📌 補足セクション — 決定係数を SSDSE-B-2026 で確かめる

本セクションは「決定係数」を 47都道府県データ（SSDSE-B-2026）で具体的に確認するための追加教材です。 例として総人口で出生数を説明したときの R²を扱います。

🎨 直感で掴む — 決定係数

📐 数式または定義

🧮 実値で計算してみる — 決定係数

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# 最小コード（直書き, SSDSE は cp932・2 段ヘッダ）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])

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import pandas as pd
import numpy as np

# SSDSE は 2 段ヘッダ（1段目=コード, 2段目=日本語名）。 skiprows=[1] でコード名を採用
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])

# 2023 年の 47都道府県スナップショット
sub = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023].copy()
x = sub['A1101'].astype(float)   # 総人口
y = sub['A4101'].astype(float)   # 出生数

# 決定係数の基礎統計
x_mean, y_mean = x.mean(), y.mean()
beta1 = ((x - x_mean) * (y - y_mean)).sum() / ((x - x_mean) ** 2).sum()
beta0 = y_mean - beta1 * x_mean

print(f'n = {len(x)}')             # 47
print(f'beta1 = {beta1:,.4f}')     # 傾き ≈ 0.0061
print(f'beta0 = {beta0:,.4f}')     # 切片 ≈ -676.9
print(f'相関係数 = {x.corr(y):.4f}')  # ≈ 0.9954

# 残差・決定係数も計算
y_hat = beta0 + beta1 * x
resid = y - y_hat
ss_res = (resid ** 2).sum()
ss_tot = ((y - y_mean) ** 2).sum()
r2 = 1 - ss_res / ss_tot
print(f'R^2 = {r2:.4f}')

⚠️ 補足の落とし穴

• 都道府県データはサンプルサイズ 47 が固定：標本数を増やせないため、 統計的検定の検出力は中程度に留まります。 解釈時にこの限界を意識してください。
• スケールの違い：総人口（百万単位）と出生数（万単位）など、 桁が大きく異なる変数は標準化して扱うのが安全です。
• 東京・大阪等の影響点：少数の大都市が回帰や相関の結果を大きく動かすことがあります。 影響統計量（てこ比、 クックの距離）の確認を推奨します。

🔗 関連用語（補足リンク）

🖼 概念図で押さえる決定係数 R²

R² は「全変動のうち、 モデルが説明できた割合」を示す。 ここでは 3 つの概念図で「回帰の幾何」「残差の意味」「過学習との関係」を整理する。

📌 図から読み取るポイント

• 図 1: R² は SSR / SST の比。 説明できた変動の割合だが、 因果ではない。
• 図 2: 残差診断は必須。 R² だけでモデルの良し悪しを決めない。
• 図 3: R² は変数を増やすほど上がる。 Adjusted R² と CV-R² で過学習を防ぐ。

🔬 R² を実データで多角的に確認する（R283 補強）

R² は数式 1 行で書ける一方、 「変数を増やすほど上がる」「外れ値で歪む」「非線形では負になる」など細かい落とし穴が多い。 ここでは SSDSE-B-2026 都道府県データを使い、 R² の挙動を 4 つの角度から確認する。

① 単回帰の R² を手計算 → scikit-learn と一致確認

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の「総人口（A1101）」を説明変数、「出生数（A4101）」を目的変数として、 SS_tot / SS_res から R² を手計算し、 sklearn.metrics.r2_score と一致するかを検証する。

📥 入力: SSDSE-B-2026.csv（47都道府県、 数値カラム A1101, A4101）。 df.head() は「北海道 5092000 24430」のような行が並ぶ。

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import pandas as pd
from sklearn.metrics import r2_score
from sklearn.linear_model import LinearRegression

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.rename(columns={'A1101':'population', 'A4101':'births'})
X = df[['population']].values
y = df['births'].values
model = LinearRegression().fit(X, y)
y_hat = model.predict(X)

ss_res = ((y - y_hat)**2).sum()
ss_tot = ((y - y.mean())**2).sum()
r2_manual = 1 - ss_res/ss_tot
print(f'手計算 R²        = {r2_manual:.4f}')
print(f'sklearn r2_score = {r2_score(y, y_hat):.4f}')
print(f'model.score      = {model.score(X, y):.4f}')

📤 実行例:

💬 結果の読み方: 3 つの計算が完全一致 → 公式の理解が正しい。 R²=0.9909 は「出生数のばらつきの 99.09% を総人口だけで説明できた」ことを意味する。 ただし、 後述の通り外れ値の影響も点検すべき。

② 変数を増やすと R² が必ず上がる（過学習の罠）

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の説明変数に「65歳以上人口」「年平均気温」を順に追加し、 R² が単調増加することを示す。 これが調整済み R² が必要な理由。

📥 入力: 同じ df。 説明変数を 1 → 2 → 3 個に増やしていく。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（英字の項目コードで読み込み）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=0)
df = df[df['Code'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
for _c in df.columns[3:]:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()]

from sklearn.linear_model import LinearRegression

# A1101=総人口, A1303=65歳以上人口, B4101=年平均気温
cols_sets = [
    ['A1101'],
    ['A1101', 'A1303'],
    ['A1101', 'A1303', 'B4101']
]
for cols in cols_sets:
    X = df[cols].astype(float).values
    r2 = LinearRegression().fit(X, df['A4101']).score(X, df['A4101'])
    n, k = len(df), len(cols)
    r2_adj = 1 - (1-r2)*(n-1)/(n-k-1)
    print(f'説明変数 {k} 個: R²={r2:.4f}  Adjusted R²={r2_adj:.4f}')

📤 実行例:

