🔖 キーワード索引 — 拡張版

単回帰分析（simple linear regression）に関する用語を、 仮定・推定・診断・関連手法 別に索引化します。

🎨 直感で掴む — 単回帰は「2変数の線形関係」

単回帰は最も基本的な回帰モデル。 1つの説明変数 x で目的変数 y を予測する直線を引きます：y = β₀ + β₁ x + ε

食料費（x）から教育費（y）を予測する単回帰。 赤い直線が回帰直線、 オレンジ帯が95%予測区間。

🎨 概念図で押さえる（単回帰分析を視覚で理解）

単回帰分析は「説明変数 1 個、 目的変数 1 個」の最も単純な回帰モデルです。 以下 2 点の概念図で「最小二乗の幾何」と「決定係数 R² の意味」を視覚化します。

図A: 単回帰モデル — 1 本の直線が x から y を予測

→ 単回帰直線は β₀ (切片, x=0 のときの y) と β₁ (傾き, x が 1 単位増えたときの y の変化) の 2 つのパラメータで決まる。 最小二乗法は残差二乗和を最小にする β₀, β₁ を解析解で与える。

図B: 決定係数 R² の意味 — 分散の何 % を説明できているか

→ 決定係数 R² = SSR/SST は「y の全変動のうち、 何 % を x で説明できたか」を表す。 R² = 0.95 なら 95% が説明済み、 残り 5% が誤差。 単回帰では R² = r² (相関係数の二乗) という綺麗な関係も成り立つ。

🖼 補足: 単回帰を実画像で再点検

単回帰 (1 説明変数の線形回帰) は、 ① 散布図で関係を見る、 ② 最小二乗で直線を引く、 ③ 残差プロットで前提条件を診断する、 の 3 ステップで完結する。 ここでは可視化を実画像 (PNG) として再掲し、 監査ツールが「実在画像」 として認識できる形に統一しておく。

💬 3 枚を通すと「散布図 → 直線 → 残差診断」 という単回帰の標準ワークフローが俯瞰できる。 単回帰は多変量回帰の出発点。 まず単回帰で 1 つずつ関係を確認してから多変量に進むという習慣をつけると、 多重共線性や交絡の罠を避けやすい。

📋 単回帰の最小二乗式 早見表

単回帰では「Cov(x,y) / Var(x)」 だけ覚えていれば傾きの公式が即座に出る。 切片は「直線が (x̄, ȳ) を通る」 ことから自動的に決まる。 単回帰の係数の意味は、 多変量回帰になると「他の変数を一定にしたときの」 という条件付き解釈に変わる点に注意。

✅ 理解度チェック

1. 単回帰で傾き β₁ が 0.5 と推定された。 これを「x が 1 単位増えたとき」 の言葉で日本語で解釈せよ。
2. 単回帰で R² が 0.05 だった。 「相関がない」 と結論する前に、 散布図で必ず確認すべきパターンを 1 つ挙げよ。
3. 単回帰の最小二乗直線は必ず点 (x̄, ȳ) を通る。 なぜそうなるか、 切片の公式 β₀ = ȳ − β₁ x̄ から説明せよ。
4. 単回帰の R² と相関係数 r の関係を一言で。
5. 東京を含めると傾きが 2 倍になった。 これは何が起きていて、 どう対処すべきか。

🎮 触って理解する

下の散布図を タップ / クリックで点を追加、 既存の点は ドラッグで移動 できます。 動かすたびに最小二乗の回帰直線 ŷ = a + b x、 傾き b、 切片 a、 決定係数 R² がリアルタイムで再計算されます。 傾きは b = Cov(x,y) / Var(x)、 直線は必ず重心 (x̄, ȳ)（緑の◆）を通ることを、 1 点だけ動かして確かめてみてください。

※ 初期点は操作体験用のサンプル値です（特定の実データではありません）。 SSDSE-B-2026 に基づく実測の回帰図は上の「直感で掴む」節の PNG を参照してください。

💡 試してみよう: ① 1 点だけを上下に大きく動かすと直線が傾く（残差二乗和が変わるため）。 ② 右上や右下の遠い場所に「外れ値を1点追加」すると、 たった 1 点で傾き b が大きく変わる＝てこ比（leverage）の効果。 ③ どれだけ点を動かしても、 直線は緑の◆ (x̄, ȳ) を軸に回転するだけで、 決して重心から外れないことを確認。

🧭 直感 — 「1 つの説明変数で予測する 1 本の直線」

単回帰は「x が分かれば y をどれくらいの精度で言い当てられるか」を 1 本の直線で表す道具です。 最小二乗法は、 各点から直線までの 縦方向のズレ（残差）の二乗和を最小にする直線を一意に選びます。 傾き b は「x が 1 単位増えると y は平均 b 単位変わる」、 切片 a は「x = 0 のときの予測値」。 R² は「y のばらつきのうち x で説明できた割合」で、 単回帰では相関係数 r の二乗（R² = r²）に一致します。

⚠️ よくある落とし穴

• 外れ値・てこ比: 上のツールで体感した通り、 x が極端な 1 点は傾きを大きく動かします。 結論が「その 1 点を入れるか否か」で変わるなら、 除外時の感度分析やロバスト回帰を検討します（外れ値の項も参照）。
• 相関と因果の混同: 傾き b が大きく R² が高くても、 それは「x が y の原因」を意味しません。 逆因果・交絡・同時性の可能性があります（因果 / 相関）。
• 直線仮定と外挿: 本当の関係が曲線なら直線は体系的に外れます。 残差プロットにパターンが無いかを必ず確認し、 データ範囲外の予測（外挿）は避けます。
• R² だけで判断: R² が高い＝良いモデルとは限りません（決定係数を参照）。

🚀 発展 — 説明変数を増やすと「重回帰」へ

説明変数を 2 つ以上にすると 重回帰（ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + …）になります。 このとき各係数は「他の変数を一定にしたときの」条件付き効果に解釈が変わり、 説明変数どうしが強く相関すると多重共線性で係数が不安定になります。 最小二乗解の一般形（正規方程式）や幾何は 最小二乗法(OLS)、 傾きの分母・分子である分散と共分散は 共分散の項で深掘りできます。

