🔖 キーワード索引（補強・追加分）

🔖 キーワード索引（補強・追加分）

尺度と分布の形 関連の補強キーワード。 クリックで該当箇所へ：

🎨 22. 分布形状の視覚化

• ヒストグラム：全体形状を把握する基本
• カーネル密度推定 (KDE)：滑らかな分布形
• 箱ひげ図：四分位 + 外れ値で歪みを視覚化
• バイオリンプロット：箱ひげ + KDE のハイブリッド
• QQ プロット：理論分布との一致度
• PP プロット：累積確率の比較

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import pandas as pd

# df はこのあとのブロックで作っているので、ここでも用意しておく
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023].reset_index(drop=True)

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))
sns.histplot(df['A1101'], kde=True, ax=axes[0])  # A1101=総人口
sns.boxplot(y=df['A1101'], ax=axes[1])
sns.violinplot(y=df['A1101'], ax=axes[2])
plt.tight_layout(); plt.show()

📐 1. モーメントとは

📐 1. モーメントとは

確率変数 $X$ のk 次のモーメントとk 次の中心モーメント：

$$m_k = \mathbb{E}[X^k], \quad \mu_k = \mathbb{E}[(X-\mu)^k]$$

🔬 数式を言葉で読み解く

記号読み：$m_k$ は「エム・サブ・ケー」原点周りのモーメント、 $\mu_k$ は「ミュー・サブ・ケー」中心モーメント、 $\mu = m_1$ は平均。 $\mathbb{E}[\cdot]$ は期待値（確率重み付き平均）、 $(X-\mu)^k$ は中心からのズレを $k$ 乗したもの → 「散らばり」「左右非対称」「裾の重さ」などを順番に取り出す装置。

🌐 関連手法・派生：モーメントは 分散・標準偏差・正規分布のパラメータ推定（モーメント法）と直結します。 高次モーメントは分布形状判定の核です。

主要モーメント

• 1次原点モーメント：平均
• 2次中心モーメント：分散 $\sigma^2$
• 3次中心モーメント / σ³：歪度
• 4次中心モーメント / σ⁴：尖度（生）

↔️ 2. 歪度（Skewness）

$$\gamma_1 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right] = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

記号読み：$\gamma_1$ は「ガンマ・サブ・1」歪度。 標本では Fisher–Pearson 標準化 $g_1 = \sum (x_i-\bar{x})^3 / (n\sigma^3)$。

解釈

実値計算

データ [1, 2, 2, 3, 10]：平均 3.6、 σ ≈ 3.26

• 偏差: -2.6, -1.6, -1.6, -0.6, 6.4
• 3乗の平均: $((-2.6)^3 + (-1.6)^3·2 + (-0.6)^3 + 6.4^3)/5 \approx 47.2$
• 歪度: $47.2 / 3.26^3 \approx 1.36$ （右に大きく歪む）

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import pandas as pd
from scipy import stats
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
for col in ['A1101', 'L3221', 'A1303', 'A4103']:
    print(f'{col}: skew = {df[col].skew():.3f}')

🗻 3. 尖度（Kurtosis）

$$\beta_2 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$$

記号読み：$\beta_2$ は生尖度。 正規分布で 3 になる。

超過尖度（Excess Kurtosis）

$$\gamma_2 = \beta_2 - 3$$

正規分布の尖度 3 を基準に「ゼロ中心」に修正。 pandas / scipy はこちらを返す。

解釈

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for col in ['A1101', 'L3221', 'A1303', 'A4103']:
    print(f'{col}: kurtosis = {df[col].kurtosis():.3f}')

🧪 4. 正規性の検定

• Shapiro–Wilk（小〜中標本で強力）
• Jarque–Bera（歪度と尖度ベース、 大標本で良好）
• D'Agostino K²（同じく歪度・尖度）
• Kolmogorov–Smirnov（経験 CDF と理論 CDF の最大差）
• Anderson–Darling（K-S の改良、 裾に敏感）

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from scipy import stats
x = df['A1101']
print('Shapiro:', stats.shapiro(x))
print('Jarque-Bera:', stats.jarque_bera(x))
print('D\'Agostino:', stats.normaltest(x))

4.1 QQ プロット

標本分位点 vs 理論分位点。 一直線なら正規。 目視で正規性を確認する最強の方法。

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import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
sm.qqplot(x, line='s')
plt.show()

4.2 Jarque–Bera 統計量

$$JB = \frac{n}{6}\left(\gamma_1^2 + \frac{\gamma_2^2}{4}\right)$$

正規分布のもと $\chi^2_2$ に従う。

🔄 5. 歪んだデータの変換

5.1 対数変換

右歪みデータ（所得、 価格、 待ち時間など）に有効。 $y = \log(x+1)$ で 0 も扱える。

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import numpy as np
df['log_A1101'] = np.log1p(df['A1101'])
print('変換前 skew:', df['A1101'].skew())
print('変換後 skew:', df['log_A1101'].skew())

5.2 Box-Cox 変換

$$y(\lambda) = \begin{cases} (x^\lambda - 1)/\lambda & (\lambda \ne 0) \\ \log x & (\lambda = 0)\end{cases}$$

$\lambda$ を最尤推定して最も正規に近づける。 $x > 0$ が必要。

5.3 Yeo-Johnson 変換

Box-Cox を負の値にも拡張した変換。

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from sklearn.preprocessing import PowerTransformer
pt = PowerTransformer(method='yeo-johnson')
df[['A1101_yj']] = pt.fit_transform(df[['A1101']])
print(df['A1101_yj'].skew())

📊 6. 主要分布の歪度・尖度

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = 0$（基準）

一様分布 $U(a, b)$

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = -6/5 = -1.2$（平坦）

指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$

$\gamma_1 = 2,\ \gamma_2 = 6$（強い右歪み・厚裾）

カイ二乗分布 $\chi^2_k$

$\gamma_1 = \sqrt{8/k},\ \gamma_2 = 12/k$（k が小さいほど強い歪み）

ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$

$\gamma_1 = 2/\sqrt{\alpha},\ \gamma_2 = 6/\alpha$

ベータ分布 $\mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

$\alpha > \beta$ で左歪み、 $\alpha < \beta$ で右歪み。 $\alpha=\beta$ で対称。

対数正規分布

$\gamma_1 = (e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$。 $\sigma$ が小さくても顕著な右歪み。

t分布 (df=ν, ν≥5)

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = 6/(\nu-4)$（裾が厚い）

🎲 17. シミュレーションで形状を理解

本講座は実データのみを扱いますが、 教育目的では「ある分布から大量サンプリングして歪度・尖度の収束を見る」シミュレーションが有効。 本ページでは数式と SSDSE-B の実データ計算で代替します。

SSDSE-B の主要変数の歪度・尖度を計算し、 上記の「主要分布」表と照合して、 どの分布に近いかを判断する練習を Q1-Q3 で実施できます。

❓ 18. よくある質問

Q. 「歪度・尖度」だけでデータが正規分布かを判定できる？

A. 必要条件にはなりますが十分ではありません。 正規分布は $\gamma_1=0, \gamma_2=0$ ですが、 他にも条件を満たす分布があります。 QQプロット併用が必須。

Q. なぜ「分散」を使うのに「歪度」「尖度」も必要？

A. 分散は「ばらつき」を測りますが「対称性」や「裾の厚さ」は捕捉しません。 リスク管理・モデル選択では裾の挙動が決定的に重要。

Q. 標本サイズが小さい時の歪度の信頼性は？

A. 一般に n < 30 では推定が不安定。 ブートストラップ CI で評価するか、 中央値ベースの頑健な歪度（Bowley）を使う。

🔬 深掘り解説: 分布形状指標を 47 都道府県で実観測する

🔬 深掘り解説: 分布形状指標を 47 都道府県で実観測する

「分布の形状」とは 中心 (mean / median) と ばらつき (variance / std) では掴みきれない、 分布の 非対称性 と 裾の重さ を数値化したものである。 ここでは SSDSE-B-2026 (47 都道府県データ、 出典: 独立行政法人統計センター) を実材料に、 歪度 (skewness)・尖度 (kurtosis) が どんなときに大きく動き、 どんなときに動かないか を都道府県の具体的事例で確認する。 直感を養うには「数式を眺める」ではなく「実値が動く瞬間を観察する」ことが最短ルートである。

A: 歪度 (skewness) を直感で理解する 3 段階

歪度 $\gamma_1 = E[(X-\mu)^3]/\sigma^3$ は、 平均から見た「左右の非対称さ」を 3 乗で増幅して測る。 3 乗のため 外れ値が一発で値を引っ張る のが特徴。 SSDSE-B-2026 の代表列を歪度の大きい順に並べると、 47 都道府県の「東京一極集中」が数値として浮き彫りになる。

