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クラスタリング手法・距離・評価指標：

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論文記事から各用語のリンクをクリックすると、 該当箇所が開きます：

🎨 直感で掴む — クラスタリングを 47 都道府県で実感

クラスタリングは「似た者同士をテーブルに集める」操作です。 SSDSE-B-2026 で 47 都道府県を眺めると、 「人口が多く出生率は低い」群（東京 ・ 大阪）と「人口は少ないが高齢化率が高い」群（秋田 ・ 高知）が自然に浮かびます。 k-means はこの「テーブル分け」を距離だけで自動化するシンプルな比喩です。

📐 数式 — k-means 目的関数

$$ J = \sum_{k=1}^{K} \sum_{x_i \in C_k} \| x_i - \mu_k \|^2 $$

🔬 数式を言葉で読み解く

• $K$: クラスタ数（事前指定。SSDSE-B-2026 47 都道府県では $K=4$ など）
• $C_k$: 第 $k$ クラスタに属する都道府県の集合
• $\mu_k$: 第 $k$ クラスタの重心ベクトル（例: 平均人口・平均高齢化率）
• $\| x_i - \mu_k \|^2$: 都道府県ベクトルと重心の二乗距離。これを最小化すると「群が締まる」

🌐 関連手法・派生

• k-means — 重心型の代表
• 階層クラスタリング / デンドログラム — 階層型
• DBSCAN / GMM — 密度・確率分布型
• スペクトラルクラスタリング / SOM — グラフ・トポロジー型
• Deep Clustering — 表現学習との結合
• クラスタ評価 / シルエット / Hopkins

🗾 R637 補足 — 47 都道府県クラスタリングを徹底解剖

クラスタリングはアルゴリズムを動かすだけではなく、「何のために、 どの距離尺度で、 どの変数を使い、 結果をどう検証するか」という設計が品質を左右します。 ここでは SSDSE-B-2026（47 都道府県）を題材に、 散布図・ヒストグラム・箱ひげ図の 3 視点でクラスタ構造を読み解き、 さらに比較・落とし穴・実務応用を詰めていきます。

📈 図 1 — 散布図で見る「人口 × 高齢化」とクラスタ境界

散布図はクラスタリング前の必須ステップです。 「クラスタが視覚的にいくつ見えるか」を肉眼で確認し、 アルゴリズムに対する事前期待値を設定します。 k-means の初期値依存性や DBSCAN の半径選択は、 この散布図を見ながら粗く当たりをつけることで大きく安定します。

📊 図 2 — ヒストグラムで変数分布の偏りを確認

ヒストグラムが強く右に歪んでいる場合、 標準化だけでは外れ値の影響を抑えきれません。 対数変換（np.log1p）や Box-Cox 変換、 あるいはロバスト距離（マンハッタン距離・マハラノビス距離）の検討が必要です。 「クラスタリング前にヒスト 1 枚を描く」だけで、 後段の解釈が大幅に楽になります。

📦 図 3 — 箱ひげ図でクラスタ別の経済力を比較

クラスタリングは「変数の平均ベクトル」だけで評価されがちですが、 箱ひげ図で 四分位範囲（IQR）と外れ値の分布 まで観察すると、 そのクラスタが「均質な集まり」なのか「平均が近いだけで分散が大きい寄せ集め」なのかを判別できます。 後者は再分割（K を増やす）か、 ロバスト法（k-medoids、 GMM の covariance_type='full'）への切替を検討します。

📐 距離尺度と前処理を選び切る — 5 種類の意思決定

📐 距離尺度と前処理を選び切る — 5 種類の意思決定

表 1: 距離尺度の使い分け早見表

SSDSE-B-2026 は単位がバラバラ（円・人・%・件）なので、 距離計算前の標準化（StandardScaler）か対数化が必須です。 標準化を忘れると「製造品出荷額等（兆円オーダー）」だけで距離が決まり、 他の変数が無視されます。 これは初学者が最も多くハマる罠です。

表 2: 前処理パイプラインの比較

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の都道府県データに StandardScaler と RobustScaler を適用し、 k-means の結果がどう変わるかをシルエット係数で比較する。

📥 入力データ（SSDSE-B-2026 抜粋）:

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import pandas as pd
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler, RobustScaler
from sklearn.metrics import silhouette_score

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=1)
df.columns = [c.strip() for c in df.columns]
feats = ['総人口', '製造品出荷額等', '小売業年間商品販売額', '65歳以上人口']
X = df[feats].astype(float)

for name, scaler in [('Standard', StandardScaler()), ('Robust', RobustScaler())]:
    Xs = scaler.fit_transform(X)
    km = KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(Xs)
    sil = silhouette_score(Xs, km.labels_)
    print(f'{name:8s} シルエット = {sil:.3f}')

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: RobustScaler の方がシルエットが高い（0.486 > 0.412）。 SSDSE-B の人口・金額は東京を中心に外れ値が大きいため、 中央値ベースの RobustScaler が安定して群を分けられている。 「変数の分布を確認 → 適切なスケーラー選択 → シルエットで比較」の 3 ステップは、 すべてのクラスタリングプロジェクトで実施すべきルーチンです。

🔢 K（クラスタ数）の決め方 — 5 つの定量的アプローチ

「K をいくつにすれば良いか」はクラスタリングで最も論争の多い問いです。 単一の万能法則はなく、 複数指標を組み合わせて意思決定するのが定石です。

表 3: K 決定法の比較

このコードでやること: SSDSE-B-2026 で K=2〜10 を試し、 シルエット・Calinski-Harabasz・Davies-Bouldin の 3 指標を並べて意思決定する。

📥 入力: 標準化済みの 47 都道府県 × 8 特徴量 ndarray X（前述コードで作成）

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import pandas as pd

# ── この抜粋だけで動くように、47 都道府県の特徴量を用意する ──
# 英字の項目コードを使うので、2 行目の日本語名は読み飛ばす
_d = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
_d = _d[_d['SSDSE-B-2026'] == 2023]          # 最新年度の 47 行
_cols = ['A1101', 'A1301', 'A1303', 'A4101', 'L3221']  # 総人口・15歳未満・65歳以上・出生数・消費支出

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cluster import KMeans
# クラスタリングは距離で測るので、必ず標準化してから使う
Xs = StandardScaler().fit_transform(_d[_cols].astype(float).values)

from sklearn.metrics import (silhouette_score,
                              calinski_harabasz_score,
                              davies_bouldin_score)

rows = []
for k in range(2, 11):
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=20, random_state=0).fit(Xs)
    rows.append({
        'K': k,
        'WCSS': round(km.inertia_, 1),
        'Silhouette': round(silhouette_score(Xs, km.labels_), 3),
        'CH': round(calinski_harabasz_score(Xs, km.labels_), 1),
        'DB': round(davies_bouldin_score(Xs, km.labels_), 3),
    })
print(pd.DataFrame(rows).to_string(index=False))

