# 時系列（全国平均の A1101）— 例として ARIMA 系の前処理
# ここでは年度を絞らずに全 12 年度を読む（1 年度だけだと系列にならない）
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

df_all = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])

ts = df_all.sort_values('SSDSE-B-2026').groupby('SSDSE-B-2026')['A1101'].mean()
print(ts.tail().round(1))
res = sm.tsa.stattools.adfuller(ts)
print('ADF stat:', round(res[0], 3), ' p:', round(res[1], 3))

📤 実行すると次の出力が得られる：

💬 全国平均人口（47 都道府県の平均、 単位は人）は単調減少トレンド。ADF の p=0.976 は「単位根あり（非定常）」をまったく棄却できないことを示す。Ward 法での横断面クラスタリングは各年度の「スナップショット」として有効。

🎮 触って理解する — ΔE（SSE増分）最小化 vs 最短距離

階層クラスタリング全般（デンドログラムの読み方など）は 階層クラスタリング・デンドログラム のページで扱いました。 ここでは Ward 法「固有」の性質に絞ります：併合候補ペアごとにクラスタ内分散（SSE）の増分 ΔE を全部計算し、 ΔE が最小のペアを選ぶ——このルールだけで、 なぜ「球状・同サイズ」のクラスタができるのか。 単連結（最短距離）との併合順の違いを並べて体感してください。

🖱️ 点はドラッグで自由に動かせます（タッチ対応）。 動かすと両方の併合順・ΔE 一覧・SSE 推移が即座に再計算されます。 ΔE は Lance-Williams 漸化式（初期値 $d_{ij}=\tfrac{1}{2}\lVert x_i-x_j\rVert^2$）で正確に計算しています。

破線＝次に併合されるペア（Ward は重心間、 単連結は最近接点間）。 色付きの領域＝現在のクラスタ。

💭 直感の核心 — 「併合で増える散らばり」を最小に

2 クラスタ $A,B$ を併合したときの SSE 増分は、 展開すると次のきれいな形になります：

$\Delta E(A,B) = \dfrac{n_A\, n_B}{n_A + n_B}\, \lVert \mu_A - \mu_B \rVert^2$

読み方は 2 つの因子に分ければ簡単です：

• $\lVert\mu_A-\mu_B\rVert^2$（重心間距離）：遠いクラスタ同士の併合はコスト大 → 近いもの同士からくっつく
• $\frac{n_A n_B}{n_A+n_B}$（サイズの調和平均×1/2）：この因子は大きいクラスタ同士ほど大きい → 巨大クラスタは併合に「抵抗」し、 小さいクラスタが優先的に育つ → サイズが自然に均等化される

上のデモで「⛓️ 鎖状」を選んで見比べると、 単連結は端から 1 点ずつ鎖を伸ばす（最短距離しか見ないので、 隣さえ近ければどんどん繋がる）のに対し、 Ward は鎖をいくつかの塊に切り分けてから塊同士を併合します。 ΔE ランキングの表で、 大きくなったクラスタが候補の下位に沈んでいく様子を確認してください。 これが「球状・同サイズ」バイアスの正体です。

⚠️ 触ってわかる落とし穴

• 球状バイアス：「🌙 三日月×2」プリセットで k=2 まで実行すると、 Ward は三日月を横断して切ってしまうことがあります（ΔE 最小＝重心が近い塊を作るため）。 単連結は形に沿って繋がるので三日月を拾えますが、 ノイズを 1 点足す（ドラッグで 2 つの月の間に点を置く）と即座に「橋」ができて破綻します。 形が複雑なら DBSCAN などの密度ベースを検討。
• ユークリッド距離前提：$\Delta E$ の式は「SSE＝二乗ユークリッド距離の分解」から導かれます。 マンハッタン距離やコサイン類似度に Lance-Williams の係数だけ流用しても、 「分散の増分」という意味が消えるため結果を解釈できません。 前提は 距離・類似度 と 分散・SS を参照。 単位が違う変数はまず 標準化。
• サイズの偏りに注意：「⚖️ サイズ不均等」プリセットで観察すると、 サイズ因子のせいで Ward は大クラスタの周辺点を小クラスタ側へ渡してでもサイズを均そうとすることがあります。 「本当のグループサイズが極端に違う」データでは、 Ward の「均等化バイアス」が実態を歪めうる——均等サイズは Ward の性質であって、 データの性質とは限りません。

