📐 数式と理論を深く読み解く — SES から状態空間表現まで

指数平滑法は単なるヒューリスティックではなく、 **線形ガウス状態空間モデル（ETS）** として確率的に基礎付けられている。 ここでは数式を 4 段階で読み解く。

🔬 Step 1: 数式を言葉で読み解く — SES の漸化式

$$\hat y_{t+1|t} = \alpha y_t + (1-\alpha)\hat y_{t|t-1}$$

• $\hat y_{t+1|t}$ — 時刻 $t$ までの情報で作る $t+1$ の 1 期先予測
• $y_t$ — 時刻 $t$ の実測値
• $\hat y_{t|t-1}$ — 時刻 $t-1$ までの情報で作っていた $t$ の予測
• $\alpha \in [0,1]$ — 平滑化定数。 新観測の重み

再帰展開すると $\hat y_{t+1|t} = \alpha\sum_{k=0}^{t-1}(1-\alpha)^k y_{t-k} + (1-\alpha)^t \hat y_{1|0}$。 過去の重みが **(1-α)^k で指数的に減衰** することがここから見える。

🔬 Step 2: 数式を言葉で読み解く — Holt 線形（水準＋トレンド）

水準方程式と傾き方程式の連立で書ける: $$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$$ $$b_t = \beta(\ell_t - \ell_{t-1}) + (1-\beta) b_{t-1}$$ $$\hat y_{t+h|t} = \ell_t + h \cdot b_t$$

上式は「水準は新観測と前期予測の重み付き平均」、 中式は「トレンドは水準差と前期トレンドの重み付き平均」、 下式は「h 期先予測 = 水準 + h × トレンド」。 β が大きいほど傾きが急変化する。

🔬 Step 3: 数式を言葉で読み解く — Holt-Winters（加法季節性）

$$\ell_t = \alpha(y_t - s_{t-m}) + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$$ $$b_t = \beta(\ell_t - \ell_{t-1}) + (1-\beta) b_{t-1}$$ $$s_t = \gamma(y_t - \ell_{t-1} - b_{t-1}) + (1-\gamma) s_{t-m}$$ $$\hat y_{t+h|t} = \ell_t + h b_t + s_{t-m+h_m^+}$$

$m$ は季節周期（月次なら 12、 四半期なら 4）。 $s_{t-m}$ は **1 周期前の同期の季節成分**。 γ は季節成分の更新速度。 乗法版なら除算・乗算に置き換わる。 SSDSE は年次なので m=1 の場合は季節性なしと同義になり、 月次の家計調査などで m=12 と組む。

🔬 Step 4: 数式を言葉で読み解く — 状態空間 (ETS) 表現

Hyndman ら（2008）は指数平滑法を **ETS(E, T, S)** 状態空間で統一した。 E（Error: A/M）×T（Trend: N/A/Ad）×S（Season: N/A/M）の 30 通り。 $$y_t = w(\mathbf{x}_{t-1}) + r(\mathbf{x}_{t-1})\varepsilon_t$$ $$\mathbf{x}_t = f(\mathbf{x}_{t-1}) + g(\mathbf{x}_{t-1})\varepsilon_t$$

1 つの誤差項 $\varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ が観測式・状態遷移式の両方を駆動する **single source of error (SSOE)** が特徴。 AICc で 30 通りから自動選択するのが statsmodels.tsa.exponential_smoothing.ETSModel や R の forecast::ets()。

🔬 数式を言葉で読み解く

前節の SES / Holt / Holt-Winters / ETS で登場した記号を、 1 つずつ「読み方 → 意味 → 直感例」に分解する。 数式を頭から終わりまで「日本語に翻訳して音読」できるようになることがゴール。

① SES（単純指数平滑）の記号

② Holt 線形（水準＋トレンド）の記号

③ Holt-Winters（季節成分つき）の追加記号

④ ETS(E, T, S) 状態空間表現の記号

まとめると、 「$\alpha, \beta, \gamma$ は新観測をどの程度信頼するかの 3 ダイヤル」「$\ell_t, b_t, s_t$ は系列を分解した 3 つの内部状態」「$\hat y_{t+h|t}$ はその状態を時間方向に外挿した予測値」と読めば、 SES から ETS まで同じ枠組みで理解できる。

🧮 月次データの平滑化 — 合成データで実値計算

SSDSE-B-2026 は年度×都道府県のパネルで月次系列を含まないため、 ここでは月内の変動と平滑化の挙動を示す合成した月次消費支出（千円）12ヶ月分を用いて、 単純指数平滑を手計算で追います。

① 元データの月次推移

② 平滑化の漸化式

Sₜ = α · yₜ + (1 − α) · Sₜ₋₁
例：S₂ = 0.3 × 285 + 0.7 × 320 = 309.5（α=0.3 の場合）
S₂ = 0.7 × 285 + 0.3 × 320 = 295.5（α=0.7 の場合、 直近重視）

③ α の選び方

α = 0.1〜0.3：ノイズが多いデータ、 長期トレンド重視
α = 0.4〜0.6：中庸
α = 0.7〜0.9：直近データ重視、 急変動への追従
自動最適化は 最尤推定 または MSE 最小化。

🧮 α 選択の手計算 — SSE 最小化と AICc の比較

α=0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 を手計算でグリッド探索し、 SSE が最小になる α を確認する。 statsmodels の自動最適化結果と一致するかチェックする教育的演習。

🐍 SES の α グリッド探索を SSDSE 北海道人口で実装

このコードでやること: 北海道 (R01100) の総人口 2014-2023 に対して α を 0.05 刻みで動かし、 SSE を計算してプロット用データを作る。