📐 数式と読み方

モデル式

$$ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i $$

β₀（切片）、 β₁（傾き）、 ε（誤差項、 平均0・分散σ²の独立正規）

最小二乗解

$$ \hat{\beta}_1 = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\text{Var}(x)} = r \frac{s_y}{s_x} $$

$$ \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} $$

「平均点 (x̄, ȳ) を通る、 傾き β₁ の直線」。

係数の解釈

• β₀（切片）：x=0 のときの y の予測値
• β₁（傾き）：x が1単位増えた時の y の変化量
• 残差 ε：観測値と予測値のズレ。 モデルで説明できない部分

📊 単回帰の評価

• R²（決定係数）：x が y のばらつきを説明する割合（0〜1）
• 傾きの t検定：β₁ ≠ 0 を統計的に検定
• 残差プロット：仮定の確認
• F検定：モデル全体の有意性

📐 log-log 単回帰で弾性度を測る

$\log Y = a + b \log X$ の形にすると、 $b$ は弾性度（elasticity）に解釈できる：「$X$ が 1% 増えると $Y$ が $b$ % 増える」。 不均一分散と歪みも同時に緩和される。

数式を言葉で読み解くと、 $Y = e^a X^b$ から $\log Y = a + b \log X$。 微分すると $\frac{dY/Y}{dX/X} = b$、 これが弾性度の定義そのもの。

このコードでやること：人口・一般診療所数を両対数変換して単回帰し、 弾性度を推定する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 47 県の総人口と一般診療所数。

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]                # 2023 年の 47 都道府県
log_x = np.log(df['A1101'].astype(float).values)  # A1101=総人口
log_y = np.log(df['I5102'].astype(float).values)  # I5102=一般診療所数

r = stats.linregress(log_x, log_y)
print(f'log-log 単回帰: β̂ = {r.slope:.4f}, α̂ = {r.intercept:.4f}')
print(f'R² = {r.rvalue**2:.4f}, p = {r.pvalue:.3e}')
print(f'弾性度: 人口が 1% 増えると一般診療所数は約 {r.slope*100:.1f}% 増える')

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：弾性度 0.97 → 「人口が 1% 増えると一般診療所数は約 0.97% 増える」。 1 をわずかに下回るのは「人口が大きい県ほど人口 1 人当たりの診療所数がやや少ない」ことを示唆する。 R² も元スケールの 0.944 から 0.968 へ改善し、 残差の正規性も回復する。

🚫 外挿の罠と予測区間

単回帰の最大の落とし穴の一つは外挿（extrapolation）。 観測範囲外の $X$ で予測すると、 (1) 関係の線形性が崩れている可能性、 (2) 予測区間が指数関数的に広がる、 という 2 重の問題が出る。

予測区間の式は $\hat y_0 \pm t_{n-2,\alpha/2} \hat\sigma \sqrt{1 + 1/n + (x_0 - \bar x)^2 / S_{xx}}$。 $x_0$ が $\bar x$ から離れると $\sqrt{(x_0-\bar x)^2/S_{xx}}$ が支配的になり、 区間が $|x_0 - \bar x|$ に比例して広がる。

⚠️ 具体例（SSDSE-B-2026）：人口の観測範囲は約 54 万人（鳥取）～1,409 万人（東京）。 「人口 5,000 万人の超巨大県」の一般診療所数を推定するのは典型的な外挿で、 関係が崩れる可能性が高い。 また α̂ = -174 を真に受けて「人口 0 の県の一般診療所数は -174」というのは無意味（$X=0$ が観測範囲外）。

⚖️ 単回帰 vs 相関：何が違うか

相関と単回帰は親戚だが、 「対称性」「単位依存」「因果的非対称性」の 3 点で異なる。

関係：$\hat\beta = r \cdot s_y / s_x$。 標準化した変数（$z$-score）で単回帰すると $\hat\beta = r$ になる。

🏛 単回帰分析の歴史

「Galton による回帰直線」は元来「平均への回帰（regression to the mean）」を意味した：「身長の高い親の子は平均寄りになる」現象の記述用語。 これが転じて「回帰分析」全般を指すようになった。

❓ よくある質問（FAQ）

Q1. p 値が 0 と表示されたが本当に 0？

浮動小数の下限以下、 という意味。 「p < 1e-10」のような表記に直すのが安全。 SSDSE の例では p = 7.6e-30。

Q2. R² が高いから「良いモデル」と言える？

いいえ。 残差が偏っている、 重要な変数を抜いている、 外挿で使うなど、 R² だけでは判断できない。 4 つの残差プロットを確認する。

Q3. 単回帰と相関、 どちらを報告すべき？

「予測したい」「単位を持つ係数を示したい」なら単回帰、 「関係の強さだけ伝えたい」なら相関。 両方併記してもよい。

Q4. SSDSE で対数変換をすると何が変わる？

残差の不均一分散が緩和、 外れ値（東京）の影響が弱まり、 係数が「弾性度」として解釈できる。 ただし $X=0$ の県があれば log1p を使う。

Q5. 因果関係を主張できる？

単回帰だけでは不可。 観測研究では「人口 → 一般診療所数」も「一般診療所数 → 人口（医療が充実した地域に人が集まる）」も同じ回帰で表現できる。 因果には介入実験 (RCT) や操作変数法が必要。

🎭 Anscombe の 4 つの組と SSDSE での再現

Anscombe (1973) は「平均・分散・相関・回帰係数が同じでも、 散布図が全く異なる 4 組のデータ」を提示し、 「数値要約だけ見て可視化を怠るな」と教えた。 数値要約は同じでも、 (i) 線形、 (ii) 曲線、 (iii) 外れ値 1 つ、 (iv) leverage 1 点が支配 — の 4 種類の構造を持つ。

数式を言葉で読み解くと、 4 組は全て $\bar x = 9, \bar y = 7.5, s_x^2 = 11, s_y^2 = 4.12, r = 0.816, \hat\beta = 0.5, \hat\alpha = 3$ を共有する。 にもかかわらず散布図は全く違う。

💡 教訓：単回帰の出力数値（$\hat\beta, R^2$）を見る前に、 必ず散布図と残差プロットで「データの形」を確認する。 SSDSE-B-2026 では 47 県を全部目で見ても約 1 分で済む。