💬 結果の読み方: R² は 0.9909 → 0.9930 → 0.9930 と減ることはない（3 個目は 4 桁目まで同じで、 実質的に増えていない）。 一方 Adjusted R² は 0.9907 → 0.9927 → 0.9925 と下がる——3 個目の変数が自由度を 1 消費するだけで新しい情報を持たなかった、 ということ。 無関係な変数を足せば Adjusted R² は下がり「無駄な変数」と判定できる（→ 過学習の節）。 これがモデル比較に Adjusted R² を使う理由。

③ 外れ値「東京」の有無で R² がどう変わるか

このコードでやること: 東京を含む 47 都道府県と、 東京を除いた 46 都道府県で R² を比較し、 外れ値が R² を持ち上げている事実を視覚化する。

📥 入力: 同じ df。 「都道府県」または「Prefecture」カラムでフィルタ。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（英字の項目コードで読み込み）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=0)
df = df[df['Code'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
for _c in df.columns[3:]:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == df['SSDSE-B-2026'].max()]

from sklearn.linear_model import LinearRegression

df_no_tokyo = df[~df['Prefecture'].str.contains('東京', na=False)]

for label, d in [('全47都道府県', df), ('東京除く46', df_no_tokyo)]:
    X = d[['A1101']].astype(float).values
    r2 = LinearRegression().fit(X, d['A4101']).score(X, d['A4101'])
    print(f'{label}: R²={r2:.4f}  n={len(d)}')

📤 実行例:

💬 結果の読み方: 東京を除くと R² は 0.9909 → 0.9855 とわずかに下がる。 東京は規模が大きいが回帰直線にほぼ乗るため、 単独で R² を大きく歪めてはいない。 とはいえ高い R² を見たら必ず外れ値の影響を点検する習慣を。

④ 非線形データへの線形回帰: R² は負になりうる

このコードでやること: SSDSE-B-2026 の「年平均気温」と「消費支出」のように線形関係が弱い組合せに線形回帰を当てはめ、 分布外予測では R² が負になりうることを確認する。

📥 入力: 同じ df。 説明変数 B4101（年平均気温）、 目的変数 L3221（消費支出）。

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import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score

# 年平均気温(B4101) から 消費支出(L3221) を線形回帰 — 関係は弱い
X = df[['B4101']].astype(float).values
y = df['L3221'].astype(float).values
r2_in = r2_score(y, LinearRegression().fit(X, y).predict(X))

# 寒い県で学習し、暖かい県で予測（分布外）→ R² は負になりうる
d = df.sort_values('B4101')
tr, te = d.iloc[:23], d.iloc[23:]
m = LinearRegression().fit(tr[['B4101']].astype(float), tr['L3221'].astype(float))
r2_out = m.score(te[['B4101']].astype(float), te['L3221'].astype(float))
print(f'当てはめ R² (全データ)  = {r2_in:.4f}')
print(f'分布外 R² (寒→暖 予測)  = {r2_out:.4f}')

📤 実行例:

💬 結果の読み方: 同じデータへの当てはめでは R²=0.05 と低いだけだが、 分布外（寒い県で学習→暖かい県で予測）では R²=-0.51 と負になる。 R² が負＝「平均で予測したほうがマシ」。 R² の符号も常に確認する。

R² 4 つの実験のまとめ

• ① 公式 1 - SS_res/SS_tot は sklearn と完全一致 — 理解の確認になる
• ② 変数を増やすと R² は単調増加 — モデル選択には Adjusted R² か CV-R²
• ③ 外れ値「東京」を除くと R² が 0.9909 → 0.9855 に動く — 必ず除外実験
• ④ 非線形では R² が負になりうる — 残差プロットと併用

🧮 数式に値を入れて手で計算する: 決定係数 R²

5 点の小サンプル (y, ŷ) から SSE / SST / R² を Step 1〜5 で計算し、 直後の Python コードが同じ値を返すか確認する。

Step 1: 観測値・予測値・平均

Step 2: SST = Σ(y - ȳ)²

Step 3: SSE = Σ(y - ŷ)²（残差二乗和）

Step 4: R² = 1 - SSE/SST

Step 5: 参考に SSR = Σ(ŷ - ȳ)² も計算

🐍 Python で再現

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import numpy as np
y = np.array([3, 7, 12, 9, 4])
yhat = np.array([3.8, 6.6, 12.3, 8.5, 4.8])
sst = ((y - y.mean())**2).sum()
sse = ((y - yhat)**2).sum()
r2 = 1 - sse/sst
print(f"SST: {sst}, SSE: {sse:.2f}, R²: {r2:.3f}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 4) の R² ≈ 0.967 と Python 出力 (R² = 0.967) が完全一致。 SST=54.0 / SSE=1.78 も Step 2・3 と同じ値。

🔗 隣接手法への橋渡し

「決定係数 (R²)」は単独で完結する手法ではなく、 隣接領域と連携することで真価を発揮する。

• 上流: 回帰分析・残差の概念が前提
• 並列: 自由度調整済 R²・AIC・RMSE と比較し、 適合度を多角的に評価
• 下流: モデル評価・交差検証で汎化性能を確認

SSDSE-B-2026 の総人口 → 出生数の単回帰で R² ≈ 0.99、 自由度調整済 R² も同等、 説明変数の追加 (65歳以上人口・年平均気温) で 0.995 まで上昇するが交差検証 R² で過学習を確認する流れが実用的。

🔖 キーワード索引 (補足)

「決定係数 R²」は回帰モデルの当てはまりを示す代表指標。 SSDSE-B-2026 (47 都道府県) で総人口 → 出生数を回帰すると R² ≈ 0.99 となり、 「人口で出生数の 99% が説明できる」という解釈に対応する。 ただし R² は説明変数を増やすと単調に上昇するため、 自由度調整済 R² や交差検証 R² と併用する必要がある。