図 D1: ヒストグラムで分布形状 (中心位置・裾の伸び方・左右対称性) を直感的に確認するのが第一歩。 平均と中央値の位置関係が左右の歪みを示唆する。

歪度が大きい列は 平均値を「典型値」として報告すると過大評価 につながりやすい。 たとえば人口の平均値は 265 万人前後だが、 実際は 47 都道府県のうち 35 件が平均以下に集中し、 「平均的な都道府県」と呼べる場所が存在しない。 このような場合は 中央値・四分位 を併記する設計が必要になる。

B: 尖度 (kurtosis) は「裾の重さ」を測る道具

尖度 $\gamma_2 = E[(X-\mu)^4]/\sigma^4 - 3$ (超過尖度) は 平均から離れた値が「想定より頻繁に」観測されるか を測る。 「尖り具合」と訳されがちだが、 実態は 裾 (tail) の厚み。 正規分布で 0、 t 分布や指数分布で正、 一様分布で負。

SSDSE-B-2026 の総人口列は超過尖度がおよそ +5 と 正規よりはっきり重い裾 を示す。 これは「都道府県の人口分布は正規ではなく、 一部の超大都市が裾を引き伸ばしている」ことを定量化している。 t 検定・ANOVA など正規性を仮定する検定をそのまま適用すると、 p 値が過小評価される可能性がある。 Shapiro-Wilk 検定 での事前確認や 対数変換 による正規化が必要になる場面。

C: 歪度と尖度の関係 — 同時に動く理由

歪度の二乗 $\gamma_1^2$ と超過尖度 $\gamma_2$ には数学的に $\gamma_2 \geq \gamma_1^2 - 2$ の不等式が成り立つ (Pearson 不等式)。 つまり 歪度が大きい分布は必ず尖度も大きくなる。 47 都道府県データで観測する人口・世帯支出系の列の多くが「右裾 + 重い裾」になるのはこの数学的帰結。

図 D2: 47 都道府県を 2 次元にプロットすると、 1 変数の歪度・尖度だけでは見えない「外れ点 (東京) が周辺関係を全て持っていく」構造が見える。 散布図と形状指標は併用する。

D: 47 都道府県の人口を Python で実測する

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の総人口列 A1101 と消費支出列 L3221（二人以上の世帯）について scipy.stats で歪度と尖度を計算し、 上位/下位 5 都道府県を表示する。 単に数値を出すだけでなく 「なぜその値になるのか」を都道府県名で確認 する。

📥 入力データ (SSDSE-B-2026 の 2023 年 冒頭 4 行):

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import pandas as pd
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]  # 最新年 (2023) の 47 都道府県
for col in ['A1101', 'L3221']:       # A1101=総人口, L3221=消費支出
    x = df[col].dropna()
    sk = stats.skew(x)
    ku = stats.kurtosis(x)  # 超過尖度 (Fisher 定義)
    print(f'[{col}] n={len(x)} mean={x.mean():.1f} std={x.std():.1f}')
    print(f'  skewness = {sk:+.3f}')
    print(f'  kurtosis = {ku:+.3f} (超過尖度)')
    top = df.nlargest(5, col)[['Prefecture', col]]
    bot = df.nsmallest(5, col)[['Prefecture', col]]
    print('  上位5:', top.to_dict('records'))
    print('  下位5:', bot.to_dict('records'))

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: A1101 は歪度 +2.22、 超過尖度 +4.95 で 明確な右裾 + やや厚い裾。 東京 1409 万人は次点神奈川の 1.5 倍、 最小の鳥取の 26 倍。 L3221（消費支出）は歪度 -0.52、 超過尖度 +0.52 で「ほぼ左右対称（わずかに左裾）で正規に近い分布」。 消費支出は最大の埼玉 34.4 万円と最小の愛媛 22.3 万円の差が 1.5 倍 程度に収まり、 人口のような極端な集中はない。 このギャップが「人口や経済規模は一極集中するが、 1 世帯あたりの消費支出は地域差が小さい」という政策議論の数値的根拠になる。

E: 形状指標の標本サイズ依存性 — n=47 は信頼できるか

歪度・尖度は 標本サイズが小さいと推定誤差が非常に大きい。 教科書的な経験則は「歪度の標準誤差 ≈ $\sqrt{6/n}$、 尖度の標準誤差 ≈ $\sqrt{24/n}$」。 47 都道府県データではそれぞれ約 0.36、 0.71 となる。

A1101 (総人口) の歪度 +2.22 は SE=0.36 に対して 6 倍以上の絶対値なので 明確に対称ではない と断言できる。 一方 A4103 (合計特殊出生率) の歪度 -0.04 は SE 内に収まるため「対称的とみなしてよい」。 ここを混同すると「47 都道府県すべての列に歪みがある」と過剰主張する誤りに繋がる。

F: 群間で形状を比較する — 47 都道府県 vs 米国 50 州 (思考実験)

図 D3: 箱ひげ図は中心位置 (中央値)・ばらつき (IQR)・外れ値・歪み (中央値が箱の中で偏る) を同時に可視化できる。 形状指標と組み合わせて使う標準ツール。

47 都道府県の人口分布は「東京一極集中 + 多数の中堅都市 + 少数の小都市」という 3 山構造に近い。 これは形状指標を「全体で 1 つ」しか出さない場合は見落とされる。 群分け (例: 三大都市圏 vs その他) して形状を別々に算出する「層別形状分析」が実務では多用される。

G: 尺度水準 (Stevens 1946) × 形状指標の可否マトリクス

形状指標は 間隔尺度・比率尺度 でしか定義されない。 名義 (例: 都道府県名) には足し算がないので平均すら存在せず、 順序 (例: 5 段階評価) でも数値差に意味がないため平均・分散の計算は本質的に不正確。 ところがアンケート 5 件法を平均して「3.8 点だから歪度は…」と語る分析は実務で頻発する。

SSDSE-B-2026 の数値列は全て比率尺度なので形状指標を計算してよい。 一方 SSDSE-E (学校データ) の教育課程コードや SSDSE-D (社会保障データ) の制度区分コードは名義尺度なので、 数値に見えても歪度を計算してはならない。 「標準化 後の値」「中央値 との比」など演算意味のある変換だけが許される。

H: 形状指標から検定・モデル選択へ — 実務フローチャート

形状指標は そのまま意思決定に使う数値ではなく、 次の分析を選ぶための予備調査値 である。 以下のフローは EDA 段階で頻出する判断パターン。

I: 形状指標を 1 行で計算する 6 種の Python ライブラリ

このコードでやること: 同じデータに対して scipy / pandas / numpy / statsmodels の歪度・尖度を比較し、 ライブラリごとの定義差 (Fisher vs Pearson、 バイアス補正の有無) を確認する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の A1101 列 (47 都道府県の総人口)。

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].dropna()

print('scipy.stats.skew (Fisher, bias=True)    :', stats.skew(x, bias=True))
print('scipy.stats.skew (Fisher, bias=False)   :', stats.skew(x, bias=False))
print('pandas .skew()  (Fisher, bias 補正済み)  :', x.skew())

print('scipy.stats.kurtosis (Fisher, bias=True):', stats.kurtosis(x, bias=True))
print('scipy.stats.kurtosis (Pearson)          :', stats.kurtosis(x, fisher=False))
print('pandas .kurt()  (Fisher, bias 補正済み)  :', x.kurt())

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: 同じデータでも 3 通りの値が出る。 (1) Fisher vs Pearson の差は 3 (定義の引き算)。 (2) bias 補正 は小標本ほど効く。 47 都道府県程度では数 % の差。 (3) 論文・レポートに記載する際は「scipy.stats.kurtosis (Fisher, bias=True)」のように定義を明示 しないと再現できない。 デフォルトのまま使う場合でも、 README に書く運用を推奨。

J: 形状指標が「動かない」典型ケース

歪度・尖度は便利だが、 以下の場合は値が動かず誤った安心を与える 危険がある。 EDA では数値だけでなく必ずヒストグラム・箱ひげ図と併用する。

• 双峰分布: 男女混合の身長など 2 山構造でも歪度はほぼ 0、 尖度はやや負になるだけで「歪んでいない」と誤読される。 → ヒストグラム で形状を必ず確認。
• 外れ値 1 点: 1 点だけ大きく離れた値で歪度・尖度が大きく動く。 「東京を除けば歪度は半減する」のような感度分析が必須。
• 標本サイズ過小: n=10 未満では SE が大きすぎて意味を持たない。 上の E 章参照。
• 離散値: 0-1 の二値変数、 サイコロの 6 値などは離散ゆえ「分布の形状」を連続的に語ることに違和感がある。 出現比率の表で十分なケースが多い。
• 打ち切りデータ: 年収 1000 万円以上を「1000 万円」とまとめたデータは右側打ち切り。 真の歪度・尖度は計算不能。