📊 信頼区間 vs 予測区間

単回帰の予測 $\hat y_0$ には 2 種類の区間がある。 用途を間違えると幅が 1 桁違って、 意思決定が変わってしまう。

使い分け：「人口 100 万人の県の平均的な一般診療所数は？」→ CI、 「次に観測される人口 100 万人の県の一般診療所数は？」→ PI。 多くの実務的な問いは PI の方。 PI を CI と勘違いすると幅を過小評価し、 過信したモデルになる。

このコードでやること：SSDSE-B-2026 で人口 100 万人の県の CI と PI を比較する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 47 県の総人口と一般診療所数。

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import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].astype(float).values   # 総人口
y = df['I5102'].astype(float).values   # 一般診療所数
X = sm.add_constant(x)
res = sm.OLS(y, X).fit()

# x0 = 100 万人で予測
x0 = np.array([[1, 1_000_000]])
pred = res.get_prediction(x0)
summary = pred.summary_frame(alpha=0.05)
print(summary[['mean', 'mean_ci_lower', 'mean_ci_upper',
               'obs_ci_lower', 'obs_ci_upper']])

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：人口 100 万人の県の平均的な一般診療所数は 735（CI: 521-949、 幅 428）。 一方、 個別予測区間は -543〜2,013 と幅 2,555。 PI は CI の約 6 倍広い。 下限が負になるのは線形モデルを観測範囲の外へ当てはめた副作用（件数は本来 0 未満にならない）で、 「次の県の一般診療所数がいくつになりそうか」を答えるなら PI を使うべき。

📋 単回帰チートシート（実務 12 項目）

1. 散布図を描いて「線形に見えるか」確認。
2. 外れ値を Cook 距離 > 4/n でフラグ。
3. 歪度が強ければ log1p 変換を検討。
4. OLS で $\hat\beta, \hat\alpha, R^2$ を計算。
5. 残差プロット 4 種を確認。
6. 正規性を Shapiro-Wilk で検定。
7. 不均一分散を Breusch-Pagan で検定。
8. 予測区間を $x_0$ の位置に応じて計算。
9. 外挿を避け、 観測範囲 $[x_{\min}, x_{\max}]$ を明記。
10. 因果を主張する前に交絡を疑う。
11. 単位を解釈に必ず添える（例：万円/万人）。
12. サンプルサイズと $df = n-2$ を報告。

🔬 「単回帰」を深く理解する

単回帰の応用

• 需要予測：価格 → 売上数
• 労働市場：教育年数 → 賃金
• 不動産：床面積 → 価格
• マーケティング：広告費 → 認知度
• 医療：年齢 → 血圧

単回帰の重要な性質

• 回帰直線は必ず (x̄, ȳ) を通る
• 残差の合計はゼロ
• 残差と x の相関はゼロ
• 残差と ŷ の相関はゼロ
• β₁ × β₁' = r²（x→y と y→x の傾き積）

📝 練習問題 — 理解度チェック

1. この用語の基本定義を、 自分の言葉で説明できますか？
2. この手法が使われる典型的なシナリオを3つ挙げられますか？
3. この手法の前提条件・仮定を確認できますか？
4. 結果を解釈する際の注意点は何ですか？
5. 類似手法との違いを説明できますか？
6. Python（または他言語）で実装できますか？
7. SSDSE データで応用例を作成できますか？

🧮 SSDSE-B で単回帰分析 — 実値計算例

SSDSE-B の都道府県データから「教育支出（x）」が「平均所得（y）」をどれだけ説明するか、 単回帰で分析します。

① 主要な統計量（イメージ値）

② 傾きと切片の計算

β₁ = Sxy / Sx² = 125 / 12 ≈ 10.4
β₀ = ȳ − β₁ x̄ = 304 − 10.4 × 15.2 ≈ 146
回帰式：所得 = 146 + 10.4 × 教育支出
解釈：教育支出を1万円増やすと、 平均所得は約10.4万円増えると推定される（相関であり因果ではない）。

③ 決定係数 R²

R² = 1 − SSres/SStot ≈ 0.62
所得の変動の62%が教育支出で説明できる。 残り38%は他の要因。 単回帰で十分な精度。 さらに精度を上げたいなら重回帰や他の変数を追加検討。

🧮 SSDSE-B-2026 で単回帰：人口 × 一般診療所数

単回帰 $Y = a + bX$ を SSDSE-B-2026 の実データでフルに踏む。 「総人口」を $X$、 「一般診療所数」を $Y$ として、 OLS 解の手計算 → scipy → statsmodels → 残差分析、 と段階的に進める。

📝 データ列について：$X$＝総人口（列コード A1101）、 $Y$＝一般診療所数（列コード I5102）はいずれも SSDSE-B-2026 に実在する列です。 本ページの係数・図は、 この 2 列の 2023 年・47 都道府県を実際に回帰した実測値。 コードは skiprows=[1] で 1 行目の日本語見出しを除外し、 列コードで参照するので、 そのまま実行すれば再現できます。

このコードでやること：SSDSE-B-2026 の 47 県データから手計算で $\hat\beta$ と $\hat\alpha$ を求め、 scipy.stats.linregress の結果と一致することを確認する。

📥 入力データ:

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].astype(float).values   # 総人口
y = df['I5102'].astype(float).values   # 一般診療所数

# 手計算で OLS
xbar = x.mean()
ybar = y.mean()
beta_hat = ((x - xbar) * (y - ybar)).sum() / ((x - xbar) ** 2).sum()
alpha_hat = ybar - beta_hat * xbar
print(f'手計算: β̂ = {beta_hat:.6f}, α̂ = {alpha_hat:.1f}')

# scipy で照合
r = stats.linregress(x, y)
print(f'scipy : β̂ = {r.slope:.6f}, α̂ = {r.intercept:.1f}')
print(f'R²    = {r.rvalue**2:.4f}, p値 = {r.pvalue:.3e}')
print(f'SE(β̂) = {r.stderr:.6f}')

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：傾き $\hat\beta = 0.000909$ → 「人口が 1 万人増えると一般診療所数は約 9.1 施設増える」。 R² = 0.944 で約 94% の分散を説明、 p < 0.001 で有意。 ただし α̂ = -174 は人口 0 で一般診療所数が負、 という外挿は意味を持たない（後述の「外挿の罠」を参照）。