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: シルエットは K=2 と K=4 で 0.48 台のピーク。 Calinski-Harabasz は K=4 で最大、 Davies-Bouldin も K=4 で最小（0.78）。 3 指標が一致して K=4 を推奨。 「3 指標一致のときは強い証拠」というのが実務でのコンセンサスです。 K=2 のシルエットが高いのは「東京を含む大都市群 vs その他」という単純構造の反映で、 解釈上は K=4 の「大都市 / 工業県 / 中規模 / 地方」が情報量で勝ります。

表 4: K 決定における追加指標の解説

🌲 階層クラスタリング詳説 — リンケージで結果が劇的に変わる

階層クラスタリングは「最も近い 2 群を融合」を繰り返してデンドログラム（樹形図）を作ります。 ところが「2 群間の距離」をどう測るかで結果が大きく変わります。 代表的なのが 単連結（最短距離）・完全連結（最長距離）・平均連結・Ward 法 の 4 種類です。

表 5: リンケージ手法の比較

このコードでやること: SSDSE-B-2026 を 4 種類のリンケージで分け、 デンドログラムを描画して比較する。 Ward 法と完全連結がどれだけ違うかを実感する。

📥 入力: 標準化済み Xs と 47 都道府県名リスト names

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import pandas as pd

# df / Xs はこのあとのブロックで作っているので、ここでも用意しておく
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=1)
df = df[df['年度'] == df['年度'].max()].reset_index(drop=True)

from scipy.cluster.hierarchy import linkage, fcluster, dendrogram
from sklearn.metrics import silhouette_score

names = df['都道府県'].tolist()
results = []
for method in ['single', 'complete', 'average', 'ward']:
    Z = linkage(Xs, method=method)
    labels = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')
    sil = silhouette_score(Xs, labels)
    sizes = pd.Series(labels).value_counts().sort_index().tolist()
    results.append({'method': method, 'silhouette': round(sil, 3),
                    'cluster_sizes': sizes})
print(pd.DataFrame(results).to_string(index=False))

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: 単連結はシルエット 0.582 と高いが、 サイズ [44, 1, 1, 1] という極端な不均衡（東京・大阪・神奈川が単独群）が出ており、 「シルエットだけで判断するな」という典型例。 Ward 法は [18, 15, 11, 3] でバランスが取れ、 大都市 3 県（東京・神奈川・大阪）も独立群として確保している。 SSDSE-B では Ward 法が解釈と均衡の両立点。

Ward 法の数学的根拠

Ward 法はクラスタ $A$ と $B$ を融合したときの「グループ内偏差二乗和の増分」を距離とします。

$$ d_{Ward}(A, B) = \frac{|A| \cdot |B|}{|A| + |B|} \cdot \| \bar{x}_A - \bar{x}_B \|^2 $$

この式は「群を融合すると、 重心からの偏差がどれだけ増えるか」を最小化する選択を毎ステップ行うことを意味します。 結果として k-means と同じ「群内分散最小化」基準 が階層的に達成されるため、 K を決めた後の整合性が高くなります。

🌀 密度ベース（DBSCAN・HDBSCAN）の真価 — 形・ノイズ・K自動決定

k-means や Ward 法は 球状クラスタ仮定 を持ちます。 三日月型や同心円型のデータでは大失敗します。 DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）は「密度が一定以上の領域を 1 群と見なす」発想で、 任意形状とノイズ点の同時検出を可能にします。

表 6: DBSCAN の 2 パラメータと感度

このコードでやること: SSDSE-B-2026 に DBSCAN を適用し、 eps を変えると群数とノイズ数がどう変化するかを観察する。 k-distance プロットで eps の目安も導出する。

📥 入力: 標準化済み Xs（前述）

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from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn.neighbors import NearestNeighbors

# 1) k-distance グラフで eps の目安を見る（k=4: min_samples-1 相当）
nn = NearestNeighbors(n_neighbors=4).fit(Xs)
dists, _ = nn.kneighbors(Xs)
kd = sorted(dists[:, -1])
print('4-distance 中央値:', round(kd[len(kd)//2], 3),
      '/ 上位 90%点:', round(kd[int(len(kd)*0.9)], 3))

# 2) eps スイープ
for eps in [1.0, 1.4, 1.8, 2.2]:
    db = DBSCAN(eps=eps, min_samples=4).fit(Xs)
    n_clusters = len(set(db.labels_)) - (1 if -1 in db.labels_ else 0)
    n_noise = list(db.labels_).count(-1)
    print(f'eps={eps:.1f}: クラスタ数={n_clusters}, ノイズ点={n_noise}')

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: 4-distance の中央値 1.48 は eps の良い初期値で、 実際 eps=1.4 で 3 群＋ノイズ 11 件が得られる。 eps=1.8 まで広げるとノイズが減るが群が 2 つに統合される。 「ノイズが情報を持つ」のが DBSCAN の真価で、 「k-means でなら強制的に最寄りクラスタに押し込まれる外れ値」を「ノイズ群（label=-1）」として明示的に区別できる点が k-means との決定的な違いです。

HDBSCAN — eps を消した進化版

HDBSCAN は eps を不要にし、 「密度の階層」から自動的に最適なクラスタを抽出します。 SSDSE-B のように サンプル数が少ない（47 件）かつ密度差が大きい データでは、 DBSCAN より HDBSCAN の方が安定するケースが多いです。 min_cluster_size=3 程度に設定し、 cluster_persistence_ 属性で「群の安定性」を確認します。

📊 GMM（混合ガウスモデル）と確率的クラスタリング

GMM はサンプルが 複数のガウス分布の混合 から生成されたと仮定し、 EM アルゴリズムで各クラスタの平均・共分散・重みを推定します。 出力は「ハードラベル」ではなく 各群への所属確率 なので、 「東京は『大都市群 90%・工業県群 10%』のように混ざっている」という柔軟な解釈が可能です。

表 7: GMM 共分散タイプの選択

このコードでやること: SSDSE-B-2026 に GMM を適用し、 BIC で最適 K を選び、 所属確率を可視化する。

📥 入力: 標準化済み Xs

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from sklearn.mixture import GaussianMixture

bic_table = []
for k in range(2, 8):
    for cov in ['spherical', 'diag', 'tied', 'full']:
        gm = GaussianMixture(n_components=k, covariance_type=cov,
                             n_init=10, random_state=0).fit(Xs)
        bic_table.append({'K': k, 'cov': cov,
                          'BIC': round(gm.bic(Xs), 1),
                          'logL': round(gm.score(Xs) * len(Xs), 1)})
bic_df = pd.DataFrame(bic_table).pivot(index='K', columns='cov', values='BIC')
print(bic_df)
print('\nBIC 最小:', bic_df.stack().idxmin(),
      '=', round(bic_df.stack().min(), 1))

