🔖 キーワード索引

MAD (Median Absolute Deviation、 中央絶対偏差) は外れ値に頑健な散布度指標。 標準偏差が外れ値 1 つで容易に揺らぐのに対し、 MAD は中央値ベースなので 50% 近くのデータが外れ値でも安定する。 SSDSE-B-2026 の都道府県人口のように分布が右に強く歪む場面で標準偏差と MAD を併記すると、 「分布の本当の散らばり」が見える。

これらは「MAD の計算 → 標準偏差との比較 → 外れ値検出への応用」 を構成する中核キーワード。

🎨 直感で掴む — 「ズレの中央値」

標準偏差は「平均からのズレの二乗」を平均して、 最後に平方根を取ります。 MAD はその「平均」を 「中央値」 に、 「二乗」を 「絶対値」 に置き換えただけ。

「平均」「二乗」「平均」と計 3 回外れ値の影響を受けるのが標準偏差。 「中央値」「絶対値」「中央値」と3 回とも頑健なのが MAD。 これが MAD の強さの源泉です。

SSDSE-B でのイメージ

47 都道府県の総人口（A1101, 2023 年度）を考えます。 多くの県が 50〜300 万人の範囲に集まる中で、 東京都は 1400 万人を超える「超外れ値」。 標準偏差は東京都 1 県の存在で大きく膨らみますが、 MAD は東京都がどれだけ大きかろうと中央値からの順位でしか効かないので影響を受けません。

🎨 概念図で押さえる

MAD（中央絶対偏差）の本質を 3 つの図で押さえる。 左から「分布上の MAD と SD の差」「外れ値耐性の比較」「正規化定数 1.4826 の役割」。

💬 ①は MAD が「中央値からのズレ」の代表値、 ②は SD と比較して MAD が外れ値に頑健、 ③は正規分布なら 1.4826 倍で SD と単位を合わせられることを示す。

🎨 概念図でもう一段押さえる MAD の本質

MAD を 3 枚で総まとめ。 ① MAD と SD の計算過程の対比、 ② 外れ値 1 件の効果 (SD は跳ねるが MAD は動かない)、 ③ ブレークダウン点 50% の意味。

💬 ①計算過程が「絶対値→中央値」なので二乗が無い、 ②外れ値 1 件で SD は爆発するが MAD は動かない、 ③ブレークダウン点 50% は推定量の最高クラス頑健性 — この 3 つで MAD の本質が掴める。

📝 理解度チェック・典型ワークフロー・事例 — MAD

中央絶対偏差（MAD）について、 理解度を確認する練習問題、 実務での典型ワークフロー、 SSDSE-B-2026 を用いた事例を順に整理する。 これらを自分で実装すれば「なぜ頑健統計が必要か」が体得できる。

📝 理解度チェック

1. 練習問題 1: MAD と SD の違いを「外れ値感受性」「効率性」「数式的扱いやすさ」の 3 観点で説明せよ。
2. 練習問題 2: 正規分布の MAD を 1.4826 倍すると SD の不偏推定値になる理由を、 標準正規分布の中央絶対偏差が約 0.6745 になる事実から導け。
3. 練習問題 3: SSDSE-B-2026 の都道府県人口（東京都が極端な外れ値）について、 SD と MAD×1.4826 がどれくらいズレるかを計算し、 ズレの理由を説明せよ。
4. 練習問題 4: 外れ値判定で「median ± 3×MAD」を使うとき、 SD ベースの「mean ± 3σ」と比較してどちらの境界が外側にあるかを、 外れ値が存在するデータで検証せよ。
5. 練習問題 5: MAD が 0 になるデータ例を具体的に作り、 その場合の対処（IQR、 エントロピー、 標本分散の併用）を述べよ。

🛠 典型ワークフロー

実務で MAD を散布度や外れ値判定に使うときの標準的な手順は以下の通り。

1. 分布形状の確認: まずヒストグラム・箱ひげ図でデータの分布を視覚化する。 多峰分布・極端な歪みがあれば中央値の代表性を再考。
2. 中央値とパーセンタイルの計算: 中央値・第 1 四分位・第 3 四分位を算出し、 IQR も併記する。
3. MAD の計算: $\mathrm{MAD} = \mathrm{median}(|x_i - \mathrm{median}(x)|)$ を計算。 Python なら scipy.stats.median_abs_deviation。
4. SD との比較: 正規仮定下での比較なら MAD×1.4826 を使う。 SD との差が大きいほど外れ値の影響が大きい。
5. 外れ値の特定: $|x_i - \mathrm{median}|/\mathrm{MAD} > 3$ となる点を「ロバスト外れ値」として抽出。 SD ベースとの違いを確認。
6. 感度分析: 外れ値を除外した場合と除外しない場合で結論が変わるか確認。 変わる場合は「両方の結果を併記」が原則。
7. 結論報告: 中央値 ± MAD、 平均値 ± SD、 IQR の 3 セットを並記し、 「どの散布度を見ているか」を明示する。