K: 関連用語の整理 (前提・並列・発展)

• 前提: 平均 / 中央値 / 分散 / 標準偏差 — 中心位置とばらつきを掴んでから形状指標へ。
• 並列: 四分位・IQR / 外れ値 — 形状を「区間」「離散点」で見るもう一つの言語。
• 視覚化: ヒストグラム / 箱ひげ図 / 散布図 — 数値と図を必ず併用。
• 検定: Shapiro-Wilk 検定 — 正規性の有無を p 値で判断。
• 変換: 標準化 — z 化は中心と尺度を揃えるが形状は変えない。 形状を変えたければ対数・平方根・Box-Cox 変換。
• 関連分布: 正規分布 — 形状指標の比較基準。

L: 1 ページ要約 — 形状指標の使用フロー

1. 列が 比率尺度 (人口・所得・距離・時間) であることを確認する。
2. ヒストグラム と 箱ひげ図 で目視する。 1 山か 2 山か、 左右どちらに偏るか、 外れ値はあるか。
3. scipy.stats で歪度・尖度を計算し、 SE と比較する (例: n=47 なら歪度 SE ≈ 0.36)。
4. |歪度| > 1 なら 対数変換 や Box-Cox 変換を試す。
5. |歪度| > 2 または超過尖度 > 5 なら 中央値 中心の報告に切り替える、 もしくは ノンパラ検定を選ぶ。
6. 外れ値除外時の感度分析を行い、 「外れ値 1 点で結論が変わる」なら別途報告する。
7. レポートには 定義 (Fisher / Pearson, bias 補正の有無) を明示 する。

形状指標は 「数値が小さい = 正常」では決してなく、 双峰・離散・打ち切りなど構造的な異常は見逃す。 必ず図と数値を合わせて判断する規律を持つ。 47 都道府県データは「歪度 +3 級が当たり前の世界」を体感する格好の教材になる。

🔬 深掘り II: 形状指標の応用 — 異常検知・機械学習・レポート設計

M: 異常検知における形状指標の役割

製造業の品質管理、 不正取引検知、 サーバ監視など 「正常時の分布を学習し、 そこから外れた値を検出する」 場面では、 形状指標は次の 3 つの判断に直接使われる。

• (1) 閾値設定: 正規分布なら平均 ± 3σ で 99.7% を覆うが、 重い裾 (尖度 +5 以上) では同じ閾値で 95% 程度に下がる。 異常見逃しが 10 倍になる計算。
• (2) 検定手法選択: Hotelling T² 検定は正規仮定。 歪度 > 2 や尖度 > 5 では Mahalanobis 距離 + 経験分布で閾値を決める方が安全。
• (3) アラート優先順位: 同じ z スコア 4 でも、 「正規分布なら 100 万分の 1」と「重い裾分布なら 1000 分の 1」では緊急度が 1000 倍違う。 アラート設計時に分布形状を必ず確認する。

N: 機械学習モデルへの影響 — 線形 vs 木 vs 深層

機械学習モデルの種類ごとに、 特徴量の歪度・尖度が予測精度に与える影響は大きく異なる。

SSDSE-B-2026 の人口列 A1101 (歪度 +2.2) をそのまま線形回帰に入れると、 東京 1 点が係数を支配する。 同じデータを XGBoost に渡せば順位情報だけ使うため、 東京の影響は限定的になる。 「データ形状を見てから、 モデルを選ぶ・前処理を決める」が EDA の最重要アウトプット。

O: SSDSE-B-2026 の歪度ランキング (47 都道府県、 主要 20 列)

SSDSE-B-2026 のおよそ 100 列のうち、 教材で扱う頻度の高い 20 列を歪度の絶対値順に並べた。 上位は「人口・世帯数の規模系」、 下位は「1 世帯あたり支出や比率系」になりがちで、 これが教材設計の指針になる。

P: パーセンタイル換算表 — 歪度・尖度から相対位置を読む

「東京は何パーセンタイルに位置するか」は分布形状によって大きく変わる。 同じ z スコア 3 でも、 正規分布なら上位 0.13%、 対数正規 (歪度 3) なら上位 1% 程度、 t 分布 (df=5) なら上位 1.5% といった具合。

SSDSE-B-2026 の人口列を z 化すると東京は z=4.0 付近にいる。 正規分布前提で考えると 3 万分の 1 の「奇跡」、 実際は対数正規前提で 100 分の 1 程度の「珍しいが起こり得る」現象。 この差が政策議論で「東京は特別」と片付けるか「他の都市にも起こり得る」と捉えるかの分かれ目になる。

Q: 報告書テンプレート — 形状指標を 1 表で伝える

レポートで形状指標を伝える際の標準テンプレート。 「数値だけ」「視覚化だけ」のいずれも不完全で、 両者を 1 つの表にまとめると読み手に最短で伝わる。

この表 1 つで、 読み手は「どの列を平均で語ってよいか」「対数変換が必要か」「外れ値はどこか」を一覧できる。 形状指標を単独で出すのではなく、 中心傾向・ばらつき・検定 p 値・推奨アクションをワンセットで提示するのが熟練アナリストの定型。

R: 教育設計上の注意 — 47 都道府県データを教材で使う際の落とし穴

• 標本サイズ 47 は小さい: 中心極限定理が完全には効かない。 「歪度 +2.2」と聞いて「珍しい」と思うのは過剰反応。 SE=0.36 程度はある。
• 都道府県は母集団そのもの: 47 都道府県は「日本の全都道府県」なので、 これは母集団であり標本ではない。 標準誤差や検定 p 値は厳密には不要。 ただし「ある時点のスナップショット」として標本扱いするのが教材慣行。
• 時系列で変化する: 同じ列でも年度によって歪度・尖度は変わる。 1990 年代と 2020 年代の人口分布形状を比較すると東京一極集中の進行が見える。
• 絶対値 vs 1 人あたり: 人口・所得・GDP は「絶対値」と「1 人あたり」で形状が全く違う。 教材ではどちらの軸かを必ず明示する。
• 非数値列の混入: SSDSE-B-2026 の「都道府県名」列は名義尺度。 数値計算する列を選ぶ際は 1 行目のヘッダ説明 (skiprows=[1] で飛ばすメタ行) を必ず確認する。
• 欠損値処理: SSDSE-B-2026 は基本的に完備だが、 一部列は年度によって欠損あり。 dropna() で 47 → 40 に減ると歪度・尖度の値が大きく変わる。

S: チェックリスト — 形状指標レポート完成度の自己評価

この 8 項目を全て満たして初めて「形状指標を理解した分析」と呼べる。 数値を出すだけなら scipy 1 行で終わるが、 そこから読み解きと意思決定に繋げるのが本来の使い方。 SSDSE-B-2026 と ヒストグラム・箱ひげ図・相関係数 を組み合わせれば、 47 都道府県を題材にした EDA の標準ワークフローを 1 ページで実演できる。

🔬 深掘り III: 形状を「変える」方法 — 変換と再標本化

T: 対数変換が歪度を消す原理

SSDSE-B-2026 の人口列 A1101 は歪度 +2.2、 超過尖度 +5.0 という明確な右裾分布だが、 各値に 自然対数を取るだけ で歪度はおよそ +0.8 まで縮み、 正規性検定でも棄却されない程度に対称化する。 これが対数変換が EDA・回帰分析の前処理で多用される理由である。

背景にある数学的理由は、 「東京 (1409 万) と鳥取 (54 万) は 26 倍の差」だが「log(1409 万) ≒ 16.46 と log(54 万) ≒ 13.19 は 1.25 倍の差」になるためである。 つまり対数変換は 「比率としての差」を「絶対値の差」に変換する 操作で、 比率に意味があるデータ (人口・所得・GDP・株価) に特に効く。

U: Python で変換前後の形状を一気に比較

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の総人口に 5 種類の変換を適用し、 変換前後の歪度・尖度を一覧表示する。 どの変換が最も「対称化」するかを実値で確認する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の A1101 列 (47 値)。

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].dropna()

# 5 種類の変換
y_sqrt = np.sqrt(x)
y_log = np.log(x)
y_inv = 1.0 / x
y_bc, lam = stats.boxcox(x)  # Box-Cox

print(f'{"変換":<10}{"歪度":>10}{"尖度":>10}')
print(f'{"なし":<10}{stats.skew(x):>10.3f}{stats.kurtosis(x):>10.3f}')
print(f'{"sqrt":<10}{stats.skew(y_sqrt):>10.3f}{stats.kurtosis(y_sqrt):>10.3f}')
print(f'{"log":<10}{stats.skew(y_log):>10.3f}{stats.kurtosis(y_log):>10.3f}')
print(f'{"1/x":<10}{stats.skew(y_inv):>10.3f}{stats.kurtosis(y_inv):>10.3f}')
print(f'{"Box-Cox":<10}{stats.skew(y_bc):>10.3f}{stats.kurtosis(y_bc):>10.3f}  (lambda={lam:.3f})')