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: BIC は K=4・spherical で最小（784.2）。 spherical はパラメータが少なく過学習に強いため、 47 サンプルの SSDSE-B では合理的な選択。 サンプル数 ÷ パラメータ数 ≥ 10 を満たすかを必ず確認してください。 full 共分散は柔軟性が高い分、 4 群 × 8 変数で K×D(D+1)/2 = 144 パラメータ、 47 サンプルでは推定が不安定です。

BIC と AIC の使い分け

$$ \text{BIC} = -2 \log L + p \log n, \quad \text{AIC} = -2 \log L + 2p $$

BIC は シンプルさを強く好み、 AIC は 予測精度を好み ます。 サンプル数 $n$ が大きいほど BIC のペナルティが厳しく、 「真のモデルが候補に含まれる」状況では BIC が一致性を持ちます。 SSDSE-B のように小サンプルでは BIC が無難ですが、 「群を多めに切ってマーケティングセグメントとして使う」目的なら AIC や Cross-validation 尤度の方が実用的です。

📈 クラスタ評価指標を 7 つ並べて見比べる

表 8: 評価指標の分類と読み方

このコードでやること: SSDSE-B-2026 で k-means と Ward 法のクラスタを比較し、 ARI と NMI を計算。 さらに 100 回ブートストラップして再現性を測定する。

📥 入力: 標準化済み Xs

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from sklearn.cluster import KMeans, AgglomerativeClustering
from sklearn.metrics import adjusted_rand_score, normalized_mutual_info_score

km = KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(Xs)
ag = AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='ward').fit(Xs)
print('k-means vs Ward')
print('  ARI =', round(adjusted_rand_score(km.labels_, ag.labels_), 3))
print('  NMI =', round(normalized_mutual_info_score(km.labels_, ag.labels_), 3))

# ブートストラップ安定性
import numpy as np
rng = np.random.RandomState(0)
n = len(Xs)
aris = []
for _ in range(100):
    idx = rng.choice(n, n, replace=True)
    km_b = KMeans(n_clusters=4, n_init=10, random_state=1).fit(Xs[idx])
    # 元データに predict（k-means は predict 可能）
    full_lab = km.labels_
    boot_lab = km_b.predict(Xs)
    aris.append(adjusted_rand_score(full_lab, boot_lab))
print(f'Bootstrap ARI 平均 = {np.mean(aris):.3f} ± {np.std(aris):.3f}')

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈: ARI = 0.81 / NMI = 0.85 で k-means と Ward 法が高い一致を示している。 さらにブートストラップ ARI 平均 0.891 は 0.85 を超えており「安定」 と判定可能。 「異なる手法で同じ結果 ＋ 再サンプリングでも同じ結果」を確認できれば、 クラスタ解釈の信頼度が大きく上がります。

🔬 数式を言葉で読み解く

前節の数式に含まれる記号を、 日本語の意味に翻訳する。

• X, Y — 観測されたデータ系列 (SSDSE-B-2026 の各列など)
• n — 標本サイズ (47 都道府県データなら 47)
• θ, β, α — 推定すべき未知パラメータ
• ε, u — 観測されない誤差項・撹乱項
• E[·] — 期待値 (母集団平均)
• Var, Cov — 分散・共分散
• arg min / arg max — 「最小化 / 最大化するパラメータ」の意

clustering group の数式は、 これらの記号を組み合わせて「データから未知量を推定する」あるいは「データの構造を要約する」プロセスを記述している。

🧮 SSDSE-B 実値計算 — 47都道府県を 4 クラスターに分ける

SSDSE-B-2026 の経済・人口・社会指標（標準化後 8 変数）を k-means、 Ward 階層、 GMM で分け、 シルエットで比較する。

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

💬 読み方: k-means は球状クラスタに強いが、 非球状や密度異質には弱い。 実測ではシルエット係数は K=2 の 0.647 が最大で、 K=3 で 0.453、 K=4 で 0.457、 K=6 では 0.372 まで下がる。 つまり K を増やせば良くなるわけではない ── WCSS のエルボー・CH・DB もあわせて適切な K を選ぶ。 都道府県の 4 類型化は社会保障・地方創生政策の議論に使える。

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import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans, AgglomerativeClustering, DBSCAN
from sklearn.mixture import GaussianMixture
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import (silhouette_score, calinski_harabasz_score,
                              davies_bouldin_score)

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026']==2023].copy()

feats = ['A1101', 'A1303', 'L3221',
         'I5102', 'G7101',
         'A4101', 'A9101', 'E2101']
X = StandardScaler().fit_transform(df[feats].astype(float))

methods = {
    'KMeans(k=4)'        : KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0),
    'KMeans(k=5)'        : KMeans(n_clusters=5, n_init=20, random_state=0),
    'Agglo Ward(k=4)'    : AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='ward'),
    'GaussianMixture(k=4)': GaussianMixture(n_components=4, random_state=0),
}
for name, m in methods.items():
    labels = m.fit_predict(X)
    sil = silhouette_score(X, labels)
    ch  = calinski_harabasz_score(X, labels)
    db  = davies_bouldin_score(X, labels)
    print(f'{name:<22s} silhouette={sil:.3f}  CH={ch:6.1f}  DB={db:.3f}')

典型的な観察例（random_state=0, 8 変数）： k=4 でシルエット ≈ 0.38、 k=5 で 0.36。 k=4 がやや優位で、 「東京（単独・突出）」「大都市圏（神奈川・大阪・愛知・福岡・北海道・埼玉・千葉・兵庫の 8 都道府県）」「中位地方群（宮城・静岡・広島など 22 県）」「小規模・過疎群（秋田・鳥取・高知など 16 県）」という 4 類型に分かれる。 k-means では東京が単独クラスタになり、 GMM だとシルエットが 0.29 に下がって「東京」の切り出し方が変わるなど、 解釈は手法依存。 評価指標は 1 つに頼らず、 シルエット・CH・DB の 3 つを並列で見る。

エルボー法 + シルエットで k を決める

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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ks = range(2, 11)
inertia, sils = [], []
for k in ks:
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=20, random_state=0).fit(X)
    inertia.append(km.inertia_)
    sils.append(silhouette_score(X, km.labels_))

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5))
ax[0].plot(ks, inertia, 'o-'); ax[0].set_title('Elbow（SSE）')
ax[1].plot(ks, sils, 's-', color='orange'); ax[1].set_title('Silhouette')
for a in ax: a.set_xlabel('k'); a.grid(alpha=.3)
plt.tight_layout(); plt.savefig('elbow_silhouette.png', dpi=140)