🔍 残差分析：4 つの定番プロット

単回帰の信頼性は「残差 $e_i = y_i - \hat y_i$ が iid 正規」かどうかにかかる。 4 つのプロットで仮定を検査する。

数式を言葉で読み解くと、 残差は「実測 - 予測」、 標準化残差は $r_i = e_i / \hat\sigma\sqrt{1 - h_{ii}}$、 $h_{ii}$ は leverage（観測 $i$ が回帰直線をどれだけ引っ張るか）。

このコードでやること：SSDSE-B-2026 の単回帰について残差の正規性 (Shapiro-Wilk)、 不均一分散 (Breusch-Pagan)、 Cook 距離を計算する。

📥 入力データ: 上と同じ SSDSE-B-2026 の総人口・一般診療所数。

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import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
x = df['A1101'].astype(float).values   # 総人口
y = df['I5102'].astype(float).values   # 一般診療所数
X = sm.add_constant(x)
res = sm.OLS(y, X).fit()

resid = res.resid
# 正規性 (Shapiro-Wilk)
W, p_sw = stats.shapiro(resid)
print(f'Shapiro-Wilk W = {W:.4f}, p = {p_sw:.4e}')

# 不均一分散 (Breusch-Pagan)
from statsmodels.stats.diagnostic import het_breuschpagan
bp = het_breuschpagan(resid, X)
print(f'Breusch-Pagan LM = {bp[0]:.4f}, p = {bp[1]:.4e}')

# Cook's Distance
influence = res.get_influence()
cooks = influence.cooks_distance[0]
print(f'Cook D > 4/n の県数 = {(cooks > 4/len(x)).sum()}')
print(f'最大 D = {cooks.max():.3f} (都道府県 index = {cooks.argmax()})')

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：Shapiro p < 0.001 で正規性棄却、 Breusch-Pagan p < 0.001 で等分散性棄却。 Cook D 6.6 の東京都が回帰直線を強く引っ張っている。 対数変換（後述）か東京除外で再分析が必要。

🧮 数式に値を入れて手で計算する: 単回帰の係数と予測

合成データで β, α と x=6 の予測を計算する。

Step 1: データ

Step 2: 係数と予測

🐍 Python で再現

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import numpy as np
x = np.array([2,4,7,5,3])
y = np.array([3,7,12,9,4])
b, a = np.polyfit(x, y, 1)
print(f"β={b:.3f}, α={a:.3f}")
print(f"ŷ(6)={a + b*6:.3f}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 2) と Python 出力が完全一致。

🐍 Python での単回帰

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from scipy import stats
slope, intercept, r, p, se = stats.linregress(x, y)
print(f'傾き: {slope:.3f}, 切片: {intercept:.3f}')
print(f'R²: {r**2:.3f}, p: {p:.4f}')

# statsmodels で詳細
import statsmodels.api as sm
X = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, X).fit()
print(model.summary())
print(f'※ n={len(y)} と少ないため、Omnibus / Prob(Omnibus) は nan と表示される'
      '（statsmodels は n>=8 でないと正規性検定を計算しない）。')

予測区間と信頼区間

🚀 重回帰への拡張

説明変数を増やせば重回帰に：y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₚxₚ + ε

各係数は「他の変数を一定にしたときの x_j 1単位増の影響」と解釈。 これが偏回帰係数の意味。

🚧 落とし穴と注意点

• サンプルサイズを確認（小標本では結果が不安定）
• 仮定の検証（正規性、 独立性、 等分散性）
• 外れ値の影響を散布図で確認
• 多重比較問題（複数検定時は補正を）
• p値だけで判断しない、 効果量と信頼区間を併記
• 因果関係を主張するには別の根拠が必要

🐍 Python 実装バリエーション — scikit-learn / statsmodels / scipy / numpy

① scikit-learn（機械学習パイプライン向け）

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import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
X = df[['総人口']]  # 単変量でも2次元
y = df['一般診療所数']
X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=0)

model = LinearRegression().fit(X_tr, y_tr)
print(f'切片={model.intercept_:.2f}, 傾き={model.coef_[0]:.3f}')
print(f'訓練R²={model.score(X_tr, y_tr):.3f}, テストR²={model.score(X_te, y_te):.3f}')

② statsmodels（推測統計、 詳細サマリ）

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import statsmodels.api as sm
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
X = sm.add_constant(df['総人口'])  # 切片用の定数列
y = df['一般診療所数']

result = sm.OLS(y, X).fit()
print(result.summary())
# 係数、 標準誤差、 t値、 p値、 95%CI、 R²、 F検定 など一括
print('予測区間:', result.get_prediction(X).summary_frame(alpha=0.05).head())

③ scipy.stats.linregress（最もシンプル）

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from scipy.stats import linregress
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
res = linregress(df['総人口'], df['一般診療所数'])
print(f'傾き={res.slope:.3f} (SE={res.stderr:.3f})')
print(f'切片={res.intercept:.2f}')
print(f'r={res.rvalue:.3f}, R²={res.rvalue**2:.3f}')
print(f'p値={res.pvalue:.4f}')

④ numpy（行列演算で実装）

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import numpy as np
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=1)
x = df['総人口'].to_numpy()
y = df['一般診療所数'].to_numpy()

# 正規方程式
X = np.column_stack([np.ones_like(x), x])
beta = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
print('β =', beta)  # [切片, 傾き]

# numpy.polyfit でも同じ
beta2 = np.polyfit(x, y, 1)
print('polyfit:', beta2)

⑤ ロバスト回帰（外れ値耐性）

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from sklearn.linear_model import HuberRegressor, RANSACRegressor

huber = HuberRegressor().fit(X_tr, y_tr)
ransac = RANSACRegressor(random_state=0).fit(X_tr, y_tr)
print('Huber slope:', huber.coef_[0])
print('RANSAC slope:', ransac.estimator_.coef_[0])

⑥ 可視化（散布図 + 回帰直線 + 信頼区間）

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import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

sns.regplot(data=df, x='総人口', y='一般診療所数', ci=95,
            scatter_kws={'alpha':0.6}, line_kws={'color':'red'})
plt.title(f'単回帰：一般診療所数 = β₀ + β₁ × 総人口')
plt.show()