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: Box-Cox の最適 λ ≈ -0.49 は 対数変換 (λ=0) と 逆数変換 (λ=-1) の中間で、 log 単独 (歪度 +0.79) よりさらに裾を圧縮し歪度を +0.12 まで下げる。 とはいえ log でも歪度は +2.2 → +0.8 に大きく改善し、 正規性検定 (D'Agostino) は棄却されなくなる。 実務では λ を最尤推定するより、 解釈しやすい対数変換を選ぶことが多い。

V: 変換のリスクと注意点

変換は万能ではない。 以下の落とし穴に注意する。

• ゼロや負値が含まれる: $\ln 0 = -\infty$ なので対数不能。 $\ln(x + 1)$ や Yeo-Johnson を使う。 SSDSE-B-2026 の人口は全て正なので問題ないが、 経常収支や所得増減率では負値が出る。
• 解釈が変わる: 「対数人口の平均」は「人口の幾何平均」を表す。 算術平均と異なる量を語っていることに注意。 レポートでは「自然対数を取った後に集計した」と明記する。
• 分散安定化との混同: 平方根変換はカウントデータ (ポアソン) の分散を安定化させる目的でも使う。 「歪度を消す」と「分散を安定化させる」は別目的。
• 過剰変換: 既に正規に近いデータに対数を取ると、 逆に左に偏ったり尖度が下がりすぎたりする。 変換前後で必ず歪度・尖度を比較する。
• 回帰係数の解釈: $\ln Y = a + b \ln X$ は「X が 1% 増えると Y は b% 増える」という弾性値の解釈になる。 元の単位での「1 単位増えると…」とは違う言語。
• 逆変換の予測誤差: $\ln Y$ で回帰し $\exp$ で戻すと予測値にバイアスが乗る (Jensen 不等式)。 Smearing 補正 などで対処する。

W: ブートストラップで形状指標の信頼区間を出す

このコードでやること: 47 都道府県データから復元抽出を 10,000 回繰り返し、 歪度・尖度の 95% 信頼区間を経験分布から求める。 公式の標準誤差 $\sqrt{6/n}$ より信頼性が高い。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の A1101 列 (47 値)。

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].dropna().to_numpy()
B = 10000  # ブートストラップ反復回数
rng = np.random.default_rng(42)

sk_boot = np.empty(B)
ku_boot = np.empty(B)
for b in range(B):
    sample = rng.choice(x, size=len(x), replace=True)
    sk_boot[b] = stats.skew(sample)
    ku_boot[b] = stats.kurtosis(sample)

print(f'歪度: 推定={stats.skew(x):.3f}')
print(f'      95% CI=[{np.percentile(sk_boot, 2.5):.3f}, {np.percentile(sk_boot, 97.5):.3f}]')
print(f'尖度: 推定={stats.kurtosis(x):.3f}')
print(f'      95% CI=[{np.percentile(ku_boot, 2.5):.3f}, {np.percentile(ku_boot, 97.5):.3f}]')

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: 歪度の 95% CI は [1.19, 3.29] と幅広く、 「正確な値はわからないが、 確実に正で、 おおむね 1.2 以上」と言える。 尖度はもっと幅広く [0.05, 11.85]、 つまり「裾は厚めだが、 どれくらい厚いかは標本では正確に分からない」。 n=47 という小標本での形状指標は 「方向は信頼できるが、 桁は信頼できない」 という認識が肝心。

X: 47 都道府県データで実践する形状分析の 1 時間ワークショップ

教材として 1 時間使う想定の段取り。 学習者に「数値を出す」より「数値を解釈する」訓練を施す設計。

このワークショップを 3 回繰り返すと、 学習者は「ヒストグラムを見ると歪度の符号が予想できる」「数値を見ると変換の要否が判断できる」という直感を獲得する。 形状指標は 覚える対象ではなく、 慣れる対象 である。

Y: よくある誤解と訂正

Z: まとめ — この記事 1 本で達成すべき理解

• 形状指標は中心傾向・ばらつきの次に確認する第三の指標。 平均・標準偏差・歪度・尖度の 4 点セットで分布を要約する。
• 歪度は左右非対称、 尖度は裾の重さ。 名前と実態が一致しないので注意。
• n=47 は信頼区間が広い。 SE は歪度 0.36、 尖度 0.71 程度。 「方向」は信頼できるが「桁」は信頼しすぎない。
• 対数変換は人口・所得・GDP の右裾を消す万能薬。 ただし負値やゼロは扱えない。
• レポートでは中心傾向・ばらつき・形状・正規性検定・推奨アクションを 1 表に集約。
• SSDSE-B-2026 の 47 都道府県は形状指標の格好の教材。 東京 1 点で歪度が +2.2 に押し上げられる構造を実値で観察できる。
• 必ずヒストグラム・箱ひげ図と併用。 数値だけでは双峰や離散など構造異常を見逃す。

この記事を読み終えたら、 自分の手元のデータ (SSDSE-B-2026 や、 任意の業務データ) で ヒストグラム → 歪度・尖度算出 → 対数変換 → 再度形状確認 → レポート表作成、 という 1 時間ワークフローを実践してほしい。 「数値を出す」のではなく「数値で議論する」訓練が、 データサイエンティストとしての地力を作る。

🔬 深掘り IV: 形状指標の歴史と次の一歩

AA: 統計学者たちが形状指標を発明した経緯

歪度・尖度の概念は Karl Pearson (1857-1936) が 1890 年代に提唱した。 当時の問題意識は「経済データや生物計測データは正規分布に従わない場合が多い」というもので、 Pearson は分布族 (Pearson distribution family) を構築し、 そのパラメータとして歪度 (β₁) と尖度 (β₂) を導入した。 これが現代の skewness / kurtosis の祖型である。

その後 Ronald Fisher (1890-1962) がモーメント法と標準誤差の理論を整備し、 「歪度・尖度の標準誤差は標本サイズに依存する」ことを定量化した。 現代の scipy.stats における Fisher 定義 (超過尖度) はこの伝統を引き継いでいる。 一方 Pearson 定義 (尖度に 3 を足したもの) は教科書によって今も使われており、 ライブラリ間の値の食い違いの原因になっている。

BB: 形状指標の次の一歩 — L モーメント・ベイズ推定・分位回帰

古典的な歪度・尖度は外れ値に弱いため、 現代では以下の代替指標も使われる。

• L モーメント (Hosking 1990): 順序統計量の線形結合で定義。 外れ値に robust で、 水文学 (降水量・洪水) で標準。 L 歪度・L 尖度として scipy.stats.lmoment で計算可能。
• 分位点ベース歪度 (Bowley 歪度): $(Q_3 + Q_1 - 2 Q_2) / (Q_3 - Q_1)$。 外れ値の影響を受けにくい。 47 都道府県の人口で 0.36 程度。
• パーセンタイル尖度 (Kelley 尖度): 上位 / 下位パーセンタイル比で裾の重さを測る。 古典的尖度より安定。
• ベイズ推定: 事前分布を Beta(2, 2) などにし、 MCMC で歪度・尖度の事後分布を求める。 小標本 (n < 30) で特に有用。
• 分位回帰 (Quantile Regression): 平均ではなく分位点を直接回帰する。 形状の非対称性を回帰モデル内で扱える。
• 形状不変距離 (Wasserstein 距離): 2 分布の「形」の差を距離として測る。 機械学習の評価指標として人気。

CC: 1 文サマリ集 — 47 都道府県データで学ぶ形状指標

• 「歪度 +2.2 = 東京 1 点が引っ張る右裾」: SSDSE-B-2026 A1101 列の本質。
• 「対数を取れば歪度 +0.79」: 対数正規型データの古典的処理。
• 「尖度 +5.0 は正規より重い裾の警告」: 平均 ± 3σ では覆えない外れ値が存在。
• 「n=47 は SE が 0.36」: 小数第 2 位の議論は意味薄。
• 「中央値 / 平均比 = 0.59」: 強い右裾の補助指標。
• 「歪度 + 尖度 + 平均 + 中央値 + 標準偏差」: レポート 1 表の最低 5 点。
• 「Fisher / Pearson の定義差は 3」: ライブラリ間の値ズレ原因。
• 「Bowley 歪度は外れ値に強い」: 古典的歪度の代替。
• 「Wasserstein 距離は分布形状の比較尺度」: 機械学習側で再注目。
• 「形状指標は意思決定の予備調査値」: 直接結論ではなく次の分析の入り口。

これらの 1 文を覚えておけば、 同僚や上司に 47 都道府県データの形状特性を 30 秒で説明できる。 細部の数式や標準誤差の公式は scipy.stats のドキュメントを引けば良いが、 「東京を 1 点除けば歪度は半減する」「対数を取れば対称」 という具体例は記憶に残しておく価値がある。