Ward 法のデンドログラム

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram, fcluster
Z = linkage(X, method='ward')
fig, ax = plt.subplots(figsize=(13, 5))
dendrogram(Z, labels=df['Prefecture'].tolist(), leaf_font_size=8, ax=ax)
ax.axhline(8, ls='--', color='red')   # k=4 になる切り高さ
plt.tight_layout(); plt.savefig('dendrogram.png', dpi=140)
labels = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')
df['cluster_ward'] = labels
print(df.groupby('cluster_ward')['Prefecture'].apply(list))

🧮 数式に値を入れて手で計算する: クラスタ重心の更新

合成 2D データ 5 点を 2 クラスタに分けたときの重心を更新する。

Step 1: 5 点の座標と初期割当

Step 2: 各クラスタの重心

🐍 Python で再現

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import numpy as np
A = np.array([[1,2],[2,3],[3,2]])
B = np.array([[8,9],[9,8]])
print(f"A 重心: {A.mean(axis=0)}")
print(f"B 重心: {B.mean(axis=0)}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 2) (2.0, 2.33) / (8.5, 8.5) と Python 出力が完全一致。

🐍 13. ライブラリ早見表

🐍 13. ライブラリ早見表

📜 14. クラスタリングの歴史

• 1957：Steinhaus が連続版 k-means を提案
• 1967：MacQueen の "k-means" 論文
• 1963：Ward の階層クラスタリング
• 1977：Dempster らの EM アルゴリズム
• 1996：Ester らの DBSCAN（KDD'96 で時のテスト・オブ・タイム賞 2014）
• 2007：k-means++ で初期化が改善
• 2013：HDBSCAN（密度ベース階層）
• 2018：UMAP + クラスタリングが標準化

💼 15. 実務応用

• マーケティング：顧客セグメンテーション、 RFM 分析
• EC：商品クラスタ、 ユーザーグループでレコメンド改善
• 製造業：センサー異常検知（DBSCAN でノイズ＝異常）
• 医療：患者サブタイプ発見、 疾患群同定
• 生物学：遺伝子発現クラスタ、 進化系統樹
• テキスト分析：文書クラスタ、 トピック抽出
• 地理：都道府県・地域のグルーピング（SSDSE-B 想定）

1. sklearn.cluster — 5 大手法を一気に比較

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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from sklearn.cluster import (KMeans, AgglomerativeClustering,
                              DBSCAN, SpectralClustering, MeanShift)
from sklearn.mixture import GaussianMixture

models = {
    'KMeans'         : KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0),
    'Agglo (ward)'   : AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='ward'),
    'Agglo (average)': AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='average'),
    'DBSCAN'         : DBSCAN(eps=1.2, min_samples=3),
    'Spectral'       : SpectralClustering(n_clusters=4, affinity='rbf',
                                          random_state=0),
    'GMM'            : GaussianMixture(n_components=4, random_state=0),
    'MeanShift'      : MeanShift(),
}
labels_dict = {n: m.fit_predict(X) for n, m in models.items()}

2. scipy.cluster.hierarchy — Ward 法の linkage / dendrogram

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram, fcluster
from scipy.spatial.distance import pdist
D = pdist(X, metric='euclidean')
Z_ward     = linkage(D, method='ward')
Z_complete = linkage(D, method='complete')
Z_average  = linkage(D, method='average')
labels = fcluster(Z_ward, t=4, criterion='maxclust')

3. hdbscan — 密度ベース・k 不要

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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import hdbscan
clusterer = hdbscan.HDBSCAN(min_cluster_size=4, min_samples=2)
labels = clusterer.fit_predict(X)
print('クラスタ数:', len(set(labels)) - (1 if -1 in labels else 0))
print('ノイズ点 :', np.sum(labels == -1))
print('安定性  :', clusterer.cluster_persistence_)

4. 評価指標を一括計算

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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from sklearn.metrics import (silhouette_score, calinski_harabasz_score,
                              davies_bouldin_score, adjusted_rand_score)
for name, lab in labels_dict.items():
    valid = lab != -1   # DBSCAN のノイズを除外
    if len(set(lab[valid])) < 2: continue
    print(f'{name:<18s} sil={silhouette_score(X[valid], lab[valid]):.3f}  '
          f'CH={calinski_harabasz_score(X[valid], lab[valid]):.1f}  '
          f'DB={davies_bouldin_score(X[valid], lab[valid]):.3f}')

5. UMAP/t-SNE で可視化

📥 入力例: data/raw/SSDSE-B-2026.csv
  特徴量: A1101(総人口)・A1303(65歳以上人口)・L3221(消費支出)・I5102(一般診療所数)・G7101(延べ宿泊者数)・A4101(出生数)・A9101(婚姻件数)・E2101(小学校数)
  前処理: StandardScaler で平均 0、 分散 1 に標準化

📤 実行例:
  KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X)
  各クラスタの代表都道府県:
   C0: 宮城・静岡・広島 ほか22県（中位地方群）
   C1: 神奈川・大阪・愛知・福岡 ほか8県（大都市圏）
   C2: 東京（単独・突出）
   C3: 秋田・鳥取・高知 ほか16県（小規模・過疎群）
  シルエット係数 = 0.382（k=4, 中程度の分離）

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from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.manifold import TSNE
import umap

emb_pca  = PCA(n_components=2).fit_transform(X)
emb_tsne = TSNE(n_components=2, perplexity=8, random_state=0).fit_transform(X)
emb_umap = umap.UMAP(n_neighbors=8, random_state=0).fit_transform(X)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4.5))
for ax, emb, t in zip(axes, [emb_pca, emb_tsne, emb_umap],
                      ['PCA','t-SNE','UMAP']):
    ax.scatter(emb[:,0], emb[:,1], c=labels_dict['KMeans'], cmap='Set2', s=50)
    ax.set_title(t)

🎮 触って理解する — データ形状 × 手法マッチング実験室

このページの主役は個々のアルゴリズムではなく「どの手法を選ぶか」です。同じデータでも手法が変わると結果はまったく変わります。ここでは 4 つのデータ形状 × 4 つの手法（k-means / 階層 Ward / DBSCAN / GMM）を全組み合わせで試し、「手法が仮定するクラスタ像」とデータ形状のマッチングを体感してください。キャンバスをドラッグ（スマホは指でなぞる）と自分で点を描き足して実験することもできます。

✏️ キャンバス上をドラッグ／なぞると点を追加できます（指を離すと再クラスタリング）

※ シルエット係数は「凸（塊状）クラスタ」を暗黙に仮定した指標です。同心円を正しく分けた DBSCAN のシルエットが低く出ることに注目——手法だけでなく評価指標にも「得意な形」があり、数値 1 つで優劣を断定できません。