🚀 発展 — k-means との関係・Ward.D と Ward.D2

• k-means は「同じ目的関数の非階層版」：両者とも総クラスタ内 SSE を最小化しますが、 k-means は k を固定して点の再割り当てを反復（大域的・やり直しあり）、 Ward は併合を 1 手ずつ確定する貪欲法（やり直しなし）。 だから Ward の k 分割は k-means の局所解より SSE が大きいことがあり、 逆に「Ward で切ってから k-means で磨く」二段構えは実務の定番です（上の SSE 推移グラフの Ward 曲線は、 その意味で「貪欲法が達成した SSE」です）。
• Ward.D vs Ward.D2：R の hclust には ward.D と ward.D2 があります。 本来の Ward 法は二乗ユークリッド距離で Lance-Williams を回すもの（このデモの実装、 ward.D2 や scipy の method="ward" 相当）。 ward.D は「二乗していない距離」に同じ漸化式を当てた歴史的な亜種で、 併合順が変わりえます。 論文で「Ward 法」とだけ書かれていたら、 どちらの実装かを確認するのが安全です（Murtagh & Legendre 2014）。
• デンドログラムの高さ：scipy は併合高さとして ΔE そのものではなく $\sqrt{2\,\Delta E}$ に相当する距離尺度を記録します。 高さの「絶対値」を実装間で比べるのは危険で、 比べてよいのは併合の順番と相対的な段差です。 読み方は デンドログラム を参照。

⚠️ よくある落とし穴

⚠️ Ward 法の落とし穴 7 連発

⚠️ 落とし穴

Ward 法 を実務で扱う際に踏みやすい落とし穴を 5 件挙げます。

• 非ユークリッド距離での非妥当性: Ward は二乗ユークリッド距離前提。他の距離では理論保証なし。
• スケール感応性: 変数のスケールが違うと結果が大きく変わる。標準化必須。
• 球状クラスタ前提: Ward は球状の塊を作りやすい。月状クラスタには不向き。
• 外れ値の影響: SSE 最小化なので外れ値が結果を歪める。
• クラスタ数選定: デンドログラムの「肘」は主観的。Gap 統計量等も併用。

🌐 関連手法・派生

• 階層クラスタリング — Ward 法が属する枠組み
• デンドログラム — Ward 法の結果を読むための図
• 分散 — Ward 法はクラスタ内分散の増分を最小にする、という定義
• 標準化 — 距離を使う以上、尺度をそろえてから
• k-means — どちらも分散を小さくする方向。クラスタ数を先に決めるかどうかが違う

Ward 法 (ウォード法) は階層的クラスタリングの中で「クラスタ内分散の増加を最小化する」連結方式として、 以下のネットワークに位置する。

• 上位概念: 階層的クラスタリング、 クラスタリング (教師なし学習)
• 並列手法 (連結方式): 単連結 (最小距離)、 完全連結 (最大距離)、 群平均連結 (平均距離) ― Ward は「分散最小化」で独自
• 前段処理: 標準化 (z 化) (Ward は分散ベースなのでスケール統一が必須)、 ユークリッド距離 (Ward の前提)
• 後段処理: デンドログラム (階層を可視化)、 シルエット係数 (クラスタ数の選定)、 エルボー法
• 派生・拡張: Ward.D2 (距離の 2 乗を使う改良版)、 空間制約付き Ward (地理データ用)
• 競合・代替: k-means (非階層、 分散最小化のいとこ)、 DBSCAN (密度ベース、 クラスタ数不要)

SSDSE-B-2026 で 47 都道府県を経済構造別にクラスタリングする際、 Ward 法は「内部のばらつきが小さくまとまったクラスタ」を作る傾向があり、 解釈しやすい結果になることが多い。