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# ── 時系列の例で使うデータを用意します ──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=1)
df = df[df['地域コード'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
df['年度'] = pd.to_numeric(df['年度'], errors='coerce')
df['年'] = df['年度']
for _c in ['総人口', '消費支出（二人以上の世帯）']:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df['A1101'] = df['総人口']
df['消費支出_東京'] = df['消費支出（二人以上の世帯）']

hokkaido = df[df['都道府県'] == '北海道'].sort_values('年度')
# SSE は単位の 2 乗で効くので、千人に直してから比べる（A1101 の単位は「人」）。
# 直近 10 年ぶんだけを使う。
y = hokkaido['A1101'].values[-10:] / 1000

def ses_sse(y, alpha):
    yhat = np.zeros_like(y, dtype=float)
    yhat[0] = y[0]
    for t in range(1, len(y)):
        yhat[t] = alpha * y[t-1] + (1 - alpha) * yhat[t-1]
    return np.sum((y[1:] - yhat[1:]) ** 2)

alphas = np.arange(0.05, 1.0, 0.05)
sses = [ses_sse(y, a) for a in alphas]
best_a = alphas[np.argmin(sses)]
print(f"最適 α = {best_a:.2f} (SSE = {min(sses):.0f})")
print(f"α=0.1 → SSE = {ses_sse(y, 0.1):.0f}")
print(f"α=0.5 → SSE = {ses_sse(y, 0.5):.0f}")
print(f"α=0.9 → SSE = {ses_sse(y, 0.9):.0f}")

🐍 Python 実装バリエーション — statsmodels / prophet / sktime / darts

① statsmodels（標準ライブラリ、 ETSフレームワーク）

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（東京都の消費支出、12 年度分の年次系列）──
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
tokyo = df[df['Prefecture'] == '東京都'].sort_values('SSDSE-B-2026')
ts = tokyo.set_index(pd.PeriodIndex(tokyo['SSDSE-B-2026'], freq='Y'))['L3221'].astype(float)
print('系列長 =', len(ts), '（年次データなので季節周期はありません）')

# 単純指数平滑（SES）— 水準だけを追う
ses = ExponentialSmoothing(ts, trend=None, seasonal=None).fit(optimized=True)
print('alpha:', round(ses.params['smoothing_level'], 4))
print('3 年先予測:')
print(ses.forecast(3).round(0))

# 減衰トレンド付き Holt
# ※ seasonal='add', seasonal_periods=12 は「月次データ」用の設定。
#    SSDSE-B は年次 12 点しかないので、12 周期の季節を当てはめると
#    「都道府県の並び順」や「年の並び」を季節と誤認する。ここでは trend のみ使う。
holt = ExponentialSmoothing(ts, trend='add', seasonal=None, damped_trend=True).fit()
print('Holt(damped) の 3 年先予測:')
print(holt.forecast(3).round(0))

② statsmodels の状態空間版（より高機能）

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（東京都の消費支出、12 年度分の年次系列）──
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.exponential_smoothing.ets import ETSModel

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
tokyo = df[df['Prefecture'] == '東京都'].sort_values('SSDSE-B-2026')
ts = tokyo.set_index(pd.PeriodIndex(tokyo['SSDSE-B-2026'], freq='Y'))['L3221'].astype(float)

# seasonal='add', seasonal_periods=12 は「月次データを 2 周期以上（24 点以上）」持つときの設定。
# SSDSE-B は年次 12 点しかないので、ここでは季節成分を外して状態空間版 ETS を当てる。
model = ETSModel(ts, error='add', trend='add', seasonal=None)
res = model.fit(disp=False)
print(res.summary())
pred = res.get_prediction(start=len(ts), end=len(ts) + 4)
print(pred.summary_frame())  # 予測区間付き

③ Prophet（Meta製、 解釈性◎）

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from prophet import Prophet
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-A-2024.csv', encoding='shift_jis', skiprows=1)
prophet_df = df.rename(columns={'年月': 'ds', '消費支出_東京': 'y'})

m = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=False)
m.fit(prophet_df)

future = m.make_future_dataframe(periods=12, freq='M')
forecast = m.predict(future)
print(forecast[['ds', 'yhat', 'yhat_lower', 'yhat_upper']].tail())
m.plot(forecast)

④ sktime（scikit-learn風の時系列API）

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from sktime.forecasting.exp_smoothing import ExponentialSmoothing as SktimeES
from sktime.forecasting.base import ForecastingHorizon
import numpy as np

forecaster = SktimeES(trend='add', seasonal='add', sp=12)
forecaster.fit(ts)
fh = ForecastingHorizon(np.arange(1, 13), is_relative=True)
y_pred = forecaster.predict(fh)
print(y_pred)

⑤ darts（深層学習も含む統一API）

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from darts import TimeSeries
from darts.models import ExponentialSmoothing as DartsES

series = TimeSeries.from_dataframe(df, time_col='年月', value_cols='消費支出_東京')
model = DartsES()
model.fit(series)
pred = model.predict(n=12, num_samples=500)  # サンプリングで予測区間
print(pred.quantile_timeseries(0.05), pred.quantile_timeseries(0.95))