これらは「単純な R² の罠」を回避するための補正指標群である。

🎨 直感で掴む

R² は「モデルがデータの散らばりを何割説明できたか」を 0〜1 で示します。 SSDSE-B-2026 の都道府県の総人口で出生数を予測すると R² ≈ 0.99、 つまり 99% の変動を人口だけで説明できます。 残り 1% は出生率の地域差など他要因が担っています。

「説明する」を分解する： 縦軸 y (出生数) を全 47 県でプロットすると、 平均線 ȳ の周りにばらつきが見えます。 この総ばらつき (TSS = Σ(y - ȳ)²) を、 直線 ŷ = β₀ + β₁ x で説明できた部分 (ESS = Σ(ŷ - ȳ)²) と、 残った部分 (RSS = Σ(y - ŷ)²) に分解し、 R² = ESS/TSS = 1 - RSS/TSS と定義します。 R² = 0.99 は「平均からの上下動 100% のうち、 99% を回帰直線が再現した」を意味します。

身近な比喩： 体重 (y) を身長 (x) だけで予測しようとすると R² ≈ 0.6 程度ですが、 年齢・性別・筋肉量を加えると R² ≈ 0.85 に上昇します。 「身長だけで体重の 60% を読める」、 「他要素を加えれば 85% 読める」と直感できれば R² は理解できたも同然です。

注意： R² = 1 は完全予測ですが、 過学習の可能性も高いです。 R² = 0 はモデルが平均線と同等で予測価値ゼロ、 R² < 0 は予測が平均線より 悪い 異常事態を意味します（OOS 検証で見られる）。 また R² は単調増加性質を持つため、 説明変数を増やすと必ず上昇 — そこで 調整済み R² が登場します。

📐 数式または定義

決定係数 $R^2$ は、 観測値 $y_i$ を予測値 $\hat{y}_i$ で近似したときの「説明できた変動の割合」として定義される：

$$ R^2 = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2} $$

ここで TSS (Total Sum of Squares) は平均 $\bar{y}$ からの総変動、 RSS (Residual Sum of Squares) はモデル誤差の二乗和。 単回帰では同等の表現として $R^2 = \mathrm{ESS}/\mathrm{TSS}$ (ESS = Explained Sum of Squares = $\sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$) もよく使われ、 $\mathrm{TSS} = \mathrm{ESS} + \mathrm{RSS}$ の関係が成り立つ。 単回帰の場合は $R^2 = r_{xy}^2$ (Pearson 相関係数の二乗) でもあり、 ピアソン相関と密接に結びついている。

🔬 数式を言葉で読み解く

上式の各記号を SSDSE-B-2026 (総人口 → 出生数の単回帰) に当てはめて翻訳する。

• $y_i$ — i 番目の都道府県の実測値。 例: 東京の A4101 (出生数) = 86,348 人。
• $\hat{y}_i$ — 回帰モデルによる予測値。 $\hat{y}_i = \beta_0 + \beta_1 x_i$ で、 $x_i$ は人口 (A1101)。
• $\bar{y}$ — 全 47 県の出生数の平均。 R² の基準点となる「予測モデルを使わない場合の素朴な予測」。
• TSS — 47 県の出生数が平均からどれだけ散らばっているかの総量。 これを 1.0 (= 100%) と置く。
• RSS — 回帰直線で「説明しきれなかった」残差変動。 RSS = 0 なら R² = 1 で完全予測。
• $R^2 \approx 0.99$ — SSDSE-B-2026 の総人口 → 出生数では実際にこの値が出る。 「人口だけで出生数の 99% を説明」を意味する。

分子の RSS は「予測モデルの誤差」、 分母の TSS は「予測しない (平均値だけ使う) ときの誤差」。 R² はこの比を 1 から引いた値で、 「予測モデルを使うことで残差をどれだけ減らせたか」のスコア。 $R^2 < 0$ なら「平均値より悪い予測」を意味し、 OOS (out-of-sample) 評価では時々発生する。

🧮 実値で計算してみる

R² (決定係数) を SSDSE-B-2026 の「総人口 (A1101) → 出生数 (A4101)」の単回帰で計算する。 全 47 都道府県データを使い、 R² = 1 - SS_res/SS_tot を手計算と Python の両方で求めて一致を確認する。

使用データ: SSDSE-B-2026 の x = A1101 (総人口, 人), y = A4101 (出生数, 人)。 単回帰 y = a + b·x をフィットして R² を算出。

R² ≈ 0.9909 = 「出生数の分散のうち 99% は人口で説明できる」という強い当てはまり。 残り 1% が出生率の地域差などの説明変数で補強できる余地。

🐍 Python 実装

上記 Step 1-5 の R² 計算を sklearn と statsmodels で再現する。 SSDSE-B-2026 を読み込み、 単回帰モデルをフィットして R² を確認する。

🎯 このコードでやること: sklearn の LinearRegression と statsmodels の OLS で R² を計算し、 手計算値と一致することを確認する。 さらに自由度調整済 R² も併記する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 の A1101 (総人口) と A4101 (出生数) 列、 47 都道府県分。

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import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
X, y = df[['A1101']], df['A4101']                # 総人口 → 出生数
model = LinearRegression().fit(X, y)
r2 = r2_score(y, model.predict(X))
adj_r2 = 1 - (1-r2) * (47-1) / (47-1-1)
print(f'R²={r2:.4f}  Adjusted R²={adj_r2:.4f}  b={model.coef_[0]:.4f}  a={model.intercept_:.0f}')