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

📘 前提となる用語

• 距離・類似度 — ユークリッド距離が前提。
• 標準化（z 化） — 単位を揃えて計算可能にする。
• 分散・SS — Ward の判定基準そのもの。
• クラスタリング基礎 — 教師なし分類の枠組み。

⚖️ 並列で比較する用語

• 単連結 — 細長いクラスタ向け。
• 完全連結 — コンパクト塊向け。
• 群平均連結 — 中間的バランス。
• k-means — 非階層・分散最小化系のいとこ。

🚀 発展で学ぶ用語

• DBSCAN / OPTICS — 密度ベースの代替。
• スペクトラルクラスタリング — グラフ理論ベース。
• 混合ガウスモデル — 確率モデルとしての発展。
• シルエット係数 — クラスタ数選択の指標。
• コフィーニック相関 — デンドログラムの忠実度。

🔗 関連用語

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

本ページ「Ward 法（最小分散凝集型階層クラスタリング）」に関連する用語を 前提（基礎となる概念）／並列（同カテゴリの他連結法）／発展（応用先） の 3 区分で整理します。

📥 前提となる用語

• ユークリッド距離 — Ward の距離尺度として標準採用
• 分散・群内平方和 (SSE) — Ward の融合判定基準そのもの
• 標準化 (z 化) — 変数間スケール差を吸収する前処理必須
• 階層クラスタリング — Ward は凝集型階層手法の一種
• デンドログラム — Ward 結果の樹形可視化

↔️ 並列・関連の用語（他の連結法・距離計算）

• 単連結 (Single Linkage) — 最小距離基準、 細長クラスタ作成
• 完全連結 (Complete Linkage) — 最大距離基準、 コンパクト塊作成
• 群平均連結 (Average Linkage) — 全距離平均、 中庸的
• 重心連結 (Centroid Linkage) — 重心間距離、 反転問題あり
• k-means — Ward と同じ SSE 最小化基準の非階層版
• コサイン類似度 — 高次元データ用代替距離

🚀 発展・応用の用語

• DBSCAN — 密度ベース代替、 任意形状対応
• 混合ガウス (GMM) — 確率モデル版クラスタリング
• スペクトラルクラスタリング — グラフ理論ベース
• シルエット係数 — Ward クラスタ数選択指標
• コフェネティック相関 — デンドログラム忠実度評価
• PCA + Ward — 高次元データ低次元化後にクラスタリング
• マーケット細分化 (Market Segmentation) — Ward 法のビジネス応用

📚 関連グループ教材

• クラスタリング教材
• 時系列解析教材
• 処置群・対照群教材
• 対照群教材
• 自然言語処理教材

🎯 まとめ

本ページでは「Ward 法」を 12 セクション（🔖 キーワード索引／💡 30 秒結論／📍 文脈／🎨 直感／📐 数式／🔬 数式を言葉で読み解く／🧮 実値計算／🐍 Python 実装／⚠️ 落とし穴／🌐 関連手法／🔗 関連用語／📚 グループ教材）で完結に整理しました。 SSDSE-B-2026 を素材に、 概念の輪郭・式の意味・実装手順・典型的な失敗パターンの 4 点を最低限押さえれば、 統計データ分析コンペの現場で迷わず使えるはずです。

🗺️ 概念マップ — 3つの視点で体系を理解する

Ward法 がデータサイエンスの体系の中でどこに位置するかを、 3つの異なる視点で可視化します。 同じ情報でも見方を変えると気付きが変わります。

▲ JS 不要の静的 SVG 概念マップ。Ward 法の位置付け・前提・並列手法・下流応用を一望できる。

📍 体系階層のパス

🌐 統計・データサイエンス › 教師なし学習 › クラスタリング › Ward法

① 🔗 関係マップ — 「他の手法とどう繋がっているか」

中心に Ward法 を置き、 そこから 階層クラスタリング・分散・標準化・デンドログラム・クラスタリング全般・k-means など 計 12 個の用語へ、 前提・兄弟・発展形といった関係を矢印で結んでいます。 線がどちら向きかを見れば、 先に読むべき用語とあとから読む用語が分かります。 ノードはドラッグで動かせ、 ホイールでズーム、 クリックでその用語のページへ遷移します。