📊 事例: SSDSE-B-2026 都道府県人口の散布度

SSDSE-B-2026 の都道府県人口データ（N=47）は、 東京都（約 1409 万人）と鳥取県（約 54 万人）の間に 25 倍以上の差がある。 このデータで散布度を測ると以下のような違いが生じる。

SD（約 280 万）と MAD×1.4826（約 92 万）の差が 3 倍ある — これは「外れ値が SD を大きく膨らませている」明確なサイン。 都道府県データのように一部の極端値（東京都・神奈川県・大阪府）が分布を歪めるケースでは、 MAD ベースの散布度の方が「典型的な都道府県のばらつき」を素直に表現する。

📌 適用シーン別の使い分け

• 金融データ（株価リターン）: 極端値が頻発するため MAD ベースのリスク指標が好まれる。 LAV（Least Absolute Value）回帰や中央値回帰と組み合わせる。
• センサーデータ・ログデータ: ノイズや異常値が混入しやすいので MAD で「正常な範囲」を定義し、 medfilt（中央値フィルタ）で平滑化する。
• 医療・臨床データ: 重症例や薬剤副作用で外れ値が混じるため、 MAD/IQR で散布度を評価し、 平均値の議論は中央値で代替することが多い。
• 所得・資産データ: ロングテール分布で平均値は意味を持たないことが多く、 中央値 ± MAD で「典型的な所得層の幅」を示すのが標準。
• SSDSE-B-2026 のような行政統計: 都道府県差・市町村差が大きいため、 散布度を SD と MAD の両方で報告するのが透明性のある実務。

💬 MAD は「外れ値が混じった現実のデータ」で散布度を測るための実用的な道具。 純粋な正規分布なら SD で良いが、 現実のデータは多くの場合純粋ではない。 SD だけで散布度を語ると、 一部の極端値に判断を支配される。 MAD・IQR を併用すると、 データの真の姿が立体的に見えてくる。

📐 数式 — MAD の定義

$n$ 個の観測 $x_1, x_2, \dots, x_n$ に対して：

標準偏差との一致性補正

$x$ が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、 MAD と $\sigma$ の関係：

つまり「正規分布なら MAD を 1.4826 倍すれば $\sigma$ になる」。 多くのライブラリで、 MAD 計算時にこの係数を掛けてくれます。 これを正規化 MAD（NMAD）と呼ぶことも。

MAD 標準化（Modified z-score）

📐 MAD の理論的性質

正規分布での性質

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ のとき、 $|X - \mu|$ は半正規分布（folded normal）に従い、 その中央値は $\sigma \Phi^{-1}(0.75) = 0.6745\sigma$。 これが「$\mathrm{MAD} \to 0.6745 \sigma$ in probability」の根拠です。

漸近分散

$$\sqrt{n}(\hat{\mathrm{MAD}} - 0.6745\sigma) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \sigma^2 V)$$

ここで $V \approx 0.367$（正規時）。 つまり SD の漸近分散 $\sigma^2/2$ と比較して、 MAD の効率は $0.5 / 0.367 \times 0.6745^2 \approx 0.37 = 37\%$ になります。

破壊点

MAD の破壊点は 50%。 つまりデータの 50% を任意の値に変えても MAD は有界。 これは中央値の破壊点と一致します。

影響関数

$$\mathrm{IF}(x; \mathrm{MAD}, F) = \frac{\mathrm{sign}(|x - \mu| - \mathrm{MAD})}{4f(\mu + \mathrm{MAD})}$$

影響関数は有界で階段状。 「外れ値の影響は中央値の半分」というロバスト性を持ちます。

離散データでの修正

整数値データでは MAD = 0 が頻発します。 対策として：

• jitter 追加：$x_i + \epsilon_i$ ($\epsilon$ は小さなノイズ)
• Sn 推定量：$1.1926 \cdot \mathrm{median}_i(\mathrm{median}_j|x_i - x_j|)$ で代替
• IQR 切替：$\mathrm{MAD} = 0$ なら $\mathrm{IQR}/1.349$ を使う

📖 もっと深掘り — MAD の知的系譜（拡張版）

Median Absolute Deviation（MAD）は「最も古く、 最もシンプルなロバスト散布度」と言える指標です。 ガウスが Theoria Motus Corporum Coelestium (1809) で最小二乗法を確立した時から、 既に「外れ値を扱うべき特異点」という問題は天文学者の間で意識されていました。 MAD は標準偏差のロバスト版兄弟として 20 世紀の統計学の重要な発見の 1 つです。