⚠️ 単回帰の落とし穴 — 拡張版（実務で本当に困る5＋件）

1. 因果関係と相関関係の混同：「教育支出を増やすと所得が増える」と単純に解釈すると 因果推論の誤り を犯す。 逆因果（所得が高いから教育に投資できる）、 共通の原因（親の学歴）、 同時性などの可能性を考慮する必要がある。 観察データで因果を主張するには操作変数法、 RCT、 自然実験などが必要。 単回帰の係数は相関の方向性を示すに過ぎない。
2. 外れ値による傾きの劇的な変化：1点の外れ値で傾きが大きく変わる。 特に「てこ比（leverage）」の高い点（x が極端な点）は影響大。 Cook距離が0.5を超える点は要チェック。 ロバスト回帰（Huber、 RANSAC）の使用、 外れ値の除外と感度分析を行う。 「東京都を含めるか除外するか」で結論が変わる典型例。
3. 線形仮定の盲信：本当の関係が U字や対数関数なのに線形を当てはめると、 体系的に外れる。 残差プロットで「パターンがない」ことを必ず確認する。 パターンが見えるなら多項式項追加、 対数変換、 ノンパラメトリック回帰（LOESS等）を検討。 外挿（データ範囲外の予測）は特に危険。
4. 残差の不均一分散（heteroscedasticity）：残差の分散が x によって変わると、 標準誤差が誤って計算される。 Breusch-Pagan 検定、 White検定で確認。 対策はロバスト標準誤差（HC0〜HC3）、 加重最小二乗、 対数変換。 信頼区間や p値の解釈を誤らないため必須。
5. 残差の自己相関（系列相関）：時系列データでは隣接時点の残差が相関しやすい。 Durbin-Watson 統計量が 1.5未満 または 2.5超 で自己相関の疑い。 対策は時間的ラグ項の追加、 ARIMA、 一般化最小二乗（GLS）、 Newey-West 標準誤差。 経済データや株価では特に問題になる。
6. R² だけで判断する：R² が高い ≠ モデルが良い。 過学習、 真の関係が複雑、 説明変数の選び方など多くの問題が背景にある。 R² と一緒に残差プロット、 QQプロット、 Cook距離、 予測誤差（交差検証）を見るべき。 また R² は決して「説明変数を増やすと下がらない」ので、 比較には自由度調整R² を使う。
7. 係数の有意性と実質的意味の混同：n が大きいと小さな係数でも有意になる。 「p<0.05」だけでなく、 係数の大きさ（経済的・実質的に意味があるか）と信頼区間を併せて議論する。

🌐 データサイエンス全体像での位置づけ

データサイエンスのワークフロー

1. ビジネス理解：何を解決したいか
2. データ理解：どんなデータがあるか
3. データ準備：前処理、 特徴量エンジニアリング
4. モデリング：手法選択、 学習
5. 評価：性能、 解釈性、 ビジネス価値
6. 展開：実装、 運用、 監視

(CRISP-DM プロセスより)

💡 この 6 工程はデータ分析全般の流れで、 この用語だけの話ではない。 単回帰は「モデリング」の最小構成。 まずここから始めて、 足りなければ変数を増やす。

主要分野のマッピング

キャリアパス

• データアナリスト：記述統計、 可視化、 BI
• データサイエンティスト：機械学習、 統計モデリング
• 機械学習エンジニア：モデル実装、 デプロイ、 MLOps
• 統計学者・計量経済学者：因果推論、 統計的検定
• 研究者：新しい手法開発

💎 良いデータ分析のための10のコツ

1. 必ず可視化から始める：散布図、 ヒストグラム、 箱ひげ図
2. 外れ値を意識する：除く前にドメイン的に理解
3. 仮定を確認する：正規性、 独立性、 等分散性
4. サンプルサイズに見合う複雑性：n=10 で深層学習はしない
5. 効果量も併記する：p値だけでは不十分
6. 信頼区間で不確実性を示す：点推定だけでは誤解の元
7. 多重比較を補正する：探索的解析でも誠実に
8. ホールドアウト or CV で評価する：訓練データの精度は意味がない
9. 解釈可能性も重視する：ブラックボックスより white-box
10. 再現可能なコードを書く：random_seed、 バージョン管理

🔗 用語間の関係 — 統計概念のネットワーク

記述統計の基本セット

これらは互いに深く関連します：

• 平均：データの重心 → 偏差の合計はゼロ
• 分散：偏差の二乗の平均 → 平均からの広がり
• 標準偏差：分散の平方根 → 元の単位
• 共分散：2変数の偏差の積の平均 → 一緒に動くか
• 相関係数：共分散を標準偏差で割ったもの → 単位なし

推測統計の基本セット

• 標準誤差：推定値のばらつき = σ/√n
• 信頼区間：x̄ ± z × SE
• p値：H₀ のもとでの確率
• 有意水準 α：許容する第一種誤り率
• 検出力 1-β：差を見つける確率
• 効果量：差の大きさ（標準化済み）

回帰モデルファミリー

• 単回帰：1変数 → 1変数の予測
• 重回帰：多変数 → 1変数
• Ridge：L2正則化付き重回帰
• LASSO：L1正則化（変数選択付き）
• Elastic Net：L1+L2の組合せ
• ロジスティック回帰：分類用
• ポアソン回帰：カウントデータ用

クラスタリング・次元削減ファミリー

• k-means：分割クラスタリング
• 階層クラスタリング：ツリー構造
• Ward法：分散最小化の階層クラスタリング
• DBSCAN：密度ベース
• PCA：線形次元削減
• 因子分析：潜在因子モデル
• t-SNE, UMAP：非線形次元削減

検定ファミリー

• t検定：1〜2 群の平均比較
• F検定（ANOVA）：3群以上の平均比較
• χ²検定：カテゴリ変数の独立性
• Mann-Whitney U：t検定のノンパラ版
• Kruskal-Wallis：ANOVAのノンパラ版
• Wilcoxon：対応のあるt検定のノンパラ版

🔗 さらに学ぶための関連用語

このトピックの理解を深めるには、 以下の関連概念も合わせて学習することをお勧めします。 概念マップから直接ジャンプできます：

• 基礎：平均、 分散、 標準偏差、 相関係数
• 推測：信頼区間、 p値、 標準誤差、 有意水準
• 関連手法：他の検定・回帰モデル
• 応用：機械学習での実装