DD: この記事の使い方 (再掲)

1. 初学者: 直感ボックス → ヒストグラム → 歪度・尖度の値順で読む。
2. EDA を始める実務者: Q (報告書テンプレート) → S (チェックリスト) → 自分のデータに適用。
3. 機械学習エンジニア: N (モデル別影響表) → T (変換) → 前処理パイプラインに組み込む。
4. 教育者: X (1 時間ワークショップ) → 学習者にデータを配布 → 実演させる。
5. 研究者: BB (L モーメント・ベイズ) → 古典指標の限界を超える手法を選ぶ。

形状指標は 「使うと意思決定が速くなる道具」 であって、 「覚えるべき公式」ではない。 47 都道府県データで何度も実演し、 自分の感覚として根付かせるのが学習の王道。

🔬 深掘り V: 理解度チェックと自己診断

EE: 理解度チェック 12 問

1. SSDSE-B-2026 の総人口列 A1101 を平均で報告すべきか、 中央値で報告すべきか。 理由付きで答えよ。 (ヒント: 歪度 +2.2)
2. 歪度の標準誤差は標本サイズ n=47 でいくらか。 公式と計算過程を示せ。
3. 「尖度が大きい = 中心が尖っている」は正しいか。 反例を 1 つ挙げよ。
4. 対数変換が効くデータと効かないデータを 2 例ずつ挙げよ。
5. scipy.stats.kurtosis と pandas .kurt() の値が違う理由を説明せよ。
6. n=10 のデータで歪度 +2.0 を観測した。 「強い右裾」と断言できるか。
7. 双峰分布の歪度・尖度はどうなるか。 一般傾向を述べよ。
8. Pearson 不等式 $\gamma_2 \geq \gamma_1^2 - 2$ を SSDSE-B-2026 の A1101 列で検証せよ。
9. Box-Cox 変換の λ が 0 のとき、 変換は何になるか。
10. L モーメントが古典的モーメントより堅牢な理由を 1 文で説明せよ。
11. 「形状指標が小さい = 正規分布」は正しいか。 必要条件 / 十分条件で答えよ。
12. 47 都道府県の人口について、 z = 4.0 (東京) の上側確率を正規分布前提と対数正規前提で求め、 比較せよ。

FF: 解答例 (要点のみ)

1. 中央値で報告。 平均は東京 1 点に引っ張られる過大評価。
2. $\sqrt{6/47} \approx 0.357$。 つまり「歪度 ±0.7 程度の幅では区別できない」。
3. 誤り。 一様分布は中心が平らだが「尖度 -1.2」となる。 尖度は「裾の厚さ」を測る。
4. 効く: 人口・所得・GDP・株価。 効かない: 気温・パーセント・スコア (既に対称)。
5. デフォルトの bias 補正設定が違う (scipy は bias=True、 pandas は bias=False)。
6. 断言できない。 n=10 では歪度 SE が 0.77 で、 +2.0 ÷ 0.77 = 2.6σ 程度。 90% 程度の信頼度。
7. 歪度 ≈ 0 (左右対称)、 尖度 ≈ 負 (中心が平ら / 二峰)。 数値だけでは検出できない。
8. $\gamma_1 = 2.22$、 $\gamma_2 = 4.95$。 $2.22^2 - 2 = 2.93 \leq 4.95$ で不等式成立。
9. $\ln x$ (自然対数)。 $\lambda = 0$ は対数変換に対応する極限。
10. 順序統計量の線形結合で定義され、 大きな値の影響が中心化される。
11. 必要条件のみ。 双峰分布も歪度 0、 尖度 0 になり得る。 Q-Q プロットで補完する。
12. 正規前提: 約 3 万分の 1 (0.003%)。 対数正規前提: 約 100 分の 1 (1%)。 約 300 倍の差。

GG: 自己診断フローチャート

形状指標は 1 度の通読では身につかない。 同じ SSDSE-B-2026 で年度を変え、 列を変え、 群を変えて何度も実演するうちに、 ヒストグラムを見ただけで歪度の桁が言えるようになる。 そこまで来れば「形状指標を理解した」と言える。

🎯 締め: 形状指標を学ぶ意義の再確認

中心傾向 (平均・中央値) と ばらつき (分散・標準偏差) は、 高校数学で習う「基本中の基本」である。 ところが 形状指標 (歪度・尖度) は教科書ではほとんど触れられず、 大学の統計学講義でも「定義だけ示して終わり」になりがちな扱いを受けている。 これは情報量に対する教育投資のミスマッチで、 現代のデータサイエンス実務では形状指標が以下の場面で必須となる。

• EDA の冒頭診断: ヒストグラムを描く前から数値で「右裾か左裾か」「裾は厚いか薄いか」を予測できる。
• 異常検知の閾値設定: 分布形状が分かれば「3σ ルールで十分か、 99 パーセンタイルが必要か」を判断できる。
• 機械学習の前処理選択: 線形モデルか木モデルかで、 対数変換の要否が決まる。
• 検定手法の選択: t 検定・ANOVA を使えるかノンパラに切り替えるかを判断する根拠になる。
• レポートの説得力: 「歪度 +2.2」と書くだけで、 読み手は「東京一極集中」を一瞬で理解する。

SSDSE-B-2026 の 47 都道府県データは、 これら 5 つの場面を すべて 1 つの教材で体験できる 稀有な題材である。 是非自分の手元でコードを動かし、 数値を出し、 図を描き、 同僚に説明してほしい。 形状指標は 使うほど磨かれる感覚 であり、 公式を暗記するだけでは絶対に身につかない。 この記事を読み終えたあなたの次の一歩は、 自分のデータで歪度と尖度を計算することである。

🧮 SSDSE-B 実値計算例（47都道府県データ）

SSDSE-B の連続変数（総人口・消費支出・合計特殊出生率など）について、 尺度水準と分布形状（歪度・尖度・正規性）を体系的に分析する完全例。

① 計算コード

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import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]  # 最新年 (2023) の 47 都道府県

# 各変数の尺度・形状指標
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(14, 8))
vars_to_check = ['A1101', 'A1303', 'L3221', 'L322101', 'A4103', 'L322109']
results = []
for i, var in enumerate(vars_to_check):
    x = df[var].dropna().values
    skew = stats.skew(x)
    kurt = stats.kurtosis(x)  # excess kurtosis
    shapiro_w, shapiro_p = stats.shapiro(x)
    results.append({
        '列': var, '平均': x.mean(), 'SD': x.std(),
        '歪度': skew, '尖度': kurt,
        'Shapiro-W': shapiro_w, 'Shapiro-p': shapiro_p,
    })
    ax = axes[i // 3, i % 3]
    ax.hist(x, bins=15, edgecolor='black', alpha=0.7)
    ax.set_title(f'{var}\n歪度={skew:.2f}, 尖度={kurt:.2f}')

plt.tight_layout(); plt.savefig('shape_check.png', dpi=110)
print(pd.DataFrame(results).round(3))

② 期待出力

👉 値は SSDSE-B-2026（2023 年・47 都道府県）の実測値。 同じ手順で他年度・他変数にも適用可能。

🧮 数式に値を入れて手で計算する: 歪度と尖度

SSDSE-B-2026 風の右に長い分布（人口 1 千人未満の小規模自治体多数 + 東京・神奈川など極端値）を模した 10 件 x=[1,2,2,3,3,3,4,4,5,10] で歪度・尖度を計算する。

Step 1: データ

Step 2: 計算

🐍 Python で再現

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import numpy as np
from scipy import stats
x = np.array([1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 10])
print(f"歪度: {stats.skew(x):.3f}")
print(f"尖度: {stats.kurtosis(x):.3f}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 2) と Python 出力が完全一致。

🐍 10. ライブラリ早見表

🐍 10. ライブラリ早見表

📜 11. 形状指標の歴史

• 1900：Pearson が歪度・尖度を体系化（Pearson family）
• 1908：Fisher が Fisher–Pearson 歪度を提案
• 1965：Shapiro & Wilk が小標本正規性検定を提案
• 1964：Box & Cox の変換
• 1980：Jarque & Bera の検定
• 2000：Yeo & Johnson が負値対応版を提案

💼 12. 実務応用

• 金融：リターンの裾が厚い（leptokurtic）→ リスク評価に正規仮定は危険
• 所得分析：強い右歪み → 中央値とジニ係数の併用
• 品質管理：管理図の正規性チェック
• 機械学習前処理：歪んだ特徴量は log / Box-Cox で変換
• サバイバル分析：右歪みデータの典型例
• マーケティング：購買金額が右歪み → 対数で扱う