⚠️ 指数平滑法の落とし穴 — 拡張版（実務で本当に困る5＋件）

1. 季節性を見逃した単純平滑：明確な周期性（月次・週次）があるデータに単純指数平滑（SES）を適用すると、 ピークとボトムを取り損ね、 予測誤差が体系的に偏る。 周期性があれば必ず Holt-Winters（ETS(A,N,A)や(M,N,M)）か SARIMA を使う。 自己相関プロット（ACF/PACF）で周期性を事前確認するのが鉄則。
2. α の手動設定による過剰追従/過剰平滑：α を過剰に大きく（0.9以上）すると平滑値がほぼ生データになり、 ノイズに追従しすぎて予測性能が悪化する。 逆に α を小さく（0.05以下）すると変化に反応が遅れ、 構造変化を捉えられない。 statsmodels の ExponentialSmoothing で optimized=True を使い、 最尤推定で自動決定するのが基本。
3. 欠損値・不規則間隔の扱い：指数平滑は 等間隔の時系列 を前提とする。 月次データで一部の月がない場合、 補完するか状態空間モデルでミッシングを扱う必要がある。 不規則間隔なら Kalman filter ベースの方法（pykalman、 statsmodels の UnobservedComponents）を検討。
4. トレンドの線形仮定：Holt's 法は線形トレンドを仮定するため、 長期予測では 無限に発散 してしまう。 現実の経済データは飽和や反転を含むため、 「減衰トレンド（damped trend、 φ<1）」を入れることで長期予測を現実的に保つ。 過剰な楽観/悲観予測を防ぐ。
5. 外挿（予測区間）の過信：点予測だけ報告して予測区間を示さないと、 予測の不確実性が伝わらない。 statsmodels の get_prediction で 95% 予測区間を計算し、 ファネルチャートで可視化する。 「予測値 ± 2σ」を提示する習慣を。
6. 構造変化への対応の遅れ：コロナ禍のような 体制変化（regime change） が起きると、 過去データの重みが大きい指数平滑は反応が遅れる。 構造変化点を検出（CUSUM、 Bayesian online change point detection）してモデルを再学習する仕組みが必要。
7. 加法 vs 乗法モデルの選択：季節振幅がレベルに比例して大きくなる場合（売上が大きい月ほど季節変動も大）は乗法モデル、 一定なら加法モデルを使う。 誤った選択は予測精度に致命的影響。 残差プロットで判断する。

⚠️ 指数平滑法を使う前に知っておくべき 7 つの落とし穴

1. α の自動最適化が α→1 に張り付く — トレンドがあるのに SES を使うと尤度最大化で α=0.99 になり「直近値そのままコピー」予測になる。 残差プロットを必ず確認し、 ランダムでなければ Holt 以上へ進む。
2. 初期値の選び方で 10-20% 性能が変わる — statsmodels の initialization_method='estimated' は MLE で初期水準・初期トレンドも推定するが、 短い時系列（n<15）では収束しないことがある。 'heuristic' や手動指定との比較が必須。
3. 季節周期 m の誤指定で完全に予測を外す — 年次 SSDSE で誤って m=12 と指定すると、 「12 年前」を参照する季節成分が立ち上がってしまう。 必ずデータの取得間隔と m を一致させる。
4. 外挿は短期向け、 長期は減衰必須 — Holt 線形を 20 期先まで外挿すると無限に発散する。 5 期以上先を予測したいなら必ず damped_trend=True に。 M4 コンペで 5 万シリーズ平均、 damped が 5-10% 優位。
5. 構造変化（レジームシフト）に対応できない — コロナ前後・震災前後など平均水準が突如変わると、 指数平滑は数期かけてゆっくり追随する。 変化点検出（ruptures）で時系列を分割するか、 介入変数を入れた状態空間モデルへ移行。
6. 欠損値処理が組み込まれていない — Excel の指数平滑は欠損をスキップするが、 statsmodels の Holt は NaN を許さない。 線形補間（df.interpolate()）や状態空間ベース推定（UnobservedComponents）に切替が必要。
7. 予測区間は誤差の正規性を仮定 — ETS の予測区間は誤差項が正規分布に従うことを仮定。 残差にヘビーテールがあると予測区間がアンダーカバー。 ブートストラップ予測区間（forecast::forecast(model, bootstrap=TRUE)）で代替。

🔁 ARIMA・状態空間・Prophet との関係 — 「等価性」と「使い分け」

指数平滑法は孤立した手法ではなく、 ARIMA・状態空間モデル・Prophet と数理的に**部分的等価**でつながっている。 これを知ると「どれを使うか」の判断が論理的になる。

📊 表: 指数平滑法と他手法の等価性

🐍 ETSModel 自動選択 — 30 通りから AICc 最小

このコードでやること: statsmodels.tsa.exponential_smoothing.ETSModel で error/trend/season の組み合わせを自動探索する R の ets() 相当を Python で再現。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（東京都の総人口、直近 10 年度）──
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.exponential_smoothing.ets import ETSModel

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
tokyo = df[df['Prefecture'] == '東京都'].sort_values('SSDSE-B-2026').tail(10)
y = tokyo['A1101'].values.astype(float)

configs = [(e, t, None, d)
           for e in ['add', 'mul']
           for t in [None, 'add']
           for d in [True, False] if not (t is None and d)]

results = []
for e, t, s, d in configs:
    try:
        m = ETSModel(y, error=e, trend=t, seasonal=s,
                     damped_trend=d if t else False).fit(disp=False)
        results.append((f"E={e} T={t} D={d}", m.aicc))
    except Exception:
        pass

for name, aicc in sorted(results, key=lambda x: x[1])[:5]:
    print(f"{name:30s} AICc = {aicc:.2f}")

📤 実行例:

💬 東京人口では **トレンドを持たない水準のみモデル（加法誤差, T=None）** が AICc 最小。 前節で SES/Holt の α→1・β→0 と縮退したのと同じ理由で、 n=10 と短い年次系列では「トレンドを明示的に持つ利点」を AICc が支持せず、 単純な水準モデルが選ばれる。 誤差項の add/mul 差はわずかで、 系列変動が小さいことを反映している。

🐍 Prophet との比較（年次データ）

このコードでやること: 同じ東京人口 10 年に Prophet を当て、 damped Holt と予測精度を比較する。

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# pip install prophet
from prophet import Prophet

prop_df = pd.DataFrame({'ds': pd.to_datetime(tokyo['年度'].astype(str)),
                        'y': tokyo['A1101'].values})
mp = Prophet(yearly_seasonality=False).fit(prop_df)
future = mp.make_future_dataframe(periods=1, freq='YS')
pred = mp.predict(future)
print(f"Prophet ŷ(2024) = {pred['yhat'].iloc[-1]:.1f}")
print(f"damped Holt ŷ(2024) = {damped.forecast(1)[0]:.1f}")

📤 実行例:

💬 差は数千人程度とわずか。 短い年次データでは Prophet の柔軟性は活きず、 計算コストの低い damped Holt がほぼ同等。 Prophet が有利になるのは「日次・週次で休日効果あり」のケース。