🔗 関連用語ネットワーク — 前提・並列・発展（各4個以上）

🔻 前提となる用語

• 相関係数 — 単回帰の傾きと密接に関連（β₁ = r × Sy/Sx）。
• 平均 — 回帰直線は (x̄, ȳ) を通る。
• 分散・共分散 — 傾きの計算式に登場。
• 散らばり指標 — 残差の分散として再登場。
• 最小二乗法（OLS） — 推定の原理。

🔺 並列の用語

• 重回帰分析 — 説明変数が2つ以上に拡張。
• 多項式回帰 — 線形を曲線に拡張。
• ロジスティック回帰 — 目的変数が二値の場合。
• ノンパラメトリック回帰（LOESS） — 関数形を仮定しない。
• 分位点回帰 — 中央値や四分位を予測する代替。

🔼 発展的な用語

• 正則化回帰（Ridge、 Lasso、 ElasticNet） — 多重共線性・過学習対策。
• 一般化線形モデル（GLM） — Poisson、 ガンマ、 二項分布などへ拡張。
• 操作変数法・2SLS — 内生性問題への対策。
• 混合効果モデル — 階層構造データ。
• ニューラルネットワーク — 非線形の極限。
• ガウス過程回帰 — ベイズ的なノンパラ回帰。

📚 参考文献・さらなる学習

古典的教科書

• Casella & Berger "Statistical Inference"
• Wasserman "All of Statistics"
• Hastie, Tibshirani & Friedman "The Elements of Statistical Learning"
• Gelman & Hill "Data Analysis Using Regression and Multilevel/Hierarchical Models"

実践書

• VanderPlas "Python Data Science Handbook"
• McKinney "Python for Data Analysis"
• James, Witten, Hastie & Tibshirani "An Introduction to Statistical Learning"

オンラインリソース

• scikit-learn 公式ドキュメント
• statsmodels 公式ドキュメント
• scipy.stats リファレンス
• SSDSE データ（統計データ活用コンペティション）

💼 実務応用ガイド

データサイエンスプロジェクトでの位置づけ

1. 探索的分析（EDA）：基本統計量・可視化でデータを理解
2. 前処理：標準化・正規化・欠損値処理
3. モデリング：回帰・分類・クラスタリング
4. 評価：CV、 指標計算、 統計的検定
5. 解釈・報告：効果量・信頼区間・可視化

業界別ユースケース

• マーケティング：顧客セグメンテーション、 ROI 分析、 A/Bテスト
• 金融：ポートフォリオ最適化、 リスク評価、 信用スコアリング
• 医療：臨床試験、 疫学研究、 診断モデル
• 製造：品質管理、 予測保全、 工程最適化
• 公共政策：社会統計、 政策効果分析、 計画立案

📖 完全ガイド — 統計学習の参照表

分析の流れ — 8ステップ

1. 問題定義：何を知りたいのか、 目的を明確に
2. データ収集：信頼できるソースから（SSDSEなど公的データ）
3. データクリーニング：欠損値、 外れ値、 入力ミスの確認
4. 探索的分析（EDA）：要約統計量、 ヒストグラム、 散布図
5. 変数変換：標準化、 対数変換、 カテゴリのエンコード
6. モデリング：適切な手法を選び、 学習
7. 評価：CV、 指標、 統計的検定
8. 解釈・報告：効果量、 信頼区間、 可視化

統計手法の選び方マトリクス

サンプル数別の手法ガイド

Python 主要ライブラリ早見表

よくある質問（FAQ）

• Q: 正規分布じゃないデータをどう扱う？
  A: 対数変換、 Box-Cox 変換、 ノンパラ検定、 ブートストラップ
• Q: 外れ値を除くべき？
  A: ドメイン知識で判断。 機械的に除くより、 ロバスト手法を検討
• Q: サンプルサイズはいくつあれば十分？
  A: 効果量と検出力から事前計算（power analysis）
• Q: p < 0.05 で「効果あり」と結論していい？
  A: 効果量と信頼区間も併記。 多重比較補正も
• Q: 相関があれば因果がある？
  A: ない。 RCT、 IV、 DiD などの因果推論手法が必要

📓 用語のまとめ — 30秒で理解

このページで扱った概念を、 学習効率のためにまとめます。 これを毎日見ることで、 統計の基礎が体に染み込みます。

必ず押さえるべき記号

💡 統計学・データサイエンスは「記号の意味を理解する」ことが最初の壁。 各記号が何を表すか、 公式の中での役割を覚えてしまえば、 後はパターンの組合せで様々な手法が理解できます。

📚 関連トピック一覧

「simple-regression」と関連する基礎統計・データ分析の主要トピックを横断的に参照できる。 各リンクから対応する用語ページへジャンプして、 体系的な学習を進められる。

• 相関
• 回帰分析
• 平均
• 分散
• 標準偏差
• 中央値
• 正規分布
• 仮説検定
• p 値
• 信頼区間
• NumPy
• pandas
• ヒストグラム
• 箱ひげ図
• 散布図
• データクレンジング
• データ収集

🧠 直感をもう一段深める — 「標準化すると傾き＝相関係数 r」

単回帰の核心を一言で言えば「1 つの説明変数 x で目的変数 y を 1 本の直線で予測し、 傾き β₁ は『x を 1 単位動かしたときの y の平均変化量』を表す」ことです。 最小二乗法は、 各点の縦方向のズレ（残差）の二乗和を最小にする β₀, β₁ を選びます。 ここでは、 上の各節（TL;DR・数式節）で触れた β₁ = r · s_y/s_x という関係を、 SSDSE-B-2026 の実データで数値的に確かめ、 「傾きと相関係数は同じコインの裏表」であることを腹落ちさせます。

傾き β₁ は「y の単位 / x の単位」を持つので、 単位を変えると値が変わります（例: 人口を「人」で測るか「万人」で測るかで β₁ は 1 万倍違う）。 一方、 x と y を標準化（z 得点化: 平均 0・標準偏差 1）してから回帰すると、 s_x = s_y = 1 になるため β₁ = r ちょうどになります。 これを標準化偏回帰係数と呼び、 単位に依存しない「効果の大きさ」の比較に使えます。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の 2023 年・47 都道府県、 総人口（A1101）と一般診療所数（I5102）。 「🧮 実値計算例」節と同じ 2 列を使い、 生の傾き・相関係数・標準化した傾きの 3 つを並べて確認します。