📊 13. 高階モーメント・関連指標

5次モーメント以上

金融工学では「co-skewness」「co-kurtosis」など多変量への拡張が研究されています。 ただし高次モーメントは標本誤差が大きく、 実務では 3 次・4 次までが標準。

L-moments（L-モーメント）

順序統計量に基づくモーメント。 通常のモーメントより外れ値に頑健。 水文学・気象統計でよく使われる。

$$L_1 = E[X_{1:1}], \quad L_2 = (E[X_{2:2}] - E[X_{1:2}])/2, \dots$$

L-skewness $\tau_3 = L_3/L_2$、 L-kurtosis $\tau_4 = L_4/L_2$ は有界。

頑健な歪度・尖度

• Bowley の歪度：$(Q_3 + Q_1 - 2Q_2)/(Q_3 - Q_1)$
• 八分位歪度：八分位点を使う
• octile-based kurtosis：尖度の頑健版

🔢 14. モーメント母関数（MGF）

$$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$$

テイラー展開すると：

$$M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{m_k}{k!} t^k$$

つまりすべてのモーメントを内包する関数。 分布の同一性・独立和の証明等に多用される。

特性関数

$\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$。 MGF が存在しない分布でも常に存在し、 分布を一意に決める。

✅ 15. 分布形状チェックリスト

• □ 平均と中央値の乖離を確認したか？（乖離 = 歪み）
• □ 歪度を計算したか？（|skew| > 1 で強い歪み）
• □ 超過尖度を計算したか？
• □ QQ プロットを描いたか？
• □ 1 つ以上の正規性検定を実施したか？
• □ 検定 p値だけでなく効果量（歪度・尖度の値）も見たか？
• □ 外れ値の影響を確認したか？
• □ 必要なら log / Box-Cox / Yeo-Johnson 変換したか？
• □ 変換後の歪度・尖度を確認したか？

A. scikit-learn による実装

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from sklearn.preprocessing import PowerTransformer, QuantileTransformer, StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt

# 右に裾の長い変数の変換比較
x = df['A1101'].values.reshape(-1, 1)

fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(16, 4))
for i, (name, tr) in enumerate([
    ('元データ', None),
    ('Standard', StandardScaler()),
    ('Yeo-Johnson', PowerTransformer(method='yeo-johnson')),
    ('Quantile→Normal', QuantileTransformer(output_distribution='normal')),
]):
    if tr is None:
        z = x.ravel()
    else:
        z = tr.fit_transform(x).ravel()
    axes[i].hist(z, bins=15, edgecolor='black')
    axes[i].set_title(f'{name}\n歪度={stats.skew(z):.2f}')

plt.tight_layout(); plt.savefig('transform_compare.png', dpi=110)

B. scipy / statsmodels による実装

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from scipy import stats
import numpy as np

# Box-Cox 変換（正値のみ）
x = df['A1101'].values  # 全部正値
x_bc, lambda_bc = stats.boxcox(x)
print(f'Best Box-Cox λ = {lambda_bc:.3f}')
print(f'変換前 歪度 = {stats.skew(x):+.3f}')
print(f'変換後 歪度 = {stats.skew(x_bc):+.3f}')

# Yeo-Johnson（負値も OK）
x_yj, lambda_yj = stats.yeojohnson(x)
print(f'Best Yeo-Johnson λ = {lambda_yj:.3f}')

# Anderson-Darling 検定（より厳しい正規性検定）
result = stats.anderson(x_bc, dist='norm')
print(f'AD stat = {result.statistic:.3f}')
for sig, crit in zip(result.significance_level, result.critical_values):
    print(f'  α={sig}%: critical={crit:.3f}, 棄却={"是" if result.statistic > crit else "否"}')

# Jarque-Bera（歪度・尖度ベース）
jb_stat, jb_p = stats.jarque_bera(x)
print(f'\nJarque-Bera = {jb_stat:.2f}, p = {jb_p:.4f}')

C. Optuna でハイパラ・選択最適化

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import optuna
from scipy import stats

# 最適な変換を Optuna で探索（正規性最大化）
def objective(trial):
    method = trial.suggest_categorical('method', ['none', 'log', 'sqrt', 'boxcox', 'yeo-johnson'])
    x = df['A1101'].values
    if method == 'none':
        z = x.copy()
    elif method == 'log':
        z = np.log(x + 1)
    elif method == 'sqrt':
        z = np.sqrt(x)
    elif method == 'boxcox':
        z, _ = stats.boxcox(x)
    else:
        z, _ = stats.yeojohnson(x)
    # 歪度の絶対値を最小化（より正規に近づける）
    return abs(stats.skew(z))

study = optuna.create_study(direction='minimize')
study.optimize(objective, n_trials=20)
print('Best transform:', study.best_params, '|skew|:', study.best_value)

D. ライブラリ早見表

🐍 拡充F: 形状診断 Python フロー (SSDSE-B-2026)

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の主要数値列について、 歪度・尖度・正規性検定 (D'Agostino) を一括計算し、 推奨される変換 (log, sqrt, Box-Cox) を提案する。

📥 入力例: 2023 年 47 都道府県 × A1101, A110101, A110102 (人口、 男性人口、 女性人口)

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import pandas as pd, numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
latest = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
cols = ['A1101', 'A110101', 'A110102']

for c in cols:
    x = latest[c].values
    sk = stats.skew(x)
    kt = stats.kurtosis(x)
    stat, p = stats.normaltest(x)
    suggest = '対数変換を検討' if sk > 1 else 'そのままで OK'
    print(f'{c}: skew={sk:.2f} kurt={kt:.2f} p_normal={p:.2e} → {suggest}')

📤 実行結果:

💬 男性・女性人口とも総人口と同じ右裾の歪み。 性比 (男/女) を計算すれば 0.94 前後にほぼ集中するため形状が変わる。 同じ「人口」系列でも、 比を取ると尺度水準と形状の両方が変わる典型例。

📉 拡充G: ヒストグラム形状の分類 — 5 つの典型形

形状が複雑な場合 (二峰、 重い裾) は要約統計量の解釈に注意。 平均と中央値の差が大きいなら歪み、 IQR と SD の比が経験則 (約 1.35) から外れるなら重い裾を疑う。

🔄 拡充H: 変換による尺度の変化

• 標準化 (z-score) $z=(x-\bar{x})/s$: 比率 → 間隔へ降格 (z=0 は便宜的、 z=−1 と z=+1 の比は無意味)
• 対数変換 $y=\log x$: 比率内で形状を変える (歪みを軽減)、 尺度は比率を維持
• ランク化 $r=\mathrm{rank}(x)$: 何尺度であろうと順序尺度に強制降格
• ビン分割 (qcut, cut): 連続 → 順序 (cut の場合) または名義 (ラベルで管理)
• ダミー化 (one-hot): 名義 → 多次元の比率 (0/1) 列 — 機械学習で必須

降格は自由 (情報を捨てる)、 昇格は不可 (情報を作り出せない)。 「名義データを平均すれば間隔風になる」は錯覚。

⚠️ 7. よくある落とし穴

🏋️ 8. 練習問題（SSDSE-B-2026）

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import pandas as pd
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
num = df.select_dtypes(include='number')
sk = num.skew().sort_values(ascending=False)
print(sk.head(10))

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
df['A1101'].hist(ax=axes[0,0], bins=20); axes[0,0].set_title(f'生 skew={df["A1101"].skew():.2f}')
np.log1p(df['A1101']).hist(ax=axes[0,1], bins=20); axes[0,1].set_title(f'log skew={np.log1p(df["A1101"]).skew():.2f}')
sm.qqplot(df['A1101'], line='s', ax=axes[1,0])
sm.qqplot(np.log1p(df['A1101']), line='s', ax=axes[1,1])
plt.tight_layout(); plt.show()

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from scipy import stats
for col in num.columns[:10]:
    sw = stats.shapiro(num[col]).pvalue
    jb = stats.jarque_bera(num[col]).pvalue
    print(f'{col}: SW p={sw:.4f}, JB p={jb:.4f}')

📝 9. 報告フォーマット

❌ NG例

「総人口は歪んでいたので log を取りました。」

✅ OK例

「総人口 (A1101) は強い右歪み（歪度 = 2.22, 超過尖度 = 4.95、 Shapiro–Wilk p < .001、 QQ プロットも著しく逸脱）を示したため、 対数変換を適用。 変換後は歪度 0.79、 超過尖度 -0.21、 D'Agostino 検定も棄却されず（p = 0.07）。 以降の解析は変換後の値で実施。」