🌐 評価指標 — 時系列予測で何を測るか

🌐 評価指標 — 時系列予測で何を測るか

指数平滑モデルの選定では、 訓練データの SSE/尤度（in-sample 指標）と、 hold-out 期間の予測精度（out-of-sample 指標）を区別する。 後者で使う代表指標を整理する。

📐 主要指標の定義式

$$\text{MAE} = \frac{1}{h}\sum_{t=T+1}^{T+h} |y_t - \hat y_t|$$ $$\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{h}\sum_{t=T+1}^{T+h}(y_t - \hat y_t)^2}$$ $$\text{MAPE} = \frac{100}{h}\sum_{t=T+1}^{T+h}\left|\frac{y_t - \hat y_t}{y_t}\right|$$ $$\text{MASE} = \frac{\text{MAE}}{\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}|y_t - y_{t-1}|}$$

🔬 数式を言葉で読み解く — MASE が M4 で標準になった理由

分母は「naïve 予測（前期値そのまま）の訓練 MAE」。 これで割ると、 単位に依存せず、 シリーズ間で平均可能になる。 MAPE は y_t=0 で爆発、 RMSE は単位依存、 MAE はスケール依存。 これらの欠点を全て補ったのが MASE。 Hyndman (2006) が提案し、 M4・M5 コンペで採用されたことで事実上の標準に。

🐍 ローリング・オリジン・クロスバリデーション (Time Series CV)

このコードでやること: 東京人口 10 年を「初期 6 年で訓練、 1 年予測 → 7 年で訓練、 1 年予測…」と 1 期ずつスライドして 4 回 CV する。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（東京都の総人口 12 年分）──
import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.holtwinters import Holt

_d = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
_tokyo = _d[_d['Prefecture'] == '東京都'].sort_values('SSDSE-B-2026')
y = _tokyo['A1101'].values.astype(float)

def rolling_cv_mase(y, model_cls, h=1, min_train=6):
    errs, naive_errs = [], []
    for end in range(min_train, len(y) - h + 1):
        train, test = y[:end], y[end:end+h]
        try:
            # Holt.fit に disp 引数は無い（付けると毎回失敗して MASE が nan になる）
            m = model_cls(train, damped_trend=True,
                          initialization_method='estimated').fit(optimized=True)
            yhat = m.forecast(h)
            errs.extend(np.abs(test - yhat))
        except Exception as e:
            # 黙って飛ばすと errs が空になり MASE が nan になる。理由を出す。
            print('  当てはめ失敗:', end, type(e).__name__)
            continue
    if not errs:
        raise RuntimeError('1 回も予測できませんでした（系列が短すぎます）')
    naive_mae = np.mean(np.abs(np.diff(y)))
    print(f'評価に使った予測点の数 = {len(errs)}')
    return np.mean(errs) / naive_mae

mase = rolling_cv_mase(y, Holt)
print(f"damped Holt の rolling MASE = {mase:.3f}")
print(f"MASE < 1 → naïve より良い、 > 1 → 悪い")

📤 実行例:

💬 MASE=0.482 → 「前期値そのまま予測」より 52% 小さい誤差。 東京人口のような滑らかな時系列では damped Holt は強い。 一方、 ノイズの大きい県では MASE > 1 になりがちで、 そこは naïve に負けるシグナル。

🛠 実務 Tips — 「動くまで」「使い続けるまで」

教科書には載らない、 実務で指数平滑を使い続けるための運用知識を整理する。 SSDSE のような静的データではなく、 月次・週次のダッシュボード運用を想定。

📊 表: モデル再学習の頻度ガイドライン

🐍 オンライン更新の最小実装

このコードでやること: α 固定の SES を「観測が来るたび 1 行で更新」する関数。 IoT センサーや日次 KPI の即時予測に使える。

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（東京都の総人口、直近 10 年度）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
tokyo = df[df['Prefecture'] == '東京都'].sort_values('SSDSE-B-2026').tail(10)

class OnlineSES:
    def __init__(self, alpha=0.3, init_level=None):
        self.alpha = alpha
        self.level = init_level

    def update(self, y_new):
        if self.level is None:
            self.level = y_new
        else:
            self.level = self.alpha * y_new + (1 - self.alpha) * self.level
        return self.level  # 次の 1 期先予測

# 東京人口で逐次更新
ses_online = OnlineSES(alpha=0.5)
for year, val in zip(tokyo['SSDSE-B-2026'].values, tokyo['A1101'].values):
    pred = ses_online.update(val)
    print(f"{year}: 観測={val} → 次年予測={pred:.1f}")

📤 実行例（抜粋）:

💬 メモリ使用量 O(1)、 更新計算 O(1)。 1 億系列に並列適用しても問題ない軽量さ。 これが指数平滑が今でも産業界で愛される理由。

🔗 関連用語ネットワーク — 前提・並列・発展（各4個以上）

🔻 前提となる用語

• 平均（加重平均） — 指数平滑は過去データの加重平均の特殊形。
• 時系列データ — 順序を持つデータの基礎。 指数平滑が前提とする時間順序の概念を学ぶ。
• 移動平均 — 直近 k 個の単純平均で平滑化。 指数平滑は重みを指数減衰させた一般化版で連続性を確保。
• 自己相関（ACF） — 季節性・周期性の検出に使う。 Holt-Winters のどの成分（加法/乗法）を選ぶか判断する基礎。
• 定常性 — 時系列モデルの基本前提。 指数平滑は非定常データにも適用できる柔軟性が特徴で ARIMA との対比軸。

🔺 並列の用語

• 移動平均（MA） — 直近 k 個の単純平均で平滑化。 重み均等で過去を等価扱い。
• 加重移動平均（WMA） — 直近ほど重みを大きくした平均。 指数平滑との違いは「窓有限 vs 無限」。
• カーネル平滑化 — 連続的な重み関数（Gaussian 等）を使った平滑化。 散布図の局所トレンド可視化に多用。
• LOESS / LOWESS — 局所多項式回帰による平滑化。 トレンド検出に強いが計算量大。
• Savitzky-Golay フィルタ — 多項式当てはめによる平滑化。 信号処理（センサ・スペクトル）由来。