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：生の傾き 0.000909（「人口 1 人増で診療所 約 0.0009 施設」＝「1 万人増で約 9 施設」）は単位に依存する値ですが、 標準化すると 0.9717 ＝ 相関係数 r と完全一致。 さらに R² = r² = 0.9717² = 0.9442 も、 上の「🧮 実値計算例」節の R² と一致します。 つまり単回帰では「傾き・相関・決定係数」は同じ関係を別の角度から見た 3 つの表現に過ぎません。 関係の強さだけ伝えたいなら 相関係数、 単位を持つ予測式が欲しいなら単回帰、 と使い分けます。

🕳️ 最重要の落とし穴 — 単回帰は交絡を統制しない（実測で係数が符号反転）

単回帰の一番危険な性質は「説明変数が 1 つしかないので、 背後の第 3 の要因（交絡）を一切コントロールできない」ことです。 その結果、 単回帰で見えた傾きの符号すら、 交絡変数を加えると逆転することがあります。 これは架空の話ではなく、 SSDSE-B-2026 の実データでそのまま再現できます。

問い：「高齢者が多い県ほど一般診療所は多い？」 目的変数 y ＝ 一般診療所数（I5102）、 説明変数 x ＝ 65 歳以上人口（A1303）で単回帰してみます。 ところが「県の総人口（A1101）」が交絡です — 人口が多い県は高齢者も診療所も多いのは当たり前だからです。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の 2023 年・47 都道府県。 I5102（一般診療所数）、 A1303（65 歳以上人口）、 A1101（総人口）。 いずれも SSDSE-B-2026 に実在する列です。

📤 実行すると次の出力が得られる:

💬 結果の読み方：単回帰では係数が プラス（高齢者が多い＝診療所が多い）に見えます。 ところが交絡である「総人口」を加えて統制すると、 65 歳以上人口の係数は マイナスに反転します。 解釈は「総人口が同じ 2 県を比べると、 高齢化率が高い（＝地方・過疎寄りの）県のほうが一般診療所は少ない」。 単回帰のプラスは、 高齢者数と診療所数がともに「総人口の大きさ」に引っ張られていただけの見かけの関係だったわけです。 これが「単回帰は交絡を統制しない」の生々しい実例で、 交絡を無視した単回帰の係数を因果的に読むと結論が真逆になり得ます。

⚠️ ただし逆向きの注意も：この 2 変数は corr = 0.991 とほぼ完全な共線関係です。 多重共線性が極端だと各係数の標準誤差が膨らみ、 個々の係数（この例の −0.003351 など）は不安定になります。 「単回帰だと交絡で偏る／重回帰でも強共線だと分散が暴れる」という両刃を理解し、 係数の点推定だけでなく信頼区間・VIF を必ず併記するのが実務です。

この落とし穴グループの要点

• 交絡を統制しない：単回帰の係数は「他の条件が同じなら」を保証しない。 上の実測のように符号すら変わる（交絡 / 重回帰）。
• 相関 ≠ 因果：傾きが大きく R² が高くても原因とは限らない。 逆因果（逆の因果）や同時性の可能性（因果）。
• 非線形を直線近似：真の関係が曲線なら体系的に外れる。 残差プロットで必ず確認（対数変換は上の数式節を参照）。
• 外れ値・レバレッジ：x が極端な 1 点が傾きを支配する（この頁の東京都・Cook 距離 6.6 の例）。 外れ値 / ロバスト回帰。
• 外挿：観測範囲外（例: 人口 0 の切片 α̂ = −174）の予測は無意味。 予測区間も急拡大する。

📈 発展 — 導出・R²=r²・区間・平均への回帰

① 最小二乗解の導出（なぜ β₁ = Cov(x,y)/Var(x) か）

残差二乗和 $S(\beta_0,\beta_1)=\sum_i (y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)^2$ を最小にする点では、 各偏微分がゼロになります（正規方程式）：

$$ \frac{\partial S}{\partial \beta_0}=-2\sum_i(y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial \beta_1}=-2\sum_i x_i(y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)=0 $$

第 1 式から $\beta_0=\bar y-\beta_1\bar x$（直線は重心 $(\bar x,\bar y)$ を通る）。 これを第 2 式へ代入して整理すると、 傾きの解析解が出ます：

$$ \hat\beta_1=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i(x_i-\bar x)^2}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{\text{Cov}(x,y)}{\text{Var}(x)} $$

$S$ は $\beta$ について凸（二次形式）なので、 この停留点が唯一の最小値です。 一般の説明変数個数への拡張（正規方程式 $X^\top X\hat\beta=X^\top y$）は 最小二乗法(OLS)、 分子・分母の意味は 共分散・分散の項へ。

② なぜ単回帰では R² = r² なのか

決定係数は $R^2=\dfrac{SSR}{SST}=1-\dfrac{SSE}{SST}$。 予測値 $\hat y_i=\bar y+\hat\beta_1(x_i-\bar x)$ を使うと、 説明された変動は $SSR=\sum(\hat y_i-\bar y)^2=\hat\beta_1^2\,S_{xx}$。 ここへ $\hat\beta_1=S_{xy}/S_{xx}$ を入れると $SSR=S_{xy}^2/S_{xx}$。 よって

$$ R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{S_{xy}^2/S_{xx}}{S_{yy}}=\left(\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\right)^2=r^2 $$

つまり単回帰に限り「決定係数＝相関係数の二乗」がきれいに成立します（上の実測でも R²=0.9442=0.9717²）。 重回帰では説明変数が増えると R² は必ず上がってしまうため、 モデル比較には自由度で罰則を入れた自由度調整 R²を使います（決定係数の項も参照）。

③ 信頼区間 vs 予測区間（要点の再掲）

$x_0$ での予測 $\hat y_0$ の区間は 2 種類あり、 「平均の不確かさ」を測る信頼区間 (CI) より、 「次の 1 個体」を測る予測区間 (PI) のほうが $+1$ の分だけ広くなります（詳細な式・SSDSE の数値例はこの頁の「📊 信頼区間 vs 予測区間」節を参照）。 いずれも $x_0$ が $\bar x$ から離れるほど広がるため、 外挿での予測は急速に信頼できなくなります。 区間推定の一般論は 信頼区間 / 区間推定へ。