🔬 4 手法を一括比較する ↺ データを再生成

📋 形状 × 手法 相性マトリクス（現在の組み合わせが青枠）

💡 直感 — 手法には「得意な形」がある

どのクラスタリング手法も、内部に「クラスタとはこういう形のはずだ」という仮定（帰納バイアス）を持っています。k-means は「等方的な球」、階層クラスタリングの Ward 法は「コンパクトな塊」、DBSCAN は「密度で繋がった任意形状＋ノイズ」、GMM は「傾いた楕円（ガウス分布）」です。手法選択とは、この仮定とデータの実際の形を照合する作業に他なりません。だからこそ、クラスタリングの第一歩はアルゴリズム実行ではなく「散布図（高次元なら次元削減後）を眺めて形を推測すること」なのです。上の実験で同心円に k-means を当てると輪が真っ二つになるのは、k-means が悪いのではなく仮定が合っていないだけ——道具の選び間違いです。

⚠️ よくある落とし穴 — 万能手法は存在しない

• 「いつも k-means」で済ませる：上のマトリクスに ◎ だけの列（万能手法）は存在しません。同心円・細長い帯・密度差のいずれかで、どの手法も必ずつまずきます。まず形を見る、が鉄則です。
• 前提の確認を飛ばす：距離ベースの手法は標準化なしでは大スケール変数に支配されます。外れ値は k-means の重心と Ward の併合を大きく歪めます（SSDSE-B-2026 でも東京・大阪など少数の巨大都県が重心を引きずる典型例）。
• 評価指標を無条件に信じる：シルエット係数などクラスタ評価指標にも形状の仮定があります。上の実験のとおり、同心円を正しく分けた DBSCAN のシルエットはむしろ低く出ます。指標 1 つで「この手法が最良」と断定してはいけません。
• 小標本での密度手法：n=47（都道府県）のような小さいデータでは、DBSCAN の密度推定は不安定で eps に過敏になります。まず k-means・階層で骨格を掴む方が安全です。

🚀 発展 — 手法選択フローとアンサンブル

実務の選択フロー：① データを 2 次元に落として散布図を描く → ② 形が見えるなら上のマトリクスで手法を選ぶ（球状なら k-means、輪や三日月なら DBSCAN やスペクトラルクラスタリング、傾いた楕円なら GMM、密度差が大きいなら HDBSCAN） → ③ 形が見えないなら複数手法 × 複数 k を試し、結果同士の一致度（ARI）や解釈可能性で絞り込む、の 3 段階が定石です。

アンサンブル（コンセンサス）クラスタリング：単一手法の仮定に依存しないための発展形として、複数手法・複数初期値・複数 k の結果を「点 i と点 j が同じクラスタに入った回数」の共起行列にまとめ、それを類似度として再クラスタリングする方法があります。個々の手法の癖が平均化され、どの実行でも一緒になるペアだけが安定したクラスタ核として残ります。教師あり学習のアンサンブル学習（バギング等）と同じ発想を教師なし学習に持ち込んだものです。個別手法の詳細はk-means・階層クラスタリング・DBSCAN・GMM・クラスタリング総論の各ページへ。

⚠️ 10. よくある落とし穴

🏋️ 11. 練習問題（SSDSE-B-2026）

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import pandas as pd
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
X = df[['消費支出', '世帯人員', '高齢化率', '人口密度', '就業率']]
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
km = KMeans(n_clusters=4, n_init=10, random_state=42)
df['cluster'] = km.fit_predict(X_scaled)
print(df.groupby('cluster')[X.columns].mean().round(1))
print(df.groupby('cluster')['都道府県'].apply(lambda s: ', '.join(s)))

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import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cluster import KMeans

# X_scaled はこのあとのブロックで作っているので、ここでも用意しておく
_d = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
_d = _d[_d['SSDSE-B-2026'] == 2023]
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(
    _d[['A1101', 'A1301', 'A1303', 'A4101', 'L3221']].astype(float).values)

from sklearn.metrics import silhouette_score
import matplotlib.pyplot as plt
sils, inertias = [], []
for k in range(2, 11):
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=10, random_state=42).fit(X_scaled)
    sils.append(silhouette_score(X_scaled, km.labels_))
    inertias.append(km.inertia_)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
axes[0].plot(range(2,11), inertias, 'o-'); axes[0].set_title('Elbow')
axes[1].plot(range(2,11), sils, 'o-'); axes[1].set_title('Silhouette')
plt.show()

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from scipy.cluster.hierarchy import linkage, fcluster
from sklearn.metrics import adjusted_rand_score
Z = linkage(X_scaled, method='ward')
labels_h = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')
print('ARI(km, hier) =', adjusted_rand_score(km.labels_, labels_h))

📝 12. 報告フォーマット

❌ NG例

「k-means で 4 グループに分かれました。」

✅ OK例

「47 都道府県を 5 次元（所得・世帯人員・高齢化率・人口密度・就業率、 標準化済み）で k-means クラスタリング。 K=2〜10 のシルエット係数と Ward 法 BIC から K=4 を選択。 シルエット = 0.42（中程度）。 各クラスタを特徴量プロファイルから「大都市圏」「成長地方」「高齢過疎」「観光・農村」と命名。 Ward 法との ARI = 0.71（高い一致）。 再現性のため random_state=42, n_init=10 を明記。」

⚠️ クラスタリングの落とし穴 — 6 つの典型ミス

⚠️ 落とし穴の追加 — クラスタリングで最も多い失敗 8 選

1. 標準化忘れ: 単位の大きい変数（人口など）が距離を支配。 必ず StandardScaler か RobustScaler を入れる。
2. K を 1 指標で決定: シルエットだけ、 エルボーだけは危険。 最低 3 指標で多角的に判断する。
3. 外れ値を無視: 東京・神奈川は人口・所得で常に外れ値。 「ロバストスケーラー」「DBSCAN のノイズラベル」「クラスタリング前に箱ひげ図」の 3 段構えで対処。
4. 高次元の呪い: 変数が 30+ になるとユークリッド距離の意味が崩壊。 PCA や UMAP で 5-10 次元に圧縮してからクラスタリング。
5. カテゴリ変数を混在: 「地域区分」と「人口」を同じ距離で扱うのは禁物。 k-prototypes か Gower 距離を使う。
6. 再現性確認をしない: random_state を固定し、 n_init=20 以上にし、 ブートストラップで安定性を計測。
7. 群サイズの極端な不均衡: サイズ [44, 1, 1, 1] のような結果は失敗。 単連結や eps が小さすぎる DBSCAN で起こる。
8. 解釈なしで終わる: クラスタ ID は記号にすぎない。 各群の 平均ベクトル・代表サンプル・命名（例: 「大都市群」） を必ず行う。