📅 詳細年表

🤔 なぜ 1.4826 という数字なのか — 詳細導出

正規分布 $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$ で MAD を計算すると、 $|X - \mu|$ の中央値は $\sigma \cdot \Phi^{-1}(0.75)$ になります。 ここで $\Phi^{-1}(0.75) \approx 0.6745$ は標準正規分布の 75% 分位点。 つまり MAD $\approx 0.6745 \sigma$ なので、 $\sigma$ を回復するには:

$$\hat{\sigma} = \frac{\mathrm{MAD}}{0.6745} = 1.4826 \cdot \mathrm{MAD}$$

この $1.4826 = 1/\Phi^{-1}(0.75)$ は「MAD を SD と桁を合わせる定数」。 scipy の scale='normal' オプションで自動付与されます。 別の分布（指数分布、 t 分布、 etc.）では別の定数が必要なので、 MAD の値だけ報告するのは危険。 「MAD（正規分布調整後）」と明記する文化を推奨します。

💼 産業ユースケース・深掘り 10 選

❓ 追加 FAQ — MAD で迷う 12 問

✅ MAD 実装チェックリスト 12 項目

📐 数学的詳細 — MAD の漸近理論

MAD の理論は影響関数を介して理解できます。 任意の絶対連続分布 $F$、 中位数 $\mu$、 密度 $f$ について:

$$\mathrm{MAD}(F) = F^{-1}(0.75) - F^{-1}(0.25) \text{ の半分（中央値ベース）}$$

影響関数は:

$$\mathrm{IF}(x; \mathrm{MAD}, F) = \frac{\mathrm{sign}(|x - \mu| - \mathrm{MAD}(F))}{4 f(\mu + \mathrm{MAD}(F))}$$

これは有界で、 $|x| \to \infty$ で一定値に飽和します。 つまり「巨大な外れ値が 1 つ入っても MAD は有界量しか動かない」――これが破壊点 50% の数学的裏付けです。

📊 効率（ARE）の詳細表

教科書的に「MAD の効率は 37%」と言われますが、 これは「全データが正規分布」という非現実的な仮定の下での話です。 実データで外れ値が混じっていれば SD は崩壊するので、 「実効的な効率」は MAD の方が圧倒的に高い、 というのが現代統計のコンセンサスです。

🔬 数式を「言葉」で読み解く

中央値 → 絶対値 → 中央値、 と三段階すべてが頑健な計算なので、 MAD は外れ値に対して極めて強いのです。

🔬 シミュレーション：標準偏差 vs MAD の頑健性

「外れ値の比率を変えたとき、 標準偏差と MAD がどう動くか」をシミュレーションで確認します。

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import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import median_abs_deviation
import matplotlib.pyplot as plt

# SSDSE-B-2026 → 2023 年度・47 都道府県の総人口（A1101）を base に
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]          # 先頭列 'SSDSE-B-2026' が年度
base = df['A1101'].to_numpy(dtype=float)

contam_rates = np.arange(0, 26, 1)  # 0〜25 県（最大 53%）を汚染
sd_list, mad_list = [], []

for k in contam_rates:
    arr = base.copy()
    # 小さい順に k 県を「巨大な外れ値」に置換
    idx = np.argsort(arr)[:k]
    arr[idx] = base.max() * 100
    sd_list.append(arr.std(ddof=1))
    mad_list.append(median_abs_deviation(arr, scale='normal'))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5))
ax.plot(contam_rates, sd_list, 'r-o', label='SD')
ax.plot(contam_rates, mad_list, 'g-s', label='MAD (×1.4826)')
ax.set_xlabel('# contaminated prefectures')
ax.set_ylabel('Spread estimate (persons)')
ax.legend()
ax.set_title('Robustness of SD vs MAD under contamination')
plt.tight_layout(); plt.show()

予想される結果

• SD：汚染 1 県でも桁違いに変化（280 万→約 2 億）。 二乗で 1 個の巨大値に支配される。
• MAD：23 県（49%）まで汚染しても SD より桁違いに小さいまま有界。 24 県（51%）汚染で初めて中央値が外れ値に飲まれ 0 へ崩壊する（これが「破壊点 50%」の実証）。

これが「MAD は最大 50% の汚染に耐える」の数値的証明。 実データでこの実験を行うことで、 ロバスト統計の威力を体感できます。

📜 MAD の歴史的背景

• 1816 年：Gaussが「平均絶対偏差」を提案。 ただし当時は標準偏差（後の発明）と平均絶対偏差が混在。
• 1948 年：Hampelが「中央絶対偏差（MAD）」を整理。 ロバスト統計の前史。
• 1964 年：Huberが「ロバスト統計」を体系化。 MAD は M 推定の初期値・スケール推定として標準化。
• 1981 年：Hampel, Ronchetti, Rousseeuw, Stahelの教科書 Robust Statistics: The Approach Based on Influence Functions。 MAD の理論的位置づけが確立。
• 1993 年：Iglewicz & Hoaglinが Modified z-score を提案。 「$|M_i| > 3.5$ で外れ値」が標準的判定基準に。
• 1993 年：Rousseeuw & Crouxが Sn・Qn 推定量を提案。 MAD より効率の高いロバストスケール推定量。
• 2000 年以降：機械学習・データクリーニングの文脈で MAD が再評価。 大規模データのリアルタイム異常検知でも標準ツール。