② ⭕ 包含マップ — 「どのカテゴリに含まれているか」

大きな円が小さな円を包含する Circle Packing 図。 「Ward法」は緑色でハイライト。

• カテゴリ円をクリック：その内部にズームイン
• 白背景クリック：1階層戻る
• 用語円をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パス表示

③ 🌳 ツリーマップ — 「面積で見るボリューム比較」

長方形を入れ子に分割した Treemap 図。 各分野の規模感を面積で比較。 「Ward法」は緑色でハイライト。

• カテゴリ矩形をクリック：その内部にドリルダウン
• パンくず（上のリンク）クリック：その階層に戻る
• 用語矩形をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パスと値を表示

🎯 3つのマップの使い分け

💡 3 つの図は同じ位置関係を別の角度から描いています。 関係マップは Ward法 の隣に何が並ぶかを、 包含マップとツリーマップは 統計・データサイエンス → クラスタリング → Ward法 という入れ子の位置を示します。 「クラスタリングには他に何があったか」を思い出したいときは包含マップを、 「次に何を読むか」を決めたいときは関係マップを開いてください。

🗺 概念マップ

• 基礎：平均／分散／標準偏差／確率
• 分布：正規分布／標本／中心極限定理
• 関係性：相関／共分散／線形回帰
• 推測：仮説検定／信頼区間／p 値／効果量
• 因果：内生性／IV／DID／平行トレンド／RDD
• 分類：クラスタリング／階層クラスタリング／Ward 法
• 時系列：ARIMA／VAR／グレンジャー因果／自己相関

🔗 隣接手法への橋渡し

Ward 法は階層的クラスタリングの 1 連結方式であり、 前処理 (標準化) と評価 (デンドログラム / シルエット) の組み合わせで完成する。 以下は典型的な接続パターン。

これらの接続を意識することで、 「Ward法 (Ward's Method)」を中核に据えた一貫した分析パイプラインを構築できる。

🌳 手法選択フロー — Ward 法を使うべき状況の判定

下記のフローに従って「Ward 法が適切か」を判定する。

💡 SSDSE-B-2026 の 47 都道府県 × 数値特徴量は条件①〜⑤をすべて満たす → Ward 法が第一選択。

🔬 解説深化 — SSDSE-B-2026 の実測で Ward 法の「教科書的な主張」を検証する

ここまでの解説は「Ward 法はこう振る舞うはず」という一般論が中心でした。 この節では、 SSDSE-B-2026 の 2023 年度・47 都道府県の実データに Ward 法を実際に適用し、 教科書的な主張がどこまで成り立ち、 どこで裏切られるかを実測値だけで確かめます。 使用した 4 指標はすべて実在列からの導出です：

• 高齢化率 = A1303（65歳以上人口）÷ A1101（総人口）× 100 …… 平均 31.59%、標準偏差 3.30
• 転入超過率 = (A5101 − A5102) ÷ A1101 × 1000（人口千人当たり） …… 平均 −1.68、標準偏差 1.99
• 合計特殊出生率 = A4103 …… 平均 1.29、標準偏差 0.13
• 年平均気温 = B4101 …… 平均 16.8℃、標準偏差 2.03

各指標を z 標準化してから scipy.cluster.hierarchy.linkage(X, method="ward") を実行した実測結果が以下です。

🎨 直感 — デンドログラムの「高さの跳ね」が k を教えてくれる

Ward 法のデンドログラムの縦軸（併合高さ）は「その併合で払った SSE 的コスト」。 実測した最後の 6 回の併合高さは次の通りでした：

→ 4.447 から 7.198 へと約 1.6 倍に跳ねる直前、 つまり「k=3 で切る」あたりが階段の折れ目。 最後の併合はさらに 13.584 まで跳ね（1.9 倍）、 これが「東京を含む一群と残り」を分ける線に対応する。 デンドログラムを眺めて「なんとなく 4 つ」ではなく、 併合高さの数列の跳躍として k を根拠づけられます。 実際に k=4 で切った実測クラスタは次の通り（括弧内はクラスタ平均：高齢化率% / 転入超過率 / 出生率 / 気温℃）：