🔼 発展的な用語

• ARIMA / SARIMA — 自己回帰・移動平均モデル。 指数平滑と数学的に対応関係があり、 ETS の上位構造として位置づく。
• 状態空間モデル / カルマンフィルタ — 指数平滑の理論的一般化。 ETS は局所線形ガウス状態空間モデルの特殊形。
• Prophet — Meta 製。 トレンド・季節性・休日効果を組み込んだ柔軟モデル。 ビジネス時系列の標準ツール。
• LSTM / GRU — RNN 系の時系列予測。 長期依存も学習可能で、 ETS が苦手な非線形・複雑パターンを扱える。
• Transformer 時系列モデル — TFT、 Informer など最新手法。 attention で長期文脈を捉え、 多変量・多階層時系列に強い。

📚 統計学習の総合ガイド

📚 統計学習の総合ガイド

🎯 学習目標

このページの概念をマスターすることで、 以下のスキルが身につきます：

• 定義と公式を正確に理解
• 適切な使用場面を判断
• Python で実装し、 結果を可視化
• 仮定の確認と診断
• 結果の解釈と報告
• 限界と注意点の理解
• 関連手法との使い分け

📊 SSDSE-B-2026 データの構造

このコンペの主要データセット（SSDSE-B-2026）の構造：

• 47都道府県 × 過去複数年（パネル形式）
• 112列の社会経済指標
• 人口、 出生、 死亡、 婚姻、 経済、 教育、 環境、 家計など多次元
• 政府統計を統合した信頼性の高いデータ

🔍 主要な変数群

💡 ジャストインタイム型学習

このガイドは「必要なときに必要な知識」を提供する設計：

• 論文中の用語をクリック → 該当の用語解説へジャンプ（ポップアップ）
• 概念マップで関連用語を辿る
• 包含マップで体系を把握
• ツリーマップで全体を俯瞰
• Python コードをコピーして実行
• SSDSE データで実際に試す

🛠️ Python データサイエンス環境

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# ── この抜粋で使うデータを用意します（SSDSE-B の 47 都道府県・最新年度）──
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', header=1)
df = df[df['地域コード'].astype(str).str.match(r'^R\d{5}$', na=False)].copy()
df['年度'] = pd.to_numeric(df['年度'], errors='coerce')
df = df[df['年度'] == df['年度'].max()]
for _c in df.columns[3:]:
    df[_c] = pd.to_numeric(df[_c], errors='coerce')
df['高齢化率'] = df['65歳以上人口'] / df['総人口'] * 100

# 見本でよく使われる仮の列名を、実データから作っておく
df['income'] = df['消費支出（二人以上の世帯）']
df['population'] = df['総人口']
_region = {'北海道': '北海道', '青森県': '東北', '岩手県': '東北', '宮城県': '東北',
           '秋田県': '東北', '山形県': '東北', '福島県': '東北', '茨城県': '関東',
           '栃木県': '関東', '群馬県': '関東', '埼玉県': '関東', '千葉県': '関東',
           '東京都': '関東', '神奈川県': '関東'}
df['region'] = df['都道府県'].map(_region).fillna('その他')
df['地域'] = df['region']

# 必須ライブラリのインストール
# pip install pandas numpy scipy statsmodels scikit-learn matplotlib seaborn   ← これは端末で実行するもの（Python の文ではない）

# 標準的なインポート
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy import stats
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import r2_score, mean_squared_error

# 日本語表示の設定（matplotlib）
plt.rcParams['font.family'] = 'Hiragino Sans'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# データ読み込み（SSDSE は cp932 エンコーディング）
df['年'] = df['年度']
df['A1101'] = pd.to_numeric(df['総人口'], errors='coerce')
df['消費支出_東京'] = pd.to_numeric(df['消費支出（二人以上の世帯）'], errors='coerce')

print(df.shape)
print(df.head())
print(df.describe())

🌟 効果的なEDAテンプレート

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def quick_eda(df, target=None):
    """探索的データ分析の基本テンプレート"""
    print(f"Shape: {df.shape}")
    print(f"\nColumn types:\n{df.dtypes}")
    print(f"\nMissing values:\n{df.isnull().sum()}")
    print(f"\nBasic stats:\n{df.describe()}")

    # 数値列の可視化
    numeric_cols = df.select_dtypes(include=[np.number]).columns
    df[numeric_cols].hist(bins=20, figsize=(15, 10))
    plt.tight_layout()
    plt.show()

    # 相関ヒートマップ
    if len(numeric_cols) > 1:
        plt.figure(figsize=(12, 10))
        sns.heatmap(df[numeric_cols].corr(), annot=True, fmt='.2f',
                    cmap='RdBu_r', center=0)
        plt.show()

    # ターゲットがあれば散布図行列
    if target and target in df.columns:
        sns.pairplot(df[numeric_cols[:5]], hue=target if df[target].dtype == 'O' else None)
        plt.show()

📈 報告書テンプレート

分析結果を報告する際の標準的な構成：

1. 背景・目的：なぜこの分析が必要か
2. データ：出所、 サンプルサイズ、 期間
3. 方法：使用した統計手法、 仮定
4. 結果：図表、 統計量、 検定結果
5. 解釈：結果が何を意味するか
6. 限界：分析の制約
7. 結論：要点まとめ、 今後の課題

• 📘 時系列基礎: 時系列データ / ARIMA / 移動平均
• 📗 状態空間・カルマン: ベイズ推定 / 状態空間モデル / カルマンフィルタ
• 📕 予測評価: クロスバリデーション / MASE / Diebold-Mariano 検定
• 📙 関連書籍: Hyndman & Athanasopoulos "Forecasting: Principles and Practice" 3rd ed. (OTexts, 2021) ← 第 7-8 章が指数平滑、 ETS の決定版
• 📓 主要論文: Hyndman et al. (2008) "Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach"。 ETS の確率的基礎の数学。
• 📔 SSDSE 実習: 都道府県人口 10 年予測 / 月次家計調査の Holt-Winters / 観光客数の季節調整
• 📒 コンペ実績: M4 コンペ (2018) で damped Holt がベンチマーク、 M5 (2020) で hierarchical reconciliation との組合せが top 50 入り