表 9: 失敗パターンと対策のマトリクス

💼 実務応用 — 都道府県クラスタを「政策」「マーケ」「教育」で活用する

表 10: クラスタリング応用シーン

クラスタプロファイルを書き出すコード

このコードでやること: SSDSE-B-2026 を k=4 で分けた各群について、 「平均ベクトル ・ 代表都道府県 ・ 命名候補」を一覧出力する。

📥 入力: df（生データ）、 km.labels_（前述 k-means の結果）

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df['cluster'] = km.labels_

# 1) 各クラスタの平均値
profile = df.groupby('cluster')[feats].mean().round(0)
profile['n'] = df.groupby('cluster').size()
print('=== クラスタ別平均 ===')
print(profile)

# 2) 各クラスタの代表都道府県（重心に最も近い 3 県）
# df は skiprows=[1] で読んでいるので、県名の列は '都道府県' ではなく 'Prefecture'
from sklearn.metrics import pairwise_distances_argmin_min
for c in sorted(df['cluster'].unique()):
    mask = df['cluster'] == c
    sub_X = Xs[mask.values]
    center = sub_X.mean(axis=0).reshape(1, -1)
    dists = ((sub_X - center) ** 2).sum(axis=1)
    near_idx = np.argsort(dists)[:3]
    near_pref = df.loc[mask, 'Prefecture'].values[near_idx]
    print(f'クラスタ {c}: 代表 {list(near_pref)}')

📤 実行結果（典型例）:

💬 解釈と命名候補:

• クラスタ 0（3 県）: 「大都市核」 — 人口 900 万超、 多面的経済集積
• クラスタ 1（11 県）: 「準大都市・工業核」 — 製造業比率が高く、 関東・関西・中部の周辺県
• クラスタ 2（18 県）: 「中規模県」 — 政令市を 1 つ持つ規模、 地方中核
• クラスタ 3（15 県）: 「地方県」 — 高齢化と人口減少が顕著

この命名により、 「クラスタ 3 の県には少子化対策パッケージ A」「クラスタ 1 の県には工業高度化補助金 B」など、 同類型県に共通する政策ツールキットを設計できます。

🌐 関連手法・派生

クラスタリンググループ教材は、 都道府県データを k-means / 階層クラスタリング / DBSCAN / GMM で類型化する一連の手法群をまとめた学習単位である。 個別手法を選ぶ前に、 距離尺度 (ユークリッド / マハラノビス / コサイン) と前処理 (標準化) を統一しておくことが、 47 都道府県の分析結果を再現可能にする鍵になる。

• 上位概念: 教師なし学習 / 機械学習の基礎。 ラベルなしデータから構造を抽出する大枠の中にクラスタリンググループが位置する。
• 並列手法 (同カテゴリ): k-means・階層クラスタリング (Ward 法)・DBSCAN・GMM (混合ガウス) — それぞれ「距離 / 連結 / 密度 / 確率」を基準にクラスタを形成する。
• 前段処理: 標準化 (人口・面積など単位の異なる変数を揃える)、 欠損値補完、 次元削減 (PCA / UMAP) で 47 都道府県 × 数十変数を 2-5 次元に圧縮。
• 後段処理: シルエット係数 / Davies-Bouldin / エルボー法でクラスタ数 k を決定、 都道府県名でラベル付けして地図にプロット、 各クラスタの特徴量平均で命名 (「大都市圏」「地方中核」など)。
• 派生・拡張: スペクトラルクラスタリング (グラフ理論ベース)、 ファジィ c-means (所属度を確率で表現)、 階層 + k-means の組み合わせ (大規模データ向け)。
• 競合・代替: 分類 (ラベルがある場合) や次元削減のみで構造可視化 (クラスタを切らない選択肢)。 「クラスタが本当に必要か」を問うのが最初のステップ。

クラスタリンググループを「k-means だけ覚えれば十分」と捉えるのではなく、 距離・連結・密度・確率の 4 系統を都道府県データで実際に試し比較する経験が、 教師なし分析の感覚を養う。

🔗 関連用語

• 次元削減 — PCA・UMAP との組み合わせ
• 機械学習の基礎
• 評価指標
• k-means（個別ページ）
• デンドログラム（個別ページ）
• PCA — クラスタリング前の次元削減
• 距離尺度

🔗 関連用語（拡張ネットワーク）

📚 前提となる用語

• 距離尺度（ユークリッド / マンハッタン / コサイン）
• 標準化
• 主成分分析（PCA）
• 教師なし学習
• 類似度・非類似度

🔀 並列に学ぶ用語

• k-means（詳細）
• 階層クラスタリング（詳細）
• DBSCAN / HDBSCAN
• 混合ガウスモデル GMM
• スペクトラルクラスタリング

🚀 発展先の用語

• アフィニティ伝播
• 自己組織化マップ（SOM）
• 深層クラスタリング
• クラスタ評価指標
• Hopkins 統計量（クラスタ性検定）

🧰 ツール・周辺概念

• UMAP / t-SNE — 次元削減 + 可視化
• シルエット係数
• エルボー法
• Gap 統計量

🔗 関連用語ネットワーク（R637 拡張）

• k-means / 階層クラスタリング / DBSCAN / GMM / HDBSCAN — 主要手法
• シルエット係数 / Calinski-Harabasz / Davies-Bouldin / ARI / NMI — 評価指標
• 標準化 / 対数変換 / PCA / UMAP / t-SNE — 前処理と可視化
• マハラノビス距離 / コサイン類似度 / DTW / 編集距離 — 距離尺度
• 教師なし学習 / 次元削減 / 異常検知 / レコメンデーション — 上位応用
• EM アルゴリズム / BIC / AIC / 尤度 / 事前分布 — 確率的基礎

🎓 理解度チェック

1. Q: SSDSE-B-2026 で k-means を回したら 1 つの群に 44 県、 残り 3 群に 1 県ずつ入った。 最も可能性が高い原因は？
   A: 標準化忘れ。 「製造品出荷額等」が単独で距離を支配し、 上位 3 県以外がまとめられた可能性が高い。
2. Q: K=4 とした際にシルエット 0.41、 K=2 で 0.49 が出た。 K=2 を採用すべきか？
   A: 必ずしも採用すべきでない。 K=2 は「東京都市圏 vs その他」という解釈情報量の少ない分割になりがち。 CH や DB と組み合わせ、 さらに業務文脈で「いくつに分けたいか」も考慮する。
3. Q: DBSCAN で eps を大きくしすぎると何が起こる？
   A: 全サンプルが 1 群に統合される（または巨大な 1 群＋少数ノイズ）。 k-distance グラフで「曲がり角」付近を eps の初期値に設定する。
4. Q: GMM の covariance_type='full' を 47 サンプル × 8 変数で使うのは妥当？
   A: 不適切な可能性が高い。 K=4 で 144 パラメータを 47 サンプルから推定するのは無理がある。 spherical か diag を選ぶ。
5. Q: ブートストラップ ARI が 0.91 ± 0.06 だった。 どう解釈する？
   A: 安定性が高い（>0.85）。 サンプリングのばらつきに対してもクラスタ構造が頑健で、 解釈の信頼度が高い。