🆚 MAD の競合：他の頑健スケール推定量

「外れ値に強いばらつき指標」は MAD だけではありません。 主要な競合を一覧します：

使い分けの指針

• MAD：教育・記述・素早い計算。 デフォルト選択。
• Sn, Qn：効率が必要で、 ペアワイズ計算（$O(n^2)$）を許容できるとき。
• Trimmed SD：「外れ値の比率が事前に分かっている」ケース。
• τ-推定量：研究レベルで効率最大化が必要なとき。 統計学の研究分野でよく使う。

SSDSE-B のような小規模データ（$n = 47$）では、 計算コストの差はほぼないため Sn / Qn を使うのもおすすめ。 ただし解釈の単純さでは MAD が圧勝。

🔬 シミュレーション — SD vs MAD の頑健性

MAD のシミュレーション実験：

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import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

# SSDSE-B 風の合成（教育目的）— 実際は SSDSE-B を直接使う
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
data = df[df.iloc[:, 0] == 2023]['A1101'].to_numpy(dtype=float)  # 総人口

# 1) 元データの SD / MAD
sd_orig = data.std(ddof=1)
mad_orig = 1.4826 * stats.median_abs_deviation(data)
print(f'元: SD={sd_orig:,.0f}, MAD={mad_orig:,.0f}')

# 2) 1 値を 10 倍にして外れ値を作る
data2 = data.copy()
data2[0] = data[0] * 10
sd2 = data2.std(ddof=1)
mad2 = 1.4826 * stats.median_abs_deviation(data2)
print(f'汚染: SD={sd2:,.0f} ({sd2/sd_orig:.1f}倍), MAD={mad2:,.0f} ({mad2/mad_orig:.1f}倍)')

典型結果：1 個の外れ値で SD は 2-3 倍に膨張、 MAD はほぼ不変。 これが MAD のロバスト性の実証です。

🔬 MAD の理論的背景 — なぜ 1.4826 なのか

MAD の実務利用で頻繁に登場する係数「1.4826」は、 正規分布の理論から導かれる。 この理論的背景を理解しておくと、 MAD と SD の換算がブラックボックスでなくなり、 他の頑健統計量への応用も見通しが良くなる。

📐 標準正規分布の中央絶対偏差

標準正規分布 $N(0,1)$ から無作為に得たデータ $Z$ について、 中央絶対偏差は $\mathrm{median}(|Z|) = \Phi^{-1}(0.75) \approx 0.6745$。 これは「分布の中央 50% が ±0.6745 の範囲に入る」という事実から導かれる（標準正規の第 3 四分位点）。

一般の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の場合、 MAD = $\sigma \times 0.6745$ となる。 これを逆に解くと $\sigma = \mathrm{MAD} / 0.6745 = \mathrm{MAD} \times 1.4826$ となり、 「MAD に 1.4826 を掛けると正規分布での SD（の漸近的不偏推定値）になる」という関係が得られる。

📐 漸近相対効率（ARE）の意味

MAD の SD に対する漸近相対効率は約 37%。 これは「同じ精度で散布度を推定するのに、 MAD では SD の約 2.7 倍のサンプルが必要」という意味。 効率性で劣るが、 外れ値耐性の高さがこれを補う。 純粋な正規分布データなら SD を使うべきだが、 外れ値が混じる実データでは MAD の方が真の散布度に近い推定値を出すことが多い。

📐 ブレークダウンポイント

頑健統計の重要な概念である「ブレークダウンポイント」は、 「推定量を破綻させるのに必要な外れ値の最小割合」を表す。 SD のブレークダウンポイントは 0%（1 つの極端値で破綻する）、 中央値・MAD は 50%（半数の極端値まで耐える）。 この理論的な強さが、 MAD を「最も頑健な散布度指標の 1 つ」にしている。

📐 他の頑健散布度との関係

• S_n 推定量: Rousseeuw & Croux (1993) の推定量。 ARE は約 58% で MAD より効率的だが計算複雑。
• Q_n 推定量: 同じく Rousseeuw & Croux の推定量。 ARE 約 82% で MAD より効率的。
• 切断標本標準偏差（Trimmed SD）: 両端を切り捨ててから SD を計算。 切断率で頑健性を調整できる。
• Winsorized SD: 両端を境界値で置き換えてから SD を計算。 切断より情報を残せる。

💬 MAD は頑健統計の「入門用ツール」として最も使われているが、 効率性をさらに上げたいなら S_n や Q_n を検討する価値がある。 ただし計算の複雑さや解釈の直感性で MAD に軍配が上がることが多く、 「まず MAD、 必要に応じて高度な頑健統計量へ」が実務の定石。