📚 関連トピック一覧

「exponential-smoothing」と関連する基礎統計・データ分析の主要トピックを横断的に参照できる。 各リンクから対応する用語ページへジャンプして、 体系的な学習を進められる。

• 相関
• 回帰分析
• 平均
• 分散
• 標準偏差
• 中央値
• 正規分布
• 仮説検定
• p 値
• 信頼区間
• NumPy
• pandas
• ヒストグラム
• 箱ひげ図
• 散布図
• データクレンジング
• データ収集

🗺️ 指数平滑法の手法選択フローチャート

Q1: 時系列にトレンド (傾向) はあるか？

• トレンド無し (定常) → 単純指数平滑 (SES) α のみ
• 線形トレンド有り → Holt 線形トレンド法 α, β
• 減衰トレンド → Damped Holt 法 α, β, φ (長期予測の発散を防止)
• 非線形トレンド → ARIMA や ETS の damping を検討、 または対数変換

Q2: 季節性 (周期パターン) はあるか？

• 季節性なし → SES / Holt
• 加法的季節性 (振幅一定) → Holt-Winters Additive ETS(A,A,A)
• 乗法的季節性 (振幅が水準に比例) → Holt-Winters Multiplicative ETS(A,A,M)
• 複数季節性 (日次+週次+年次) → TBATS、 STL+ETS、 Prophet

Q3: 系列長 (サンプル数) は？

• n < 2 周期: 季節分解不能 → SES または手動補正
• 2 ≤ n < 4 周期: Holt-Winters は不安定 → ETS+CV で慎重に
• n ≥ 4 周期: Holt-Winters / ETS 適用可
• n ≥ 100: ARIMA・状態空間・LSTM 等と比較推奨

Q4: 何を最適化したいか？

• 短期予測 (1〜3 期先): SES / Holt が ARIMA に匹敵
• 中期予測 (季節 1 周期分): Holt-Winters / ETS
• 長期予測 (10 期超): Damped Holt または構造時系列モデル
• 区間予測 (CI): state space ETS (statsmodels) で正規分布前提 CI を計算
• 外因変数あり: SARIMAX / ETSX または XGBoost 系

📏 効果量の参照表

p値だけでなく効果量も併記するのが現代統計の標準。 主要な指標と Cohen の解釈基準：

🚀 実務応用の深掘り

典型的なプロジェクトの流れ

1. 問題理解：ステークホルダーとの対話、 KGI/KPI 設定
2. データ収集：内部DB、 公的データ（SSDSE等）、 API
3. EDA：データの全体像把握、 異常検出
4. 仮説立案：ドメイン知識からの仮説
5. モデリング：シンプルから複雑へ段階的に
6. 検証：CV、 ホールドアウト、 A/Bテスト
7. 解釈：可視化、 SHAP、 部分依存プロット
8. 展開：本番デプロイ、 監視

ベストプラクティス

• シンプルなモデルから始める（線形回帰、 単純ルール）
• 必ずベースラインと比較
• 過学習を防ぐ（CV、 正則化、 早期停止）
• 解釈可能性を重視
• 再現可能なコード・ノートブック
• バージョン管理（Git）と環境管理（venv, conda）
• ドキュメント化を怠らない

論文・コンペでよく使う言い回し

統計データ活用コンペでのコツ

• SSDSE データの構造を理解し、 適切なテーブルを選ぶ
• 地域別・年度別の比較で時空間的視点を入れる
• 1つの分析で多角的に切り口を変える
• 仮説と発見の両方を持つ
• ストーリーラインを明確に
• 図表を1枚1枚作り込む
• 政策提言や実務的意義に繋げる

🗺️ 概念マップ — 3つの視点で体系を理解する

指数平滑法 がデータサイエンスの体系の中でどこに位置するかを、 3つの異なる視点で可視化します。 同じ情報でも見方を変えると気付きが変わります。

📍 体系階層のパス

🌐 統計・データサイエンス › 時系列 › 予測 › 指数平滑法（直近の値ほど重く見る平滑化）

① 🔗 関係マップ — 「他の手法とどう繋がっているか」

中心に 指数平滑法 を置き、 そこから 時系列分析・ARIMA・VAR 計 3 個の用語へ、 前提・兄弟・発展形といった関係を矢印で結んでいます。 線がどちら向きかを見れば、 先に読むべき用語とあとから読む用語が分かります。 ノードはドラッグで動かせ、 ホイールでズーム、 クリックでその用語のページへ遷移します。

② ⭕ 包含マップ — 「どのカテゴリに含まれているか」

大きな円が小さな円を包含する Circle Packing 図。 「指数平滑法」は緑色でハイライト。

• カテゴリ円をクリック：その内部にズームイン
• 白背景クリック：1階層戻る
• 用語円をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パス表示

③ 🌳 ツリーマップ — 「面積で見るボリューム比較」

長方形を入れ子に分割した Treemap 図。 各分野の規模感を面積で比較。 「指数平滑法」は緑色でハイライト。

• カテゴリ矩形をクリック：その内部にドリルダウン
• パンくず（上のリンク）クリック：その階層に戻る
• 用語矩形をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パスと値を表示

🎯 3つのマップの使い分け

💡 3 つの図は同じ位置関係を別の角度から描いています。 関係マップは 指数平滑法 の隣に何が並ぶかを、 包含マップとツリーマップは 統計・データサイエンス → 予測 → 指数平滑法 という入れ子の位置を示します。 「予測には他に何があったか」を思い出したいときは包含マップを、 「次に何を読むか」を決めたいときは関係マップを開いてください。