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: R² = 0.9909 は手計算の 0.9909 と一致。 「総人口が 1 万人増えると出生数が約 61 人増える」傾き (b=0.0061) で、 47 都道府県の分散の 99% を説明。 Adjusted R² との差はわずかで、 単回帰なので過適合の懸念は小さい。

⚠ 落とし穴

• 説明変数を増やすと R² が必ず上がる罠: 無関係な変数を足しても R² は単調増加する。 例: 「都道府県の人口」に「アルファベット順位」を加えても見かけ R² は上昇。 対策: 自由度調整済 R² (adjusted R²) を併記し、 過適合を抑止。
• 非線形関係を R² で評価する: U 字型 (例: 県民所得 vs 高齢化率) では線形回帰の R² がほぼ 0 でも、 実際には強い関係が存在。 対策: 散布図確認 → 非線形回帰や Spearman 順位相関を併用。
• 外れ値で R² が膨らむ: 東京 1409 万のような 1 点が全体の決定係数を引き上げる。 対策: 外れ値を含む・除く両方で R² を計算し感度を確認。
• R² の絶対値で分野横断に比較: 物理実験の R²=0.95 と社会データの R²=0.30 を同基準で「良い/悪い」と判断できない。 対策: 分野標準値 (経済データなら 0.2-0.6 が一般的) を踏まえる。
• R² と予測精度を混同: 訓練データでの R² が高くてもテストデータでは大きく下がる (汎化誤差)。 対策: K-fold CV の R² で評価し、 訓練/テストのギャップを報告。

🌐 関連手法・派生

回帰モデルが目的変数の分散の何割を説明できるかを示す指標、 $R^2 = 1 - SS_{res}/SS_{tot}$。 SSDSE-B-2026 の「都道府県の総人口 → 出生数」の単回帰で R² ≈ 0.99 程度になり、 ほぼ人口で説明できることを示す。

上位概念・前段・派生・競合の位置関係

主要モデル評価指標の比較 (SSDSE-B-2026 の総人口 → 出生数 単回帰 を想定)

R² だけで「良いモデル」を判断するのは危険で、 SSDSE のような相関の強い変数では容易に 0.9 を超える。 自由度調整済 R² や交差検証と併用するのが安全。

🔗 関連用語

決定係数 R² を学ぶ際に併読すると理解が深まる関連用語を「前提・並列・発展」の 3 区分で整理する。

• 前提概念: 単回帰 / 重回帰 / 残差平方和 SS_res / 全平方和 SS_tot / 回帰平方和 SS_reg。 加えて分散の分解、 最小二乗法 (OLS) の基本。
• 並列概念: 自由度調整済み R² / AIC / BIC / RMSE / MAE / 残差プロット — 当てはまりと予測誤差を測る並列指標。 R² 単独では過適合を検出できないため必ず併用。
• 発展概念: McFadden の擬似 R² (ロジスティック回帰) / Cox-Snell R² / 部分 R² / 交差検証 R² — 非線形モデル・新規データに拡張した派生指標。 交差検証で汎化性能を測ることが現代の定石。

R² は「当てはまりの良さ」を表すが、 高ければ良いとは限らない。 SSDSE-B-2026 のような相関の強いマクロ統計では R² > 0.9 が頻発するが、 因果関係ではなく単に 相関 が強いだけというケースが多い点に注意。

📚 関連グループ教材

R² を学ぶ際に併読すると理解が深まる関連グループ教材を以下にまとめる。

• 📚 回帰タスクグループ — R² の上位カテゴリ。 単回帰・重回帰・正則化回帰の全体マップ
• 📚 評価指標グループ — RMSE / MAE / R² / AIC / BIC を横断比較する教材
• 📚 用語集トップ — 全 514 用語のインデックス
• 🌐 関連手法・派生 — R² と関連する具体的な手法群
• 🔗 隣接手法への橋渡し — R² と組み合わせる前段・後段手法
• 🌳 手法選択フロー — R² を含む手法の使い分け判断
• 🗺 全体概念マップ — 用語集全体の関係図

📊 SSDSE 教材・公的データ（推奨）

• SSDSE（教育用標準データセット） — 47 都道府県データで「人口を家計支出で予測」など回帰実例を試せる教材。 R² を実値で計算可能
• e-Stat（政府統計の総合窓口） — 国勢調査・経済センサスなど一次データ。 マクロ統計では R² が高くなりがちな点を体感できる
• statsmodels 公式: Regression — OLS の summary() で R²、 Adjusted R²、 F 統計量、 AIC、 BIC をまとめて確認
• scikit-learn 公式: r2_score — sklearn.metrics.r2_score の正式定義（交差検証でマイナス値になり得る点に注意）

📖 標準書・論文（理論を深める）

• 『現代統計学』（東京大学教養学部統計学教室編, 東京大学出版会）— 13 章で重回帰と R² の分散分解を厳密に扱う
• 『The Elements of Statistical Learning』（Hastie ら, Springer, 2009）— 3 章 線形回帰の評価。 訓練 R² と汎化誤差のギャップを定式化
• 『Applied Linear Statistical Models』（Kutner ら, McGraw-Hill）— R² の分散分解と F 検定の関係を演習形式で解説
• McFadden (1974): "Conditional Logit Analysis of Qualitative Choice Behavior" — 擬似 R² の原典。 ロジスティック回帰での R² 代替指標

これらを順に参照することで、 R² を中核とした分析の体系的理解が得られる。

🗺 概念マップ

決定係数 R² を中心に、 関連する概念・上位カテゴリ・応用領域を放射状に配置した。

🔗 隣接手法への橋渡し

「r squared」を中心に、 隣接する手法・概念との関係を以下に整理する。 単独の手法理解にとどまらず、 分析パイプライン全体での位置付けを把握することで、 適切な前段・後段・代替手法を選べる。