📊 散布度指標の比較 — MAD vs SD vs IQR vs 範囲

散布度を測る指標は MAD だけではない。 SD（標準偏差）・IQR（四分位範囲）・範囲（max - min）・分散・変動係数など多数あり、 それぞれが異なる場面で活躍する。 ここでは代表的な散布度指標を「外れ値感受性」「効率性」「直感的解釈」「数学的扱いやすさ」の 4 軸で比較し、 どう使い分けるかを整理する。

📊 各散布度指標の特性比較

💡 使い分けの指針

• 外れ値が無いと確信できる → SD（最も効率的）
• 外れ値が混じる可能性 → MAD または IQR
• 標準誤差・検定の理論計算 → SD（数学的扱いやすさ）
• 箱ひげ図と一緒に提示 → IQR（直感的）
• 異常検知のしきい値 → MAD（極端値に強い）
• 異なる単位・スケールのデータ比較 → 変動係数（CV）
• 記述統計の二重化 → SD と MAD を並記して透明性確保

💬 散布度指標は「データの真の姿のどの側面を見たいか」で選ぶもの。 1 つだけでなく、 SD と MAD、 IQR を並べることで、 単一指標では見えない歪み・外れ値の影響が立体的に見える。 「散布度は 1 つの数字で語れない」という前提を持つことが、 データを誠実に扱う第一歩。

🧮 実データで計算してみる — SSDSE-B 総人口

SSDSE-B-2026 の A1101（総人口）47 県（2023 年度）の MAD を手計算で追います。

ステップ 1：中央値 $\tilde{x}$ を求める

47 県の総人口をソートすると、 真ん中（24 番目）の県は鹿児島県の約 154.9 万人。 正確には：

ステップ 2：各県のズレ $|x_i - \tilde{x}|$ を計算

ステップ 3：絶対偏差の中央値を取る

ステップ 4：標準偏差と比べてみる

解釈：標準偏差 約 280 万人 vs MAD 由来の擬似 $\sigma$ 約 92 万人 — 3 倍の差！ 「都道府県の総人口の典型的なばらつきは何人か」と聞かれたら、 標準偏差は東京都 1 県の影響を全面に押し出して 280 万人と答え、 MAD は外れ値を抑えて 60〜90 万人と答えます。 どちらが「正しい」かは目的次第ですが、 「典型的な県の姿」を知りたいなら MAD が圧倒的に妥当。

🧮 1.4826 という数字はどこから来たか

「MAD を $\sigma$ に変換するには 1.4826 を掛ければよい」 — このマジックナンバーの正体を導出します。

導出

標準正規分布 $X \sim N(0, 1)$ について：

1. 中央値 $\mathrm{median}(X) = 0$（対称なので明らか）
2. $|X|$ の中央値は何か？ ⇒ $P(|X| \le m) = 0.5$ となる $m$ を求める
3. $P(-m \le X \le m) = 0.5$ より、 $P(X \le m) - P(X \le -m) = 0.5$
4. 対称性より $P(X \le m) - (1 - P(X \le m)) = 0.5 \Rightarrow P(X \le m) = 0.75$
5. つまり $m = \Phi^{-1}(0.75) = 0.6745$

よって標準正規では MAD = 0.6745。 一般の $N(\mu, \sigma^2)$ では：

他の分布での補正係数

教訓：1.4826 は 「正規分布の場合」に限定された数字。 他の分布では別の補正係数を使うか、 MAD そのものを報告する方が誤解を生まない。

🎯 SSDSE-B 都道府県データでの MAD 完全ワークフロー

「47 都道府県の総人口（A1101, 2023 年度）の分布を、 ロバスト統計で要約する」フル工程：

ステップ 1：データ読み込みと基本統計

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import median_abs_deviation

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]        # 先頭列 'SSDSE-B-2026' が年度
pop = df['A1101'].to_numpy(dtype=float)  # A1101 = 総人口

# 基本統計
print(f"n        = {len(pop)}")
print(f"Mean     = {pop.mean():,.0f}")
print(f"Median   = {np.median(pop):,.0f}")
print(f"SD       = {pop.std(ddof=1):,.0f}")
print(f"MAD (raw)= {median_abs_deviation(pop):,.0f}")
print(f"MAD×1.48 = {median_abs_deviation(pop, scale='normal'):,.0f}")
print(f"IQR      = {np.percentile(pop, 75) - np.percentile(pop, 25):,.0f}")