⚠️ 落とし穴（拡張版・各 100 文字以上）

⚠️ 拡充I: 尺度・形状にまつわる落とし穴

• (1) 順序尺度の平均: Likert 1–5 の単純平均は厳密には不正だが慣例化。 中央値併記、 ノンパラメトリック (Wilcoxon, Mann-Whitney) を推奨。
• (2) 比率 vs 間隔の混同: 温度 (摂氏) は間隔、 ケルビンは比率。 「今日は昨日の 2 倍暖かい」は摂氏では成立しない。
• (3) コード番号の平均: 都道府県コード R01000…R47000 を数値として平均すれば 24 だが、 「平均的な県」など存在しない。
• (4) 歪んだ分布で z-score: 右に強く歪んだ A1101 で z を計算すると東京 (z=4.09) が外れすぎ、 経験則 (|z|<2 で 95%) も崩れる。 log 変換後に z 化すべき。
• (5) 尖度の符号誤読: scipy は超過尖度 (正規 = 0) を返すが、 教科書では生尖度 (正規 = 3) のことも。 ライブラリ仕様を必ず確認。
• (6) 二峰を平均で要約: 二峰分布の平均は「どちらの山にも属さない谷の値」になりうる。 ヒストグラムや KDE で形状を必ず確認。
• (7) ダミー化の罠: 名義 k カテゴリを one-hot にすると共線性 (k 個全部入れる) または基準カテゴリ消失 (k-1 個入れる) のトレードオフ。 線形回帰なら k-1 個、 LightGBM なら k 個でも OK。

📈 拡充J: SSDSE-B-2026 の時系列で形状の変化を追う

このコードでやること: A1101 (総人口) の歪度を 2014 〜 2023 年で並べ、 形状の経年変化を確認する。

📥 入力例: 564 行 (47 県 × 12 年)

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import pandas as pd
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
for y in sorted(df['SSDSE-B-2026'].unique()):
    sub = df[df['SSDSE-B-2026'] == y]['A1101']
    print(f'{y}: n={len(sub)} skew={stats.skew(sub):.3f} kurt={stats.kurtosis(sub):.3f}')

📤 実行結果 (一部):

💬 歪度・尖度ともわずかに上昇 → 東京一極集中が進行し、 裾がより重くなっている。 形状指標は政策評価の客観的指標としても使える。

🎯 拡充K: 形状から検定を選ぶ早見表

正規性の判定は「サンプルサイズ依存」。 n=20 で「正規」と出ても n=2000 で「非正規」と出るのは検定の性質上当然。 ヒストグラム + Q-Q プロット + 効果量の総合判断が大切。

🌐 関連手法・派生

関連する手法・派生バリエーション。

分布の スケール（散らばりの大きさ）と形状（歪度・尖度）は、 平均・分散だけでは捉えきれない分布特性を補う概念群です。

• 上位概念: 確率分布の特性化 — 位置（平均・中央値）・スケール（標準偏差・IQR）・形状（歪度・尖度・テール）の三本柱の 1 つ。
• 並列のスケール尺度: 標準偏差 / 分散 / IQR / MAD / レンジ。 外れ値耐性と解釈のしやすさが各々違う。
• 並列の形状指標: 歪度 (skewness) / 尖度 (kurtosis) / ジニ係数 / Lorenz 曲線 / テール指数。
• 前段: ヒストグラム / 箱ひげ図 / Q-Q プロットで 視覚的に分布形を確認。 数値だけで判断しない。
• 後段: 正規性検定（Shapiro-Wilk / Kolmogorov-Smirnov）、 適合度検定、 BoxCox/Yeo-Johnson 変換、 ロバスト統計。
• 派生・拡張: GAMLSS（スケール・形状もモデル化する一般化加法モデル）、 Generalized Pareto / Generalized Extreme Value（テール挙動の専門モデル）、 L-moments（外れ値に頑健なモーメント）。
• 競合・代替視点: 分位点ベースの記述 — 「平均±SD」を避けて中央値+IQR や Q1/Q3/Q9 で分布を語る。 SSDSE-B-2026 の県別所得分布は右に長い裾を持つので、 平均より分位点表現の方が誠実。

SSDSE-B-2026 の県別人口・所得・宿泊者数のように 右裾の長い変数は、 スケール（SD）だけでは過小評価される情報を、 形状（歪度・尖度）が補ってくれます。

🔗 21. 関連分析手法

🔗 21. 関連分析手法

21.1 ロバスト統計

歪んだ・外れ値混在データに頑健な代替指標：

• MAD (Median Absolute Deviation)：中央値からの絶対偏差の中央値
• 四分位範囲 IQR：Q3 - Q1
• トリム平均：上下 α% を除いた平均
• ウィンザライズ平均：上下 α% を切り詰めた平均
• Huber M推定量：外れ値の影響を抑える反復推定

21.2 分布フィッティング

形状指標からどの分布が適切かを判定 → MLE で当てはめ：

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from scipy import stats
import pandas as pd
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
data = df['A1101'].values

# 候補分布をフィット
distributions = ['norm', 'lognorm', 'gamma', 'expon']
for name in distributions:
    dist = getattr(stats, name)
    params = dist.fit(data)
    ll = dist.logpdf(data, *params).sum()
    k = len(params)
    aic = -2 * ll + 2 * k
    print(f'{name}: log-likelihood = {ll:.1f}, AIC = {aic:.1f}')

21.3 分布の比較（K-S 2標本検定）

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# ── この抜粋で使うデータを用意します ──
# 検定の書き方を並べた早見表なので、そのまま押せるように
# SSDSE-B-2026 から 2 群・対応あり・3 群のサンプルを作る。
import numpy as np
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]          # 2023 年の 47 都道府県
temp = df['B4101'].astype(float).values          # 年平均気温
group1 = g1 = temp[:24]                          # 北海道〜静岡
group2 = g2 = temp[24:]                          # 愛知〜沖縄
group3 = g3 = df['A4103'].astype(float).values   # 合計特殊出生率
data = temp                                      # 1 標本検定用
mu0 = float(temp.mean())
# 対応のあるデータ（同じ 47 県の 2012 年と 2023 年）
_all = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
before = _all[_all['SSDSE-B-2026'] == 2012]['A1101'].astype(float).values
after = _all[_all['SSDSE-B-2026'] == 2023]['A1101'].astype(float).values
cond1, cond2, cond3 = before, after, (before + after) / 2
x = df['A1101'].astype(float).values
y = df['A4101'].astype(float).values
observed = np.array([[20, 15], [12, 18]])        # クロス集計の例

from scipy import stats

group_a, group_b = group1, group2
stat, p = stats.ks_2samp(group_a, group_b)
print(f'KS = {stat:.3f}, p = {p:.4f}')

• 代表値
• ばらつき
• 確率分布
• 正規分布
• ヒストグラム
• 四分位・IQR
• t検定 — 正規性を要求

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

🧭 拡充A: 4 尺度の総合フレーム — Stevens 1946 から実務までの一気通貫

尺度水準 (level of measurement) は S. S. Stevens (1946, "On the Theory of Scales of Measurement", Science) が提唱した 4 階層 名義 / 順序 / 間隔 / 比率 が標準。 上位は下位の性質をすべて含み、 適用できる統計量と変換の自由度が決まる。

判定の決め手は 「0 の意味」。 0 がただの目印 (年 0 = 紀元) なら間隔、 「無い」を意味する (人口 0 = 誰もいない) なら比率。 比率尺度のみ「2 倍」のような比が意味を持つ。

📈 拡充B: 分布の形状指標 — 歪度と尖度を実値で見抜く

形状指標は分布の「左右対称性」と「裾の重さ」を 1 つの数で要約する。 平均・標準偏差では捉えられない情報を補う。

🔬 数式を言葉で読み解く: 歪度 $g_1$

$$g_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$$

• $g_1=0$ → 左右対称 (正規分布など)
• $g_1>0$ → 右に裾が長い (人口、 所得、 売上)
• $g_1<0$ → 左に裾が長い (試験得点で天井効果がある場合)
• $|g_1|<0.5$ で「ほぼ対称」、 $|g_1|>1$ で「強く歪んでいる」が経験則

🔬 数式を言葉で読み解く: 尖度 $g_2$ (超過尖度)

$$g_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4 - 3$$

• $g_2=0$ → 正規分布並み (mesokurtic)
• $g_2>0$ → 中央が尖り裾が重い (leptokurtic、 金融リターン)
• $g_2<0$ → 中央がなだらかで裾が薄い (platykurtic、 一様分布)
• 正規性検定 (D'Agostino, Jarque-Bera) は両方を併用して有意性を見る

🧮 実値で計算してみる: SSDSE-B-2026 総人口の形状

SSDSE-B-2026 の 2023 年 47 都道府県の A1101 (総人口) を計算すると:

対数変換すると:

💬 人口は典型的な 対数正規分布。 比率尺度 → 対数を取ると間隔尺度的になる、 という尺度変換と形状の関係が見える。

このコードでやること: SSDSE-B-2026 から 2023 年 47 都道府県の人口を抜き出し、 scipy.stats.skew/kurtosis/normaltest で形状を測る。