決定係数 R² は「モデルの説明力」を一発で示す便利な指標だが、 単独で使うのは危険。 SSDSE-B-2026 で R² が 0.85 でも、 残差プロット・自由度調整済 R²・Cook 距離による外れ値感度・k-fold CV による外推性能 を併せて評価して、 はじめて信頼できる説明力と判定できる。

🌳 手法選択フロー

「r squared」を含む手法選択は、 データの性質・分析目的・運用制約の 3 軸で決まる。 以下に典型シナリオと対応する手法の組合せを示す。

典型シナリオ別の手法選択

選んだ後の検証ステップ

1. R² の絶対値: 0.0-1.0 の値で、 0.7 以上は強い説明力、 0.3 未満は説明力不足の目安だが、 分野 (社会科学 vs 物理) で基準は異なる
2. 自由度調整済 R²: 説明変数が増えると R² は単調増加するため、 adjusted R² で過剰適合をペナルティ評価
3. 残差分析: 残差プロットで等分散・独立性・正規性を確認し、 R² 上昇の真因 (本当に説明できているか) を点検
4. 外れ値感度: Cook 距離やレバレッジで影響点を特定し、 1-2 点で R² が大きく変わらないか確認
5. 解釈: SSDSE-B-2026 で R² = 0.85 が得られた場合、 残り 15% の未説明分が何 (測定誤差 / 欠落変数) かを分野知識で検討

🔬 補強：R² と分散分解 — TSS = ESS + RSS を SSDSE-B-2026 で実演

R² は「目的変数の分散のうち、 モデルが説明できる割合」と定義されますが、 この分子・分母を実データで分解すると、 R² がなぜ 0〜1 を取るのか、 マイナスになり得るのか、 なぜ訓練データでは「変数を増やすと必ず R² が上がる」のかが明快になります。 SSDSE-B-2026 を使って実演します。

📐 三つの平方和

TSS = ESS + RSS
R² = ESS / TSS = 1 − RSS / TSS

• TSS（Total Sum of Squares）= Σ(yᵢ − ȳ)² … 目的変数全体の変動。 モデル無関係の「説明したい量」。
• ESS（Explained SS）= Σ(ŷᵢ − ȳ)² … モデルが説明した変動。
• RSS（Residual SS）= Σ(yᵢ − ŷᵢ)² … 残差。 モデルが説明できなかった変動。

🧮 SSDSE-B-2026 で実値計算

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import pandas as pd, numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
X = df[['A1303', 'A1301']].astype(float)   # 65歳以上人口, 15歳未満人口
y = df['A1101'].astype(float)              # 総人口

model = LinearRegression().fit(X, y)
y_hat = model.predict(X)
y_mean = y.mean()

TSS = ((y - y_mean) ** 2).sum()
ESS = ((y_hat - y_mean) ** 2).sum()
RSS = ((y - y_hat) ** 2).sum()

print(f'TSS = {TSS:.0f}')
print(f'ESS = {ESS:.0f}')
print(f'RSS = {RSS:.0f}')
print(f'TSS - (ESS+RSS) = {TSS-ESS-RSS:.2f}  (理論上 0)')
print(f'R² = ESS/TSS = {ESS/TSS:.4f}')
print(f'R² = 1-RSS/TSS = {1-RSS/TSS:.4f}')
# 出力例: R² ≈ 0.995（総人口は年齢別人口でほぼ完全予測される）

📊 同じデータで「変数を 1 つずつ追加」して R² 上昇を観察

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from sklearn.linear_model import LinearRegression

base_cols = ['A1301']                       # 15歳未満人口
add_cols = ['A1303', 'A4101', 'A4200']      # 65歳以上人口, 出生数, 死亡数

for i in range(len(add_cols) + 1):
    cols = base_cols + add_cols[:i]
    Xi = df[cols].astype(float)
    yi = df['A1101'].astype(float)           # 総人口
    r2 = LinearRegression().fit(Xi, yi).score(Xi, yi)
    print(f'説明変数 {len(cols)} 個: R² = {r2:.6f}')
# R² は単調非減少。 無関係な変数を入れても上がるのが落とし穴。

⚠️ R² がマイナスになる場合 — 何が起きているか

R² < 0 は、 数式上は「モデルが平均値で予測するより悪い」を意味します。 ホールドアウト検証や、 切片無しモデル、 過学習で大きく外れた検証データで起こりがちです。

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from sklearn.model_selection import train_test_split

X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X, y, test_size=0.3, shuffle=False)
model_bad = LinearRegression(fit_intercept=False).fit(X_tr, y_tr)
print('test R² (切片なし):', model_bad.score(X_te, y_te))
# 切片無しで強引にフィットすると test R² がマイナスになり得る

📐 R² と相関係数の関係 — 単回帰のみ

単回帰では R² = r²（r は説明変数 X と目的変数 Y の相関係数の絶対値）。 ただし重回帰では R² ≠ Σrⱼ² なので、 「個別変数の貢献」と R² 全体は直接対応しません（→ 標準化β や偏相関で評価）。

💡 使い分け：モデル比較なら調整 R² や AIC、 報告書は R² 単独で OK、 予測誤差を生の単位で見たいなら RMSE、 と目的別に並走させましょう。

🌐 補強2：R² の派生・代替指標 — McFadden / Nagelkerke / Cox-Snell / 調整 R²

古典 R² は OLS 線形回帰のための指標ですが、 ロジスティック回帰やポアソン回帰など 非線形・非ガウス モデルでも「説明力」を測りたい場面は多い。 そこで考案されたのが「擬似 R²」（pseudo R²）と呼ばれる代替指標群です。 主要 4 つを比較整理します。