ステップ 2：標準偏差 vs MAD の感受性テスト

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# 「東京都を除いたとき」「東京都を 10 倍にしたとき」を比較
mask_tokyo = df['Prefecture'].values == '東京都'
pop_no_tokyo = pop[~mask_tokyo]
pop_tokyo10 = pop.copy()
pop_tokyo10[mask_tokyo] *= 10

print("           SD            MAD")
print(f"Original :  {pop.std():>10,.0f}   {median_abs_deviation(pop):>10,.0f}")
print(f"−Tokyo   :  {pop_no_tokyo.std():>10,.0f}   {median_abs_deviation(pop_no_tokyo):>10,.0f}")
print(f"Tokyo×10 :  {pop_tokyo10.std():>10,.0f}   {median_abs_deviation(pop_tokyo10):>10,.0f}")

# 結果：SD は東京都 1 県だけで数倍動く、 MAD は不変

ステップ 3：可視化で確認

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import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 左：分布全体（東京都込み）
axes[0].hist(pop, bins=20, color='steelblue', edgecolor='white')
axes[0].axvline(pop.mean(), color='red', lw=2, label=f'Mean = {pop.mean()/1e6:.2f}M')
axes[0].axvline(np.median(pop), color='green', lw=2, label=f'Median = {np.median(pop)/1e6:.2f}M')
axes[0].legend(); axes[0].set_title('Population (with Tokyo)')

# 右：±MAD と ±SD の比較
axes[1].scatter(range(47), sorted(pop), color='gray', alpha=0.6)
mid = np.median(pop); mad = median_abs_deviation(pop, scale='normal'); sd = pop.std()
axes[1].axhspan(mid - 2*mad, mid + 2*mad, alpha=0.2, color='green', label='±2 MAD-σ')
axes[1].axhspan(pop.mean() - 2*sd, pop.mean() + 2*sd, alpha=0.2, color='red', label='±2 SD')
axes[1].legend(); axes[1].set_title('SD vs MAD intervals')
plt.tight_layout(); plt.show()

ステップ 4：MAD ベースの標準化（外れ値検出）

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# Modified z-score で外れ値検出
median = np.median(pop)
mad = median_abs_deviation(pop)
df['mod_z'] = 0.6745 * (pop - median) / mad

# |M| > 3.5 のものを外れ値として表示
outliers = df[np.abs(df['mod_z']) > 3.5].sort_values('mod_z', ascending=False)
print("Outlier prefectures by MAD:")
print(outliers[['Prefecture', 'A1101', 'mod_z']])

ステップ 5：複数変数を MAD で標準化

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# 主要 4 変数を MAD ベースで標準化（スケール統一）
cols = ['A1101', 'A1303', 'L3221', 'I5102']  # 総人口・高齢人口・消費支出・一般診療所数
df_scaled = df[cols].copy()

for c in cols:
    med = df[c].median()
    mad = median_abs_deviation(df[c])
    df_scaled[c] = 0.6745 * (df[c] - med) / mad

# Modified z 値が大きい県をピックアップ
df_scaled['max_abs_z'] = df_scaled[cols].abs().max(axis=1)
df_scaled['Prefecture'] = df['Prefecture']
print(df_scaled.sort_values('max_abs_z', ascending=False).head(10))

🧮 SSDSE-B-2026 で MAD を計算する — 47 都道府県の散布度

SSDSE-B-2026 で人口・出生数・医療費の MAD を計算し、 SD と比較してみます。 東京・大阪のような巨大値が SD を肥大化させるのに対し、 MAD は安定していることが確認できます。

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# SSDSE-B-2026 で MAD と SD を比較
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import median_abs_deviation

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv',
                 encoding='cp932',
                 skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]  # 2023 年度・47 都道府県

# 各指標について SD と MAD を計算
for col in ['A1101','A4101']:  # 総人口・出生数
    x = df[col].astype(float).values
    mean = np.mean(x)
    sd = np.std(x, ddof=1)
    median = np.median(x)
    mad = median_abs_deviation(x, scale='normal')  # ×1.4826 自動付与
    cv_sd = sd / mean
    cv_mad = mad / median
    print(f'{col}:')
    print(f'  平均={mean:10.0f}  SD={sd:10.0f}  CV(SD)={cv_sd:.3f}')
    print(f'  中央値={median:8.0f}  MAD={mad:8.0f}  CV(MAD)={cv_mad:.3f}')
    print(f'  SD/MAD 比 = {sd/mad:.2f} (1.0 なら正規、 >1.5 なら外れ値あり)')
    print()

# 外れ値検出
for col in ['A1101']:  # 総人口
    x = df[col].astype(float).values
    median = np.median(x)
    mad = median_abs_deviation(x, scale='normal')
    z_mad = (x - median) / mad
    outliers = df[np.abs(z_mad) > 3.0][['Prefecture', col]]
    print(f'{col} の外れ値県（|MAD-Z| > 3.0）:')
    print(outliers.to_string(index=False))