• C1（14県） 宮城・茨城・栃木・群馬・埼玉・千葉・東京・神奈川・愛知・滋賀・京都・大阪・奈良・福岡（28.3 / +0.54 / 1.18 / 17.1）— 若く・流入超過・低出生率の「都市圏型」
• C2（8県） 北海道・青森・岩手・秋田・山形・福島・新潟・長野（34.6 / −3.13 / 1.19 / 13.5）— 高齢・流出・寒冷の「北日本型」
• C3（24県） 富山〜鹿児島の 24 県（32.8 / −2.54 / 1.38 / 17.5）— 高齢・流出だが出生率は比較的高い「西日本・地方型」
• C4（1県） 沖縄（23.8 / −0.44 / 1.60 / 23.8）— 全指標で別格の単独クラスタ

⚠️ 落とし穴（重要） — 実測が教科書を裏切る 2 つのポイント

落とし穴 1：標準化を忘れた Ward 法は「人口の輪切り」になる（実測）。 総人口 A1101（標準偏差 ≈ 276.8 万人）と合計特殊出生率 A4103（標準偏差 ≈ 0.132）を標準化せずに混ぜて Ward 法を実行すると、 標準偏差の比は約 2,100 万倍。 実測の k=4 の結果は「東京だけ（1）／埼玉・神奈川・愛知・大阪（4）／北海道・千葉・兵庫・福岡（4）／残り 38 県」— つまりただの人口ランキングの輪切りで、 出生率の情報は完全に消えます。 標準化した場合との調整ランド指数（ARI）は実測 0.177。 ほぼ別物の分類になるという事実を、 数字で覚えておいてください。

落とし穴 2：「均等サイズになりやすい」は傾向であって保証ではない（実測）。 本文の比較表では Ward 法の長所として「均等サイズ」を挙げていますが、 上の実測 k=4 は 24 / 14 / 8 / 1 と大きく不均等で、 沖縄は単独クラスタです。 Ward 法は「単連結ほど極端な偏りを作りにくい」だけで、 データに実在する外れ構造（沖縄のような別格の県）はきちんと単独で切り出します。 むしろ「1 県クラスタが出た＝その県が多変量的な外れ値」というシグナルとして読むのが実務的です。

🚀 発展 — コフェネティック相関では Ward 法が最良とは限らない

デンドログラムの忠実度指標であるコフェネティック相関（元のペア距離と樹形図上の距離の相関）を、 同じ標準化済みデータで 4 つの連結法について実測すると：

→ 「第一選択」のはずの Ward 法 (0.669) は群平均 (0.789)・単連結 (0.723) に及ばず4 手法中 3 位、 群平均が最上位です。 これは矛盾ではありません。 コフェネティック相関は「元の距離をどれだけ保存するか」を測る指標で、 群平均連結はまさに距離の平均を保つよう設計されているため高くなりやすい。 一方 Ward 法は距離保存ではなくクラスタ内 SSE の最小化を目指すため、 樹形図の高さが SSE 増分に置き換わり、 元の距離との相関は下がります。 つまり「良いクラスタリング」の定義は指標ごとに違う — 分割の解釈しやすさなら Ward、 距離構造の忠実な要約なら群平均、 と目的で使い分けるのが発展的な理解です。 なお本ページ上部の実行例にあるコフェネティック相関と値が異なるのは、 使用する変数セットが異なるためで、 この指標は変数構成に強く依存します（より正確には、 併記した導出式の 4 指標での実測値が上表です）。

🔗 関連ページ

• 階層クラスタリング — Ward 法が属する枠組み全体と他の連結法。
• デンドログラム — 本節の「併合高さの跳ね」を読む道具。
• 標準化 — 落とし穴 1（ARI 0.177）を防ぐ前処理。
• k-means — 同じ SSE 最小化を非階層で行ういとこ。
• 外れ値 — 単独クラスタ（沖縄）を外れ値検出として読む視点。
• 分散 — Ward の判定基準 SSE の土台。
• シルエット係数 — クラスタ数 k の定量評価（本用語集では クラスタリング ページ内で解説）。