🔗 隣接手法への橋渡し

「指数平滑法」は単独で完結せず、 隣接する手法と接続することで分析パイプラインの一部として機能する。 以下に具体的な接続関係を示す。

• 上流（入力側で必要となる前処理・前提）: 時系列データ・移動平均・定常性チェック
• 並列（同じ目的を持つ代替・競合手法）: ARIMA・Holt-Winters 法 (Holt 1957, Winters 1960)・状態空間モデル・Prophet (Taylor & Letham 2018)
• 下流（指数平滑法 の結果を活用する後続手法）: 予測値生成・RMSE / MAPE 評価・予測区間 (Hyndman & Athanasopoulos 2021)

指数平滑法は (1) 時系列プロット + ACF/PACF で構造把握 → (2) trend/seasonality 成分の有無で SES / Holt / Holt-Winters / ETS を選択 → (3) AICc 最小化で α/β/γ パラメータ推定 → (4) ローリングウィンドウ CV で out-of-sample 評価、 という ETS フレームワーク (Hyndman et al. 2008) に整理される。 月次データなら m=12、 週次なら m=7 の季節周期を明示する。

🌳 手法選択フロー

「exponential smoothing」を含む手法選択は、 データの性質・分析目的・運用制約の 3 軸で決まる。 以下に典型シナリオと対応する手法の組合せを示す。

典型シナリオ別の手法選択

選んだ後の検証ステップ

1. 前処理確認: 標準化 / 欠損処理 / カテゴリ変数のエンコード が適切か
2. ハイパラ調整: 交差検証で安定する値を選ぶ
3. 性能評価: タスクに応じた指標 (RMSE / Accuracy / F1 / AUC / シルエット等) を複数併用
4. 頑健性チェック: 別手法 / 別シードで結果が大きく違わないか確認
5. 解釈: 結果を分野知識と照らし合わせ、 意味のある発見になっているか検討

🎮 触って理解する

ノイズを含む時系列に対して、 単純指数平滑 $S_t = \alpha\,y_t + (1-\alpha)\,S_{t-1}$ を「その場で」計算します。 下のスライダーで平滑化係数 α を動かすと、 赤い平滑化系列と、 過去の観測に掛かる重みの指数減衰がリアルタイムに変化します。 灰色の点はドラッグで編集できます（スマホはタップしてなぞる）。 α を大きくすると直近を重視して反応的に、 小さくすると滑らかだが遅れて追従する—— この 追従性とノイズ除去のトレードオフ を体感してください。

💡 直感：指数的に減衰する加重平均

漸化式を展開すると $S_t = \alpha\sum_{k=0}^{t-1}(1-\alpha)^k\,y_{t-k} + (1-\alpha)^t S_0$ となり、 過去の観測すべての加重平均で、 その重みが $(1-\alpha)^k$ で指数減衰することが分かります。 上の棒グラフはまさにこの $w_k=\alpha(1-\alpha)^k$。 α=0.3 なら 5 期前の重みは元の $0.7^5\approx17\%$、 10 期前は約 3%。 「データの平均遅れ」は $(1-\alpha)/\alpha$ 期で、 α=0.3 なら約 2.3 期分だけ過去に重心が寄った平均を見ていることになります。

🚧 よくある落とし穴

• α の選び方に唯一解はない：α 大＝反応的だがノイズをそのまま拾う、 α 小＝滑らかだが変化への追従が遅れる。 スライダーを両端まで動かすと、 α→1 で赤線が観測に張り付き（＝1期前の値をそのまま予測する naïve 予測）、 α→0 でほぼ水平線（初期値に固定）になるのが見えます。 実務では SSE / AICc 最小化で最適 α を推定します。
• トレンドを扱えない：単純指数平滑は「水準」しか追跡しません。 データを右肩上がりにドラッグしてみると、 赤線が常に観測の下側に遅れて付いていき、 系統的にトレンドを取り損ねます（本ページ上部の東京都人口の例と同じ現象）。
• 季節性を扱えない：周期的な山谷があっても、 単純指数平滑は位相遅れを起こしながら均してしまい、 周期構造を再現できません。
• 初期値依存：ここでは $S_0=y_0$ としています。 系列が短いと初期値の取り方で序盤の平滑値が変わる点に注意。

🚀 発展：Holt 法・Holt-Winters 法

トレンドの取り損ねは、 水準 $\ell_t$ に加えて傾き $b_t$ を第2の指数平滑（係数 β）で追跡する Holt 線形トレンド法で解決します：$\ell_t=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1})$、 $b_t=\beta(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta)b_{t-1}$。 さらに季節成分 $s_t$（係数 γ）を第3の平滑で足したのが Holt-Winters 法（加法/乗法）で、 トレンド＋季節を同時に扱えます。 長期予測が線形に発散するのを抑える減衰トレンド（φ）や、 これらを統一的に扱う状態空間 ETS も同じ「指数加重」の発想の延長線上にあります。

関連ページ：時系列データ・自己相関・定常性・ARIMA・ノイズ。 （Holt 法・Holt-Winters 法・ETS は本ページ上部「Python実装パターン」「手法選択フロー」で詳説しています。）

🔍 解説を深める — α を「窓幅」と「遅れ」に翻訳する

本ページの上部では「α は直近をどれだけ重視するかのダイヤル」と学んだ。 このセクションでは一歩進めて、 α を 移動平均の窓幅・重心の遅れ・半減期 という 3 つの実務的な物差しに翻訳し、 さらに「トレンドがあるとき SES がどれだけ系統的に遅れるか」を 公式と SSDSE-B-2026 の実測値の突き合わせ で確認する。 上の対話ウィジェットで体感した「遅れ」を、 ここでは数式と実データで定量化する。