このコードは総人口（A1101）・出生数（A4101）両方で SD/MAD 比を計算します（総人口 3.03、 出生数 2.78）。 通常 1 に近ければ正規分布、 1.5 以上なら外れ値あり。 SSDSE-B-2026 の総人口では SD/MAD 比が 3 を超え、 東京都・神奈川県・大阪府をはじめ 9 都道県が「MAD-Z > 3」で自動検出されます。 これは政策議論で「典型県」と「異常値」を区別する強力な道具です。

🧮 数式に値を入れて手で計算する: 中央絶対偏差 (MAD)

合成データ [2, 4, 7, 5, 3, 7, 9] で MAD を計算する。

Step 1: 中央値

Step 2: 偏差の絶対値とその中央値

Step 3: 標準偏差近似 (k=1.4826)

🐍 Python で再現

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import numpy as np
x = np.array([2, 4, 7, 5, 3, 7, 9])
med = np.median(x)
mad = np.median(np.abs(x - med))
print(f"中央値: {med}")
print(f"MAD: {mad}")
print(f"σ̂: {1.4826 * mad:.3f}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 2,3) と Python 出力が完全一致。

🐍 Python 実装

1. scipy.stats — 標準的な実装

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import median_abs_deviation

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]        # 先頭列 'SSDSE-B-2026' が年度
pop = df['A1101'].to_numpy(dtype=float)  # A1101 = 総人口

# 生の MAD（スケール補正なし）
mad_raw = median_abs_deviation(pop)
print(f"MAD (raw)         = {mad_raw:,.0f}")

# 正規分布補正された MAD（σ の頑健推定）
mad_normal = median_abs_deviation(pop, scale='normal')
print(f"MAD (normalized)  = {mad_normal:,.0f}")

# 比較用：通常の標準偏差
sd = pop.std(ddof=1)
print(f"Standard deviation = {sd:,.0f}")

# 中央値
median_val = np.median(pop)
print(f"Median = {median_val:,.0f}")
print(f"Mean   = {pop.mean():,.0f}")

2. statsmodels — ロバスト統計の決定版

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from statsmodels import robust

mad = robust.mad(pop)        # デフォルトで正規化される
mad_raw = robust.mad(pop, c=1.0)  # 生の MAD

print(f"robust.mad()      = {mad:,.0f}  (= 1.4826 × raw)")
print(f"robust.mad(c=1.0) = {mad_raw:,.0f}")

3. 標準偏差 vs MAD — 外れ値の影響を比較

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# 東京都を除いた場合、 どれだけ動くか？
pop_excl_tokyo = pop[df['Prefecture'].values != '東京都']

print("          With Tokyo  Without Tokyo  Change")
print(f"Mean    : {pop.mean():>10,.0f}  {pop_excl_tokyo.mean():>11,.0f}  {100*(pop_excl_tokyo.mean()/pop.mean()-1):+.1f}%")
print(f"SD      : {pop.std():>10,.0f}  {pop_excl_tokyo.std():>11,.0f}  {100*(pop_excl_tokyo.std()/pop.std()-1):+.1f}%")
print(f"Median  : {np.median(pop):>10,.0f}  {np.median(pop_excl_tokyo):>11,.0f}")
print(f"MAD     : {median_abs_deviation(pop):>10,.0f}  {median_abs_deviation(pop_excl_tokyo):>11,.0f}")

# 期待される結果：
# Mean / SD は東京都を抜くと大きく変動（数十%）
# Median / MAD は東京都を抜いてもほぼ変わらない（数%以内）

4. MAD ベースの外れ値判定

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# Modified z-score で外れ値を検出
def modified_z_score(x):
    median = np.median(x)
    mad = median_abs_deviation(x)
    return 0.6745 * (x - median) / mad

mz = modified_z_score(pop)
df['mod_z'] = mz
outliers = df[np.abs(mz) > 3.5]
print("Outlier prefectures (|Modified z| > 3.5):")
print(outliers[['Prefecture', 'A1101', 'mod_z']])

# 通常の z 値と比較
z = (pop - pop.mean()) / pop.std()
print("\nClassical outliers (|z| > 3):")
print(df[np.abs(z) > 3][['Prefecture', 'A1101']])

5. 自分で書く（教育目的）

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import numpy as np

def my_mad(x, normalize=True):
    """中央絶対偏差を計算する素朴な実装"""
    x = np.asarray(x)
    median = np.median(x)
    mad = np.median(np.abs(x - median))
    if normalize:
        mad *= 1.4826
    return mad

print(my_mad(pop))                # 正規化あり（×1.4826）
print(my_mad(pop, normalize=False))  # 生の MAD

🐍 MAD の Python 実装パターン — 4 連発

🔬 数式を言葉で読み解く

MAD の定義 $\mathrm{MAD} = \mathrm{median}(|x_i - \mathrm{median}(x)|)$ は、 「中央値からの距離の中央値」 という二段中央値構造です。 平均と SD が外れ値で歪むのに対し、 中央値ベースの MAD は 50% まで汚染されても破綻しない頑健性を持ちます。 SSDSE-B-2026 の出生数（A4101）で実装し、 SD との違いを確認します。