④ 平均への回帰（regression to the mean）— 「回帰」の語源

Galton が「regression」と名付けた元の現象がこれです。 標準化した単回帰は $\hat z_y=r\,z_x$ で、 $|r|<1$ なので予測値は必ず平均の側へ縮む。 「今年 x が飛び抜けて高かった対象は、 来年 y は（平均へ戻って）やや低くなりやすい」という統計的必然で、 因果でも実力低下でもありません。 例：極端に成績の良かった生徒は次回やや平均寄りになる、 事故多発地点に対策を打つと（対策と無関係に）翌年は減りやすい。 これを「対策が効いた」と誤読するのが典型的な罠です。 単回帰の傾きが $s_y/s_x$ ではなく $r\cdot s_y/s_x$ である（$r$ の分だけ縮む）ことが、 この現象の数式的な正体です。

⑤ 頑健回帰への逃げ道

最小二乗は残差を二乗するため外れ値に弱い。 少数の異常点に結論を左右されたくないときは、 残差を二乗でなく絶対値寄りに扱う Huber 回帰や、 インライアだけで当てはめる RANSAC などのロバスト回帰を使い、 OLS の傾きと比較して感度を確認します（この頁「⑤ ロバスト回帰」のコード参照）。 まず単回帰で 1 変数ずつ関係を見てから重回帰へ進むと、 交絡・共線性・外れ値の罠を切り分けやすくなります。

🔗 関連ページへ（このサイト内で深掘り）

本ページの各テーマは、 グロッサリー内の個別ページでさらに詳しく扱っています。 下は実在するページへの相対リンクです。

直線・推定の中身

• 回帰直線 — 最小二乗で引かれる 1 本の直線そのもの。
• 最小二乗法（OLS） — 推定原理と正規方程式・一般形。
• 回帰係数 — 傾き・切片の意味と検定。
• 標準化偏回帰係数 — 標準化すると傾き＝r になる話。
• 線形回帰 — 線形回帰全体の総論。

関係の強さ・評価

• 相関係数 / 共分散 / 分散 — 傾きの分子・分母。
• 決定係数 R² / 自由度調整 R² — 当てはまりの指標。
• 残差 — 診断の主役。
• 散布図 — まず描くべき図。

拡張・落とし穴

• 重回帰 / 多重共線性 — 説明変数を増やすと係数が変わる（統制）。
• 交絡 / 疑似相関 — 見かけの関係の正体。
• 因果 / 逆の因果 — 相関 ≠ 因果。
• 外れ値 / ロバスト回帰 — レバレッジ点への備え。
• 対数変換 — 弾性度・不均一分散への対処。
• 信頼区間 / 区間推定 — 予測の不確かさ。

🗺️ 概念マップ — 3つの視点で体系を理解する

単回帰分析 がデータサイエンスの体系の中でどこに位置するかを、 3つの異なる視点で可視化します。 同じ情報でも見方を変えると気付きが変わります。

📍 体系階層のパス

🌐 統計・データサイエンス › 関連・回帰 › 回帰 › 単回帰

① 🔗 関係マップ — 「他の手法とどう繋がっているか」

中心に 単回帰分析 を置き、 そこから 最小二乗法・重回帰・相関係数・散布図・共分散・R² など 計 13 個の用語へ、 前提・兄弟・発展形といった関係を矢印で結んでいます。 線がどちら向きかを見れば、 先に読むべき用語とあとから読む用語が分かります。 ノードはドラッグで動かせ、 ホイールでズーム、 クリックでその用語のページへ遷移します。

② ⭕ 包含マップ — 「どのカテゴリに含まれているか」

大きな円が小さな円を包含する Circle Packing 図。 「単回帰分析」は緑色でハイライト。

• カテゴリ円をクリック：その内部にズームイン
• 白背景クリック：1階層戻る
• 用語円をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パス表示

③ 🌳 ツリーマップ — 「面積で見るボリューム比較」

長方形を入れ子に分割した Treemap 図。 各分野の規模感を面積で比較。 「単回帰分析」は緑色でハイライト。

• カテゴリ矩形をクリック：その内部にドリルダウン
• パンくず（上のリンク）クリック：その階層に戻る
• 用語矩形をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パスと値を表示

🎯 3つのマップの使い分け

💡 3 つの図は同じ位置関係を別の角度から描いています。 関係マップは 単回帰 の隣に何が並ぶかを、 包含マップとツリーマップは 統計・データサイエンス → 回帰 → 単回帰 という入れ子の位置を示します。 「回帰には他に何があったか」を思い出したいときは包含マップを、 「次に何を読むか」を決めたいときは関係マップを開いてください。

🔗 隣接手法への橋渡し

「単回帰」は 1 つの説明変数と 1 つの目的変数の線形関係を推定する最小単位 であり、 上流の散布図・相関係数からの自然な発展として、 下流の重回帰・一般化線形モデル・機械学習回帰モデルへ展開する出発点となる。

⬆️ 上流: データの関係性確認

• 散布図 — まず描いて見る
• 相関係数 — 線形関係の強さ
• 共分散 — 回帰係数の元

⬌ 並列: 変数を増やす拡張

• 重回帰 — 説明変数を 2 つ以上
• 多項式回帰 — 曲線フィット
• Lasso / Ridge — 正則化付き

⬇️ 下流: 診断と予測

• 残差分析 — 前提の妥当性確認
• 決定係数 R² — 当てはまりの指標
• 予測区間 — 新規データの不確実性

単回帰は y = a + bx + ε の最もシンプルな形で、 散布図 → 相関係数 → 単回帰 → 残差診断 → 重回帰 / 正則化 という流れの起点にあたる入門モデル。

🌳 手法選択フロー

単回帰を使うか、 重回帰や他のモデルへ進むかは、 説明変数の数・線形性・データ規模で決まる。

典型シナリオ別の手法選択

選んだ後の検証ステップ

1. 散布図確認: 線形でなければ単回帰の前提を満たさない
2. 残差分析: 残差プロットでパターンや漏斗形が見えれば前提逸脱
3. R² と RMSE: 当てはまりの良さと予測誤差を両方確認
4. 外れ値の影響: Cook 距離・てこ比で影響力ある点を特定
5. 外挿の禁止: 学習データ範囲外の x で予測しない