📚 章構成

🎯 1. クラスタリングとは

正解ラベルがないデータを、 何らかの「類似性」に基づきグループに分ける手法群。 教師なし学習の中核。

主な用途

• 顧客セグメンテーション：購買パターンで顧客を分類
• 市場調査：商品・地域をクラスタ化
• 異常検知：クラスタから外れる点を異常と判定
• 画像分割：ピクセルをクラスタ化
• 遺伝子発現：遺伝子の機能群推定
• 探索的データ分析：データの自然な構造を見つける

本ページの方針

クラスタリングは「解釈」が結果のすべて。 同じデータでも手法・距離・K で結果が変わる。 単一手法に頼らず、 複数手法・複数 K で結果を見比べる方針で進めます。

📏 2. 距離と前処理

主な距離

• ユークリッド距離：$d = \sqrt{\sum_j (x_j - y_j)^2}$。 連続変数の標準
• マンハッタン距離：$d = \sum_j |x_j - y_j|$。 外れ値に頑健
• コサイン距離：$1 - \cos\theta$。 文書ベクトル等の向き比較
• マハラノビス距離：共分散を考慮した距離
• 編集距離：文字列・系列の比較

2.1 標準化を必ず行う

距離はスケールに敏感。 SSDSE-B では「消費支出（数百万）」と「世帯人員（数）」が同じ重みになるよう、 必ず標準化。

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from sklearn.preprocessing import StandardScaler
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)

2.2 次元の呪い

高次元では「すべての点が等距離」に近づき、 距離ベースのクラスタリングが破綻する。 100 次元以上では PCA や UMAP で次元削減してから。

🎯 3. k-means クラスタリング

3.1 アルゴリズム

1. K 個の重心 $\boldsymbol{\mu}_1, \dots, \boldsymbol{\mu}_K$ をランダム初期化
2. 各点を最近傍の重心に割り当てる
3. 各クラスタの重心を平均で更新
4. 変化がなくなるまで 2-3 を反復

3.2 目的関数

$$J = \sum_{k=1}^{K} \sum_{\mathbf{x} \in C_k} \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_k\|^2 \quad (\text{= WCSS, 群内平方和})$$

$J$ を反復で減少させる。 局所最適に陥るため複数 seed で試す（n_init='auto' が既定）。

3.3 K-means++

2007 年 Arthur & Vassilvitskii。 初期重心を「離れた点」を優先して選ぶ改良。 sklearn の既定（init='k-means++'）。

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import pandas as pd
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
X = df[['消費支出', '世帯人員', '高齢化率', '人口密度', '就業率']]
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)

kmeans = KMeans(n_clusters=4, n_init=10, random_state=42)
df['cluster'] = kmeans.fit_predict(X_scaled)
print(df.groupby('cluster')['都道府県'].apply(list))

🔢 4. K の選び方

4.1 エルボー法

K vs WCSS（慣性）をプロットし、 「肘」となる K を選ぶ。 主観的。

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import matplotlib.pyplot as plt
inertias = []
for k in range(2, 11):
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=10, random_state=42).fit(X_scaled)
    inertias.append(km.inertia_)
plt.plot(range(2, 11), inertias, 'o-')
plt.xlabel('K')
plt.ylabel('WCSS (慣性)')
plt.title('エルボー法')
plt.show()

4.2 シルエット係数

$$s_i = \frac{b_i - a_i}{\max(a_i, b_i)} \in [-1, 1]$$

$a_i$＝同クラスタ内の平均距離、 $b_i$＝最近隣クラスタ平均距離。 全データの平均が大きい K が良い。

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from sklearn.metrics import silhouette_score
for k in range(2, 11):
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=10, random_state=42).fit(X_scaled)
    s = silhouette_score(X_scaled, km.labels_)
    print(f'K={k}: silhouette = {s:.3f}')

4.3 BIC / AIC（GMM）

GMM では BIC・AIC で K を選べる。 後述。

🌲 5. 階層クラスタリング

「凝集型」(bottom-up) と「分割型」(top-down) があるが、 実務は凝集型。

5.1 凝集型アルゴリズム

1. 各点を 1 クラスタとして開始
2. 最も近い 2 クラスタを統合
3. 1 クラスタになるまで反復

5.2 リンケージ（クラスタ間距離）

• 単連結 (single)：最近隣ペア。 鎖状クラスタを作りやすい
• 完全連結 (complete)：最遠ペア。 球形クラスタ
• 平均連結 (average)：平均距離。 中庸
• ウォード法 (ward)：分散最小化。 最もよく使われる

5.3 デンドログラム

クラスタの統合過程を樹形図に。 横線の高さで「どこで切るか」＝ K を決められる。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（SSDSE-B の 47 都道府県・最新年度）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=1)
df = df[df['地域コード'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
df['年度'] = pd.to_numeric(df['年度'], errors='coerce')
df = df[df['年度'] == df['年度'].max()]
for _c in df.columns[3:]:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df['高齢化率'] = df['65歳以上人口'] / df['総人口'] * 100

# 見本でよく使われる仮の列名を、実データから作っておく
df['income'] = df['消費支出（二人以上の世帯）']
df['population'] = df['総人口']
_region = {'北海道': '北海道', '青森県': '東北', '岩手県': '東北', '宮城県': '東北',
           '秋田県': '東北', '山形県': '東北', '福島県': '東北', '茨城県': '関東',
           '栃木県': '関東', '群馬県': '関東', '埼玉県': '関東', '千葉県': '関東',
           '東京都': '関東', '神奈川県': '関東'}
df['region'] = df['都道府県'].map(_region).fillna('その他')
df['地域'] = df['region']

from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage, fcluster
import matplotlib.pyplot as plt

Z = linkage(X_scaled, method='ward')
plt.figure(figsize=(14, 6))
dendrogram(Z, labels=df['都道府県'].values, leaf_rotation=90)
plt.title('Ward法デンドログラム')
plt.tight_layout()
plt.show()

# 4 クラスタに切る
df['cluster_h'] = fcluster(Z, t=4, criterion='maxclust')

🌀 6. DBSCAN（密度ベース）

密度の高い領域をクラスタ、 低密度の点を「ノイズ」として扱う。 K の事前指定不要。 任意形状を捉える。

6.1 パラメータ

• eps：近傍半径
• min_samples：コア点の最小近傍数

6.2 点の分類

• コア点：半径 eps 内に min_samples 以上を持つ点
• 境界点：コア点の eps 内にあるが自身は非コア
• ノイズ点：どのコア点からも eps 内にない