🔬 「対数尤度」に基づく擬似 R² の発想

非ガウスモデルでは「残差平方和」が定義しにくいため、 代わりに 対数尤度 を使います。 完全モデル（M）と帰無モデル（切片のみ、0）の対数尤度を比べ、 「モデルが帰無モデルからどれだけ改善したか」を尤度の比で測るのが擬似 R² の核心です。

🐍 SSDSE-B-2026 で擬似 R² を計算

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import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import numpy as np

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303'])

# 二値ターゲット：「高齢化率（A1303/A1101）が 30% 以上か」
df['high_aging'] = ((df['A1303'] / df['A1101']) > 0.30).astype(int)

X = sm.add_constant(df[['A1101']].astype(float))
y = df['high_aging']

logit = sm.Logit(y, X).fit(disp=0)
ll_M = logit.llf
ll_0 = logit.llnull
n = len(y)

mcfadden = 1 - ll_M / ll_0
cox_snell = 1 - np.exp(2 * (ll_0 - ll_M) / n)
max_cox = 1 - np.exp(2 * ll_0 / n)
nagelkerke = cox_snell / max_cox

print(f'McFadden R²  = {mcfadden:.4f}')
print(f'Cox-Snell R² = {cox_snell:.4f}')
print(f'Nagelkerke R² = {nagelkerke:.4f}')
# 値の絶対比較は要注意：McFadden 0.2-0.4 で「良いフィット」とされる

⚠️ 擬似 R² の「絶対値での比較」は危険

古典 R² が 0.5 と擬似 R² が 0.5 では意味がまったく違います。 McFadden の 0.2 ≈ 古典 R² の 0.5 と言われることもあり、 「擬似」と付くだけあって直接比較できません。 報告時は必ず「どの擬似 R² か」を明記しましょう。

📐 R² の信頼区間 — ブートストラップで推定

古典 R² の標本分布は複雑なので、 信頼区間はブートストラップで求めるのが実務的です。

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from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

df2 = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303']).copy()
X2 = df2[['A1303']].astype(float).values
y2 = df2['A1101'].astype(float).values

r2_boot = []
rng = np.random.default_rng(42)
for _ in range(1000):
    idx = rng.integers(0, len(y2), len(y2))
    r2 = LinearRegression().fit(X2[idx], y2[idx]).score(X2[idx], y2[idx])
    r2_boot.append(r2)

print(f'R² 95% CI: [{np.percentile(r2_boot, 2.5):.4f}, {np.percentile(r2_boot, 97.5):.4f}]')
# 都道府県データのような小標本では区間が広くなることに注意

💡 論文掲載時のチェック：(1) R² 単独で結論しない、 (2) 調整 R² も併記、 (3) 非線形モデルなら擬似 R² と尤度比検定、 (4) 小標本ならブートストラップ CI、 を意識すると説得力が増します。

🔬 補強3：R² の挙動をシミュレーション実験で理解する

R² が「サンプルサイズ」「ノイズの大きさ」「変数の数」でどう動くかを、 SSDSE-B-2026 を素材にした擬似実験で確認します。 教科書の数式だけでは見えない「現場感覚」を養うのが目的です。

🧪 実験 1：ノイズを増やすと R² はどう減るか

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import pandas as pd, numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303'])

X = df[['A1303']].astype(float).values
y_clean = df['A1101'].astype(float).values

print('ノイズ標準偏差倍率 → R²')
y_std = y_clean.std()
rng = np.random.default_rng(0)
for k in [0, 0.1, 0.3, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0]:
    noise = rng.normal(0, k * y_std, size=len(y_clean))
    y_noisy = y_clean + noise
    r2 = LinearRegression().fit(X, y_noisy).score(X, y_noisy)
    print(f'  {k:.1f}σ : R² = {r2:.4f}')
# ノイズ k=1σ で R² が半分、 k=5σ でほぼ 0 に

🧪 実験 2：「無関係な変数」を増やすと訓練 R² と汎化 R² はどう乖離するか

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import pandas as pd, numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import KFold

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303'])

X = df[['A1303']].astype(float).copy().reset_index(drop=True)
y = df['A1101'].astype(float).reset_index(drop=True)

rng = np.random.default_rng(42)
print('追加無関係変数の数 → 訓練R² / CV R²')
for n_extra in [0, 5, 10, 20, 30, 40]:
    Xx = X.copy()
    for j in range(n_extra):
        Xx[f'noise_{j}'] = rng.normal(0, 1, size=len(Xx))
    train_r2 = LinearRegression().fit(Xx, y).score(Xx, y)
    cv_r2s = []
    for tr, te in KFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=1).split(Xx):
        m = LinearRegression().fit(Xx.iloc[tr], y.iloc[tr])
        cv_r2s.append(m.score(Xx.iloc[te], y.iloc[te]))
    print(f'  +{n_extra} 個: 訓練 R² = {train_r2:.4f}, CV R² = {np.mean(cv_r2s):.4f}')
# 訓練 R² は単調増加、 CV R² は途中から低下 = 過学習の証拠

🧪 実験 3：標本サイズが小さいと R² は過大評価される

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import pandas as pd, numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303'])

print('標本サイズ → R² のブートストラップ平均と分散')
rng = np.random.default_rng(0)
for n in [5, 10, 20, 47]:
    r2s = []
    for _ in range(500):
        idx = rng.choice(len(df), n, replace=True)
        m = LinearRegression().fit(df[['A1303']].astype(float).iloc[idx],
                                    df['A1101'].astype(float).iloc[idx])
        r2s.append(m.score(df[['A1303']].astype(float).iloc[idx],
                           df['A1101'].astype(float).iloc[idx]))
    print(f'  n={n:3d}: mean R² = {np.mean(r2s):.4f}, std = {np.std(r2s):.4f}')
# 小標本では R² が高めに出るが分散も大きい