💡 直感 — α の 3 つの言い換え

「α=0.3 は結局、 何期分の平均なのか？」という問いには、 次の 3 つの換算式で答えられる。

• 等価な移動平均の窓幅（span）： $\text{span} = 2/\alpha - 1$。 単純移動平均と「データの平均年齢」が一致する窓幅。 pandas の ewm(span=...) はこの逆算で α を決めている。
• 重心の遅れ（平均年齢）： $(1-\alpha)/\alpha$ 期。 平滑値が「何期前のデータを中心に見ているか」。
• 半減期（half-life）： $\log 0.5 / \log(1-\alpha)$ 期。 ある観測の影響が半分に薄まるまでの期数。 ewm(halflife=...) で直接指定できる。

つまり「α=0.3 の SES」は「窓幅約 6 期の移動平均に近い滑らかさで、 常に約 2.3 期ぶん過去に重心を置いた平均」と読める。 年次の SSDSE データ（1 期=1 年）なら、 α=0.3 は「2 年ちょっと前の姿を見ている」ことになる。 この換算感覚があると、 自動推定された α を見た瞬間に「このモデルはどれくらい過去を引きずるか」を報告書の言葉に翻訳できる。

⚠️ 落とし穴（重要） — トレンド下の SES は「一定量」遅れ続ける

上部の落とし穴では「トレンドがあると SES は遅れる」と定性的に述べた。 実は遅れの大きさは公式で予測できる。 系列が毎期 $b$ ずつ増える線形トレンドを持つとき、 SES の平滑値は定常状態で $$y_t - S_t \;\to\; b\cdot\frac{1-\alpha}{\alpha}$$ だけ 一定量、 恒常的に 実測を下回る（重心の遅れ (1−α)/α 期 × 毎期の増分 b）。 これを東京都の総人口 A1101（SSDSE-B-2026、 2012-2023 年、 単位: 人）で実測検証する。 2012→2019 年の平均増分は $b \approx$ +110,429 人/年。 α=0.3 なら理論遅れは $110{,}429 \times 0.7/0.3 \approx$ 257,667 人 と予測される。 実際に α=0.3 固定・$S_0=y_{2012}$ で漸化式を回すと：

💬 増加が安定していた 2019 年時点の遅れ 251,921 人 は理論値 257,667 人とほぼ一致し、 「SES はトレンド × 重心遅れのぶん必ず下振れする」ことが実データで確認できる。 一方 2020 年以降はコロナ禍で増加が鈍化したため（2021 年は −37,594 人と減少）、 2023 年の遅れは 104,658 人まで縮んだ。 遅れはトレンドに比例するので、 トレンドが消えれば SES は追いつく——逆に言えば、 トレンドが続く限り α をどれだけ調整しても SES の遅れはゼロにならない（α→1 にすると遅れは消えるが今度はただの naïve 予測になる）。 これが「トレンドには Holt 法」の定量的な根拠である。

もう 1 つ、 pandas 利用時の見落としやすい罠が ewm() の adjust 引数。 教科書の SES 漸化式 $S_t = \alpha y_t + (1-\alpha)S_{t-1}$ に一致するのは adjust=False の方で、 既定値の adjust=True は「有限個の重みを総和 1 に正規化した加重平均」を返すため、 系列の序盤で値がずれる。 同じ東京都系列（α=0.3）で比較すると、 2 年目（2013 年）の平滑値は adjust=False で 13,255,900 人、 adjust=True で 13,276,941 人と 約 21,041 人 食い違う（系列が長くなるほど差は縮み、 2023 年時点では約 10,489 人差）。 statsmodels の SES と pandas の ewm を突き合わせて「値が合わない」と混乱する典型原因なので、 検算には必ず adjust=False を指定する。

🚀 発展 — 1 行 EWMA から分野横断の「兄弟」へ

SES の計算エンジンは statsmodels だけではない。 平滑値そのものが欲しいだけなら s.ewm(alpha=0.3, adjust=False).mean() の 1 行で漸化式と同じ結果が得られ、 span=（等価窓幅）や halflife=（半減期）でも指定できる——上の換算表はそのまま引数の読み替え表になる。 47 都道府県 × 100 超列を一括平滑するなら groupby('Prefecture').transform(lambda s: s.ewm(alpha=0.3, adjust=False).mean()) のように groupby と組み合わせるのが高速で、 モデル推定（α の最尤推定・予測区間）が必要になった段階で statsmodels に切り替えるのが実務的な住み分けである。

さらに視野を広げると、 「指数加重」という同じ数学が分野ごとに別の名前で使われている。 品質管理では EWMA 管理図（小さな工程シフトの検出に強い）、 金融では RiskMetrics 型の EWMA ボラティリティ推定（日次で λ=0.94、 すなわち α=0.06 が慣用値）、 深層学習では Adam や RMSProp の勾配・2 乗勾配の指数移動平均、 強化学習では TD 学習の学習率がまさに α の役割を果たす。 「直近を重く、 過去を指数的に忘れる」という 1 つの原理を軸に、 予測（本ページ）・監視（管理図）・推定（ボラティリティ）・最適化（Adam）を横断して眺めると、 指数平滑法は時系列予測の一手法ではなく 逐次更新アルゴリズムの共通言語 だと分かる。 理論面では、 SES が ARIMA(0,1,1) と等価（上部の等価性の表）であることから、 この「忘却しながらの平均」はランダムウォーク＋観測ノイズという局所水準モデルの最適フィルタ（カルマンフィルタの定常解）でもある。

🔗 関連ページ

• 時系列データ — 等間隔・順序という SES の前提そのもの
• 自己相関（ACF） — 「SES で十分か、 季節モデルが要るか」を残差の ACF で判定
• 定常性 — トレンド下の恒常遅れは「非定常系列に水準モデルを当てた」帰結
• ARIMA — SES=ARIMA(0,1,1) の等価性から入ると Box-Jenkins 流も怖くない
• RMSE / AIC — α 固定と自動推定の優劣を測る物差し
• 平均 — 指数平滑は「重み付き平均」の極限形
• ノイズ — 平滑化が消すべきもの・消してはいけないものの区別
• 移動平均（SMA/WMA）・EWMA 管理図・Prophet — 本サイトに独立ページは無いが、 上の換算表と発展の段落で位置づけを解説済み