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from sklearn.cluster import DBSCAN
db = DBSCAN(eps=0.5, min_samples=3).fit(X_scaled)
df['cluster_db'] = db.labels_  # -1 はノイズ
print('クラスタ数:', len(set(db.labels_)) - (1 if -1 in db.labels_ else 0))
print('ノイズ件数:', (db.labels_ == -1).sum())

6.3 eps の選び方

k-distance plot：各点の k 番目に近い点までの距離を昇順プロット。 急に立ち上がる「肘」を eps に。

📊 7. GMM（混合ガウスモデル）

各クラスタが多変量正規分布に従うと仮定。 ソフトクラスタリング（所属確率）。

$$p(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)$$

記号読み：$\pi_k$ は「パイ・サブ・ケー」混合比、 $\boldsymbol{\Sigma}_k$ はクラスタ $k$ の共分散行列。

7.1 EM アルゴリズム

1. E ステップ：各点の所属確率（responsibility）を計算
2. M ステップ：所属確率に基づき $\pi_k, \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k$ を更新
3. 対数尤度の変化が小さくなるまで反復

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from sklearn.mixture import GaussianMixture

# BIC で K を選ぶ
bics = []
for k in range(2, 11):
    gmm = GaussianMixture(n_components=k, covariance_type='full', random_state=42)
    gmm.fit(X_scaled)
    bics.append(gmm.bic(X_scaled))
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(2, 11), bics, 'o-')
plt.xlabel('K'); plt.ylabel('BIC')
plt.show()

# 最良 K で学習
gmm = GaussianMixture(n_components=4, random_state=42).fit(X_scaled)
df['cluster_gmm'] = gmm.predict(X_scaled)
df[['proba_0','proba_1','proba_2','proba_3']] = gmm.predict_proba(X_scaled)

7.2 共分散の型

• full：各クラスタが独自共分散。 最も柔軟だが過学習しやすい
• tied：共通の共分散。 LDA に近い
• diag：対角のみ。 軸に揃ったクラスタ
• spherical：等方。 k-means に近い

📏 8. クラスタリング評価

8.1 内部評価（正解ラベルなし）

• シルエット係数：[-1, 1]。 大きいほど良い
• Davies–Bouldin Index：小さいほど良い
• Calinski–Harabasz Index：大きいほど良い

8.2 外部評価（正解ラベルあり）

• ARI (Adjusted Rand Index)：[-1, 1]、 1 が完全一致、 0 が偶然
• NMI (Normalized Mutual Information)：[0, 1]
• Fowlkes–Mallows Index：精度・再現率の幾何平均

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import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.mixture import GaussianMixture
from sklearn.metrics import silhouette_score, davies_bouldin_score, calinski_harabasz_score

# ── この抜粋だけで動くように、2 つのクラスタリング結果を作る ──
_d = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
_d = _d[_d['SSDSE-B-2026'] == 2023]
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(
    _d[['A1101', 'A1301', 'A1303', 'A4101', 'L3221']].astype(float).values)
kmeans = KMeans(n_clusters=4, n_init=20, random_state=0).fit(X_scaled)
gmm = GaussianMixture(n_components=4, random_state=0).fit(X_scaled)

for name, labels in [('kmeans', kmeans.labels_), ('gmm', gmm.predict(X_scaled))]:
    sil = silhouette_score(X_scaled, labels)
    db = davies_bouldin_score(X_scaled, labels)
    ch = calinski_harabasz_score(X_scaled, labels)
    print(f'{name}: sil={sil:.3f}, DB={db:.3f}, CH={ch:.1f}')

📊 9. 手法比較

🗺 概念マップ

「クラスタリング (グループ教材)」を中心に、 「k は何個か」(問い) と「シルエット・エルボー」(解) を対置した俯瞰図。 47 都道府県データを k-means/階層型/DBSCAN/GMM の 4 系統で類型化する道筋を示す。

上の概念マップは「クラスタリンググループ」を中心に、 Q (問い: クラスタは何個に分けるべきか)・A (答え: シルエット係数とエルボー法で k を決める)・派生 (距離・連結・密度・確率の 4 系統) を 3 方向に展開した俯瞰図である。 47 都道府県データを k-means・階層・DBSCAN・GMM の順に通してみると、 同じデータでもクラスタ境界が異なる感覚が掴める。

このグループ教材を学ぶ目的は、 単に手法名を覚えることではなく「都道府県を見たときに、 距離 / 連結 / 密度 / 確率の 4 視点で類型化を試せる」状態を作ることである。 概念マップで全体像を掴んでから個別ページに進むと迷わない。

🔗 隣接手法への橋渡し

「クラスタリング」は教師なしでデータを群に分ける手法群で、 上流の標準化と次元削減、 下流のシルエット係数による評価が無いと「クラスタの数が違うだけで結論が反転する」事故が起きる。

• 上流: クラスタリング（グループ） の入力となる47 都道府県 × A1101 総人口・A4101 出生数 を整える前処理 (データクレンジング、 欠損値処理)
• 並列: 類似目的を持つ代替手法 (分類、 アソシエーション分析) と比較・併用
• 下流: 出力結果の評価・解釈 (シルエット係数、 可視化)

上流で標準化と次元削減を済ませ、 並列の k-means/階層型/DBSCAN を比較し、 下流でシルエット係数と可視化を出せば、 都道府県をライフスタイル類型に分けるような EDA を再現可能な形で実行できる。

🌳 手法選択フロー

「クラスタリング」を実際に使うとき、 何をどう選ぶかを順に判断する。 上から順に答えていくと、 使うべき手法と評価の仕方が決まる。

1. いくつに分けたいか決まっているか
   決まっているなら k-means。 決まっていないなら階層クラスタリングでデンドログラムを描き、 どこで切るかを見てから決める。 k を先に決めた理由は必ず書き残す。
2. クラスタの形は丸いと仮定できるか
   k-means は球状のまとまりを前提にする。 細長い形や密度の違う集団があるなら DBSCAN やスペクトラルクラスタリングへ。
3. 尺度の違う列を混ぜていないか
   総人口（百万単位）と合計特殊出生率（1 前後）をそのまま使うと、 距離が人口だけで決まる。 標準化してから距離を測る。
4. 結果をどう検証するか
   正解が無いので、 シルエット係数などの内部指標と、 「そのグループ分けがドメイン的に説明できるか」の両方で見る。 乱数の初期値を変えても同じ分割になるかも確かめる。

47 都道府県は件数が少ないので、 クラスタ数を増やすとすぐに 1 県だけのクラスタができる。 k は 3〜5 程度から試し、 各クラスタに何県入ったかを必ず確認する。