📊 実験結果のまとめ表

🌐 R² と関連指標の使い分け早見表

💡 シミュレーション思考の効用：教科書を読むだけでなく、 自分でデータを動かしてみることで、 R² が「単なる数値」でなく「データ構造の鏡」であることが体感できます。 実験コードを写経して、 値を変えてみることをおすすめします。

📚 補強4：R² を扱う実務 TIPS と参考文献

R² は誰でも知っている指標ですが、 「正しく報告する」ためのチェックリストは意外と整理されていません。 ここでは論文掲載・実務報告で役立つ実践 TIPS を整理します。

📋 R² 報告チェックリスト

🐍 報告に使える「R² ダッシュボード」関数

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import pandas as pd, numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error

def r2_dashboard(X, y, model=None):
    # R² 報告に必要な指標を一覧で返す
    if model is None:
        model = LinearRegression()
    n, p = X.shape
    model.fit(X, y)
    y_hat = model.predict(X)
    r2 = model.score(X, y)
    adj_r2 = 1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - p - 1)
    cv_r2 = cross_val_score(model, X, y, cv=5, scoring='r2').mean()
    rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y, y_hat))
    mae = mean_absolute_error(y, y_hat)
    return {
        'n':       n,
        'p':       p,
        'R²':      round(r2, 4),
        '調整 R²': round(adj_r2, 4),
        'CV R²':   round(cv_r2, 4),
        'RMSE':    round(rmse, 2),
        'MAE':     round(mae, 2),
    }

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=['A1101', 'A1303', 'A1301'])
X = df[['A1303', 'A1301']].astype(float)
y = df['A1101'].astype(float)
dashboard = r2_dashboard(X, y)
for k, v in dashboard.items():
    print(f'  {k}: {v}')

📐 R² の業界別「目安」

「R² が低いから悪いモデル」と短絡しないこと。 分野によっては R²=0.3 でも価値ある発見になり得ます。 大切なのは「同分野のベースラインと比べてどうか」です。

📚 主要参考文献

• Cohen, J. (1988) Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences — R² と効果量の関係。
• Kvalseth, T.O. (1985) "Cautionary Note about R²" — R² の落とし穴を 7 つ整理した古典。
• Nakagawa & Schielzeth (2013) — 混合モデルの R²（限界 R² と条件付き R²）。
• Anderson-Sprecher (1994) — 同じ R² でも意味が違う 7 ケース。

💡 結論：R² は「便利だが万能ではない」指標。 報告するときは必ず「どんな R² か」「何と比べたか」を明示し、 他の指標と併走させることで、 説得力のある分析になります。

🌐 補強5：R² と ANOVA — F 統計量と分散分析表で読み解く

R² は ANOVA（分散分析）と直結します。 OLS の標準的な「F 検定」は実は「R² の有意性検定」と数学的に等価。 SSDSE-B-2026 で並べて確認します。

📐 R² と F の関係

F = [R² / p] / [(1 − R²) / (n − p − 1)]

つまり R² が大きいほど F も大きく、 帰無仮説「すべての係数 = 0」が棄却されやすくなります。

🐍 SSDSE-B-2026 で F と R² を比較

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import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

df = pd.read_csv("data/raw/SSDSE-B-2026.csv", encoding="cp932", skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]
df = df.dropna(subset=["A1101", "A1303", "A1301"])

model = smf.ols("A1101 ~ A1303 + A1301", data=df).fit()
print(model.summary())
# R² と F 統計量が表示される。 両者は同一情報の別表現。
anova = sm.stats.anova_lm(model)
print(anova)
# 分散分析表：説明変数ごとの SS（平方和）と F 値

📊 分散分析表の読み方

💡 R² ＝ ANOVA の使い分け

• R²：説明力の「割合」を一目で見たいとき
• F 検定：「モデル全体が有意か」を検定したいとき
• 個別 t 検定：「各係数が有意か」を判定したいとき
• 分散分析表：各変数の「相対寄与」を比較したいとき

💡 使い分けのコツ：R² は「全体の説明力」、 ANOVA は「変数ごとの相対寄与」、 t 検定は「個別の有意性」。 3 つを併走させると、 モデルの全体像が立体的に見えてきます。

📚 補強6：R² FAQ — 7 つの本音質問

Q1. R² が 0.95 なのに予測が外れます。 なぜ？

訓練データの R² は内側のフィット。 ホールドアウトテストデータの R² を確認してください。 過学習の可能性大。

Q2. R² がマイナスになりました。 どうすれば？

テストデータでは普通に起こります。 切片なしモデル、 訓練と分布が違うテストデータ、 過学習などが原因。

Q3. R² 0.3 はモデルが悪い？

分野次第。 心理学・社会科学なら良好、 物理学なら不十分。 同分野の典型 R² と比較しましょう。

Q4. R² と相関係数 r の二乗は同じ？

単回帰では r² = R²。 重回帰では別物。 重回帰で「個別変数の貢献率」を測りたいなら偏 R² または標準化β。

Q5. 説明変数を増やすと必ず R² が上がるのですか？

はい、 訓練データの R² は単調非減少。 だから「変数を増やすたびに R² が上がった」だけでは進歩の証拠になりません。 調整 R² や CV R² を使いましょう。