📥 入力例 (df.head):

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
latest = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
pop = latest['A1101'].values

print(f'歪度 = {stats.skew(pop):.3f}')
print(f'尖度 = {stats.kurtosis(pop):.3f}')
print(f'正規性検定: {stats.normaltest(pop)}')

log_pop = np.log(pop)
print(f'log歪度 = {stats.skew(log_pop):.3f}')
print(f'log尖度 = {stats.kurtosis(log_pop):.3f}')
print(f'log正規性: {stats.normaltest(log_pop)}')

📤 実行結果:

💬 raw のまま分析すると平均 (約 264.6 万人) は中央値 (約 154.9 万人) と大きく乖離する。 log を取れば線形回帰や t 検定の前提に近づく。

🔀 拡充C: 連続 / 離散 × 名義 / 順序 / 間隔 / 比率 の二軸分類

尺度水準とは独立に、 「取りうる値の集合」による分類 (連続 / 離散) がある。 これらは独立軸なので、 実務では二次元で位置付けると判断ミスが減る。

SSDSE-B-2026 の A1101 は「人」単位の離散だが、 値が大きい (537,000 〜 14,086,000) ため実務上は連続扱い。 同様に L322107 などの百万円単位値も実質連続として扱う。

🧷 拡充D: pandas の dtype と尺度水準は別物 — 取り違えの危険

pandas で df.dtypes を見ても返るのは「メモリ上の型」(int64, float64, object, category, datetime64) であって尺度水準ではない。 ここを混同するとピボット集計や統計検定の選択を間違える。

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の主要列の dtype を確認し、 尺度水準ラベルを付与する。

📥 入力例: SSDSE-B-2026.csv (564 行 × 112 列)

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import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
scale_map = {
    'SSDSE-B-2026': '間隔 (西暦年)',
    'Code': '名義 (識別子)',
    'Prefecture': '名義 (ラベル)',
    'A1101': '比率 (総人口、 0 = 無し)',
    'A110101': '比率 (男性人口)',
    'A110102': '比率 (女性人口)',
}
for col, scale in scale_map.items():
    print(f'{col:<20s} dtype={str(df[col].dtype):<10s} → 尺度: {scale}')

📤 実行結果:

💬 dtype だけで判断すると、 西暦年 (実は間隔) と総人口 (実は比率) を同じ int64 で扱ってしまう。 平均を取ってよい列か、 比を取ってよい列かは 意味 から決める。

📊 拡充E: 尺度ごとに「使ってよい」「使ってはダメ」統計量

表の「順序 × 平均」が △ なのは、 Likert 尺度 (例: 1=とても不満 〜 5=とても満足) で平均を計算する慣行が広く使われている一方で、 厳密には「1 と 2 の間隔」と「4 と 5 の間隔」が等しいとは限らないため。 報告時は中央値と併記するのが安全。

🔗 拡充L: 関連用語 (前提・並列・発展)

📚 拡充M: 関連グループ教材

• 記述統計グループ — 中心傾向 / ばらつき / 形状の三本柱
• 探索的データ解析 (EDA) グループ — ヒストグラム、 箱ひげ図、 Q-Q プロット
• 前処理グループ — 変換、 ビン化、 ダミー化
• 仮説検定グループ — パラメトリック vs ノンパラメトリック

尺度水準と形状の理解は、 EDA → 前処理 → モデリングのすべての段階で意思決定の根拠になる。 機械学習の精度を上げる前に、 自分が扱う列の 意味 を 1 行ずつ確認するクセを付ける。

特に SSDSE-B-2026 のように列名がコード化 (A1101, L322107 など) されているデータでは、 「これは何を 0 として何を単位とした量か」を SSDSE-B-2026.csv の 1 行目 (項目名行) で必ず確認する習慣が欠かせない。 教材として扱う際は skiprows=[1] でメタ行を飛ばすため、 別途項目名対応表を手元に置く運用が現実的。

🗺️ 19. 歪度・尖度から分布を推測する

歪度・尖度の値から「どの分布族に近いか」を推測する目安：

🎯 20. モーメント法（パラメータ推定）

分布のパラメータを「標本モーメント＝理論モーメント」で推定する古典的手法。

例：正規分布

• $\hat{\mu}_{\text{MoM}} = \bar{x}$
• $\hat{\sigma}^2_{\text{MoM}} = s^2$

例：ガンマ分布

• 標本平均 $m_1$、 分散 $m_2$ から $\alpha = m_1^2/m_2,\ \beta = m_2/m_1$

MLE より計算簡便だが、 一般に効率が悪い（漸近分散が大きい）。

🔗 隣接手法への橋渡し

「位置・尺度・形状」は単独で完結する手法ではなく、 隣接領域と連携することで真価を発揮する。

• 上流: ヒストグラム や 箱ひげ図 で分布の概形を確認した段で、 中心・広がり・歪みを定量化する
• 並列: 位置（平均・中央値）・尺度（分散・標準偏差）・形状（歪度・尖度）の 三本柱
• 下流: 3 要素から 確率分布 の同定や 正規性検定、 適切な 検定手法 選択へ進む

同じ平均でも分布の形が違えば 意味のある比較 はできない。 位置・尺度・形状の 3 視点で分布を立体的に捉えることが、 統計的判断の基本姿勢である。

🌳 手法選択フロー

「分布の形状指標」を扱う際の手法選択は、 状況に応じて以下のフローで判断すると迷いが減る。

1. Step 1: 目的は記述か予測か?
   • 記述 (現状把握・要約) → 集計・可視化・要約統計量で全体像を掴む
   • 予測 (未知データへの推定) → モデル構築・検証フェーズへ移行
2. Step 2: データの種類・規模は?
   • 数値データ・小〜中規模 → 「分布の形状指標」やその拡張手法を直接適用
   • カテゴリデータ → 度数分布表・エントロピー等の離散分布指標と組み合わせ
   • 大規模・高次元 → Q-Q プロット・カーネル密度推定等の効率的形状診断を選択
3. Step 3: 結果の解釈・共有は?
   • 専門家向け → 数値指標・統計検定で精緻に評価
   • 非専門家向け → 可視化・自然言語での要約を重視

このフローに沿って判断することで、 「分布の形状指標」を中核とした適切な手法選択ができる。

🎮 触って理解する

分布は 位置（平均 μ）・尺度（標準偏差 σ）・形状（歪度 γ₁・超過尖度 γ₂） の 3 要素で特徴づけられます。 スライダーを動かすと曲線がリアルタイムに変化します。 平均を変えると左右へ平行移動、 標準偏差を変えると幅が伸縮、 歪度を変えると左右非対称に、 尖度を変えると頂の尖り・裾の重さが変わります。 灰色の破線は「同じ平均・同じ標準偏差の正規分布」。 青い曲線と重ねることで、 平均と SD が同じでも形が全く違うことを体感できます。（曲線グラフ上を左右にドラッグ／スワイプしても平均を動かせます）

💡 直感：分布は「位置・尺度・形」で決まる

1 つの分布を言い当てるには、 まず どこにあるか（位置）、 次に どれだけ広がるか（尺度）、 最後に どんな形か（形状） の順に見ます。 平均は分布を左右に平行移動させるだけで形を変えません。 標準偏差は横に引き伸ばす／縮めるだけで対称性は保ちます。 歪度と尖度こそが「形」そのもの——左右非対称か、 中央が尖って裾が重いか——を決めます。

⚠️ よくある落とし穴：平均と SD だけでは形は分からない

上の「正規分布」「右に歪む」「尖って厚裾」プリセットは いずれも平均 μ=0・標準偏差 σ=1.6 で共通ですが、 見た目は全く違います。 平均と標準偏差（＝1・2 次モーメント）が一致しても、 3 次（歪度）・4 次（尖度）が違えば分布は別物です。 「平均 ± SD で 68%」のような正規分布前提の目安は、 右歪みや厚裾の分布では大きく外れます。 要約統計量を報告するときは ヒストグラム や 箱ひげ図・Q-Q プロット で形も併せて確認しましょう。

🔬 発展：モーメントと分布族

位置・尺度・形状は モーメントの階層に対応します。 1 次（平均）＝位置、 2 次（分散／標準偏差）＝尺度、 3 次（歪度）と 4 次（超過尖度）＝形状。 標準化した分布（μ=0, σ=1）を残しても、 高次モーメントが分布を区別します。 実務では 「位置・尺度パラメータ」を持つ分布族（正規・t・ロジスティックなど）を選び、 形状は分布族そのもの（正規・対数正規・指数・t 分布…）で表現します。 上のデモの Gram–Charlier 展開は、 正規分布に歪度・尖度の項を足して「形をずらす」直感を与える古典的手法で、 正規性検定 の Jarque–Bera 統計量（歪度²＋尖度²で正規からのズレを測る）とも発想を共有します。