Q6. ロジスティック回帰で R² を計算したい

McFadden、 Cox-Snell、 Nagelkerke のいずれか。 「擬似 R²」と総称されますが、 古典 R² と数値を直接比較できない点に注意。

Q7. R² が高いから因果関係がある？

違います。 R² は「説明力」であって「因果」ではない。 高い R² + 強い理論的根拠 + 内生性対策があってはじめて因果に近づきます。

🔬 解説を深める — R² は「関係の強さ」そのものではない

このページは既に「分散の説明割合」「変数を足すと必ず上がる」「因果ではない」「テストで負になる」を厚く扱ってきました。 ここではそれらと重ならない独自の角度として、 「R² は残差 SD が元の SD の何倍かを言い換えた量」という RMSE との橋渡しと、 「同じ関係でも X の広がりを狭めると R² は崩れる（範囲制限）」という見落とされがちな落とし穴を、 SSDSE-B-2026 の 2023 年・47 都道府県の実測値で掘り下げます。 題材は x＝総人口（A1101）で y＝大学学生数（E6302）を単回帰したケースです。

👁️ 直感 ── R²=0.79 は「残差の散らばりが元の46%まで縮んだ」という意味

R² は $1-SS_\text{res}/SS_\text{tot}$ ですが、 これを標準偏差で読み替えると急に体感しやすくなります。 残差の標準偏差 ÷ y の標準偏差 ＝ √(1−R²) という関係が常に成り立つからです（＝ $\text{RMSE}/\sigma_y=\sqrt{1-R^2}$）。 上の単回帰の実測値がこれです。

$\sqrt{1-0.789}=\sqrt{0.211}=0.459$ で、 実測の RMSE÷σ_y（48,605÷105,940＝0.459）とぴったり一致します。 つまり 「R²=0.79 の当てはまり」とは「予測の誤差の散らばりが、 何のモデルも無いとき（平均だけで予測）の 46% まで縮んだ」ということ。 R² を「50%の分散を説明」と割合で聞くと立派に思えても、 誤差の物差し（SD）では √ を取るので、 R²=0.5 でも残差 SD はまだ元の 71%（√0.5）しか縮みません。 R² の見かけほど誤差は減っていない、 という感覚は RMSE と併読すると崩れずに済みます。

🚧 落とし穴（重要）── X の範囲を狭めるだけで R² は半分以下に崩れる（範囲制限）

最大の誤解は 「R² は 2 変数の関係の強さそのものを表す固有の数値だ」という思い込みです。 実は R² は 手元のサンプルにおける X の広がり（分散）に強く依存します。 同じ「総人口→大学学生数」の関係でも、 人口 100 万〜300 万人の県だけに絞ると、 傾き（1 人あたりの学生数）はほぼ変わらないのに R² だけが崩れます。

傾きは 0.0340→0.0289 とほぼ横ばい（関係の“強さ”＝1人あたり学生数は変わっていない）なのに、 R² は 0.789 から 0.331 へ半分以下に崩落しました。 犯人は X の SD が 276.8 万→51.6 万へ大幅に縮んだこと。 R²＝説明された分散÷全分散なので、 X の広がりが小さいと分子（傾き²×Xの分散）が縮み、 同じ残差ばらつきに対して R² が下がるのです。 これが計量経済学で言う 範囲制限（restriction of range）。 「うちのデータでは R² が低いから関係が弱い」と結論する前に、 そもそも X を十分に広い範囲でサンプリングできているかを疑ってください。 逆に、 東京都のような巨大な外れ値を1点含めるだけで X 分散が跳ね上がり R² が水増しされることもあり、 R² は「関係の強さ」ではなく「このサンプルでどれだけ Y のばらつきを説明できたか」に過ぎません。

🚀 発展

• R² は「y と予測値 ŷ の相関の2乗」：単回帰では r²＝R²（上表で r=0.889、 r²=0.789 と一致）ですが、 これは偶然ではなく 重回帰でも R²＝corr(y, ŷ)²（重相関係数の2乗）として一般化します。 「実測と予測がどれだけ一直線に乗るか」が R² の正体で、 だから予測値の散布図（実測 vs 予測）を描くと R² が目で見えます。
• R² は y の変換をまたいで比較できない：同じデータでも $y$ を予測するモデルと $\log y$ を予測するモデルでは $SS_\text{tot}$（分母）が別物になります。 R²=0.85 の対数モデルと R²=0.80 の生値モデルを「対数の勝ち」と結論するのは誤り。 元スケールに戻して残差を評価し直す必要があります（時系列で「水準」と「差分」の R² を比べる罠も同型）。
• 範囲制限は相関の希薄化（attenuation）と表裏一体：X の分散を人為的に絞ると相関 r も R² も系統的に過小評価されます。 入試で合格者だけを見ると「試験点数と入学後成績の相関が弱い」と見えるのが典型例。 サンプル選択が X の広がりを削っていないかを常に確認しましょう。
• 「上がり続ける R²」への標準的対処：変数追加で単調非減少になる欠点は、 罰則付きの 調整済み R² と、 別データでの当てはまりを測る 交差検証 R² の併走で抑えます。 訓練 R² だけで進歩を語らないのが鉄則。

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• 調整済み R² ── 説明変数の数で罰則を課し、 無駄な変数で R² が上がる欠点を補正。 モデル間比較の標準。
• RMSE ── R²＝1−(RMSE/σ_y)² で結ばれる誤差指標。 R² の「√で効く」感覚はこちらで実測できる。
• 相関係数 ── 単回帰では R²＝r²。 範囲制限で希薄化する点も共通。
• 過学習 ── 訓練 R² が高いのにテストで崩れる現象の本体。
• 交差検証 ── 別データでの R²（汎化 R²）を測り、 水増しを見抜く。
• 分散 ── R² の分母（全分散）と分子（説明分散）そのもの。 範囲制限は X の分散の問題。
• 見せかけの相関 ── 高 R² が因果を意味しない代表的な落とし穴。