① このコードでやること：SSDSE-B-2026 から出生数（A4101）を読み、 中央値・MAD・SD を計算して並べます。

📥 入力データ（SSDSE-B-2026 抜粋）：

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import pandas as pd
import numpy as np
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]; x = df['A4101'].to_numpy(dtype=float)  # 2023・出生数
med = np.median(x)
mad = np.median(np.abs(x - med))
sd = x.std(ddof=1)
print(f'median = {med:,.0f}')
print(f'MAD    = {mad:,.0f}')
print(f'SD     = {sd:,.0f}')
print(f'SD / MAD = {sd / mad:.2f}')

📤 実行例：

💬 SD/MAD=4.12 は外れ値の影響で SD が膨らんでいることを示す（正規分布なら SD≈1.4826×MAD なので比は約 1.5）。 東京都（出生数 86,348）が SD を引き上げています。

② このコードでやること：MAD を正規分布相当のスケールに変換し、 σ ベースの SD と直接比較します。

📥 入力データ：直前の x, mad, sd。

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from scipy import stats
mad_scaled = 1.4826 * mad
mad_scipy = stats.median_abs_deviation(x, scale='normal')
print(f'1.4826 * MAD     = {mad_scaled:,.0f}')
print(f'scipy MAD(normal)= {mad_scipy:,.0f}')
print(f'SD               = {sd:,.0f}')
print(f'SD / (1.4826*MAD)= {sd / mad_scaled:.2f}')

📤 実行例：

💬 SD/(1.4826*MAD)=2.7 と 1 から大きく乖離 → 「正規分布ならこの比は 1 になる」のに 2.8 倍。 SSDSE-B の出生数は明確に裾の重い分布であることを定量的に確認できます。

③ このコードでやること：Modified z-score $M_i = 0.6745 (x_i - \mathrm{median})/\mathrm{MAD}$ で外れ値検出し、 |M|>3.5 の都道府県を一覧します。

📥 入力データ：x, med, mad。

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M = 0.6745 * (x - med) / mad
out = df.loc[np.abs(M) > 3.5, ['Prefecture', 'A4101']].copy()
out['M_score'] = M[np.abs(M) > 3.5]
print(f'detected outliers: {len(out)} prefectures')
print(out.to_string(index=False))

📤 実行例：

💬 出生数では 8 都県が |M|>3.5 で検出。 東京都の M=12.46 は通常の z-score（SD ベース）なら masking 効果で過小評価されがちですが、 MAD ベースなら正しく強調されます。

④ このコードでやること：MAD と IQR を比較し、 頑健散布度の冗長性を確認します。

📥 入力データ：x。

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q1, q3 = np.percentile(x, [25, 75])
iqr = q3 - q1
mad_n = 1.4826 * mad
iqr_n = iqr / 1.349
print(f'IQR              = {iqr:,.0f}')
print(f'IQR / 1.349      = {iqr_n:,.0f}  (normal-scaled)')
print(f'1.4826 * MAD     = {mad_n:,.0f}  (normal-scaled)')
print(f'ratio MAD/IQR_n  = {mad_n / iqr_n:.3f}')

📤 実行例：

💬 MAD と IQR/1.349 が近い（比 0.933）。 「中央 50%」 と 「中央値からの距離の中央値」 という独立な観点からほぼ同じ散布度に到達 → 頑健散布度として MAD が妥当である強い証拠。

⚠️ 落とし穴

⚠️ MAD の追加的落とし穴（8 個）

• 定数 1.4826 を忘れる：SD 換算には必須。 これがないと「正規時 σ の 0.67 倍」と一致しない。
• 歪んだ分布での適用：MAD は対称分布前提。 歪んだデータでは別途処理。
• 離散データでの異常：整数値データでは MAD = 0 になることがある。 補正項が必要。
• 小標本での精度：$n < 10$ では MAD が不安定。 ブートストラップで SE を測る。
• 多変量での次元独立計算：相関構造を無視するので、 高次元では MCD などを使う。
• 効率の損失：正規時の効率 37% は無視できない。 大標本でカバー可能だが、 小標本では SD のほうが平均推定の SE 計算に良い。
• $|M_i| > 3.5$ の閾値依存：データ量・分野により調整必要。
• scipy のバージョン差：`scipy.stats.median_abs_deviation` は 1.5 以降、 古い `median_absolute_deviation` は非推奨。

📑 MAD 関連の主要文献

• Hampel (1974): MAD のロバスト性質を解析。
• Iglewicz & Hoaglin (1993): Modified z-score の提案。
• Rousseeuw & Croux (1993): Sn・Qn 推定量、 MAD の改良。
• Maronna et al. (2019): Robust Statistics: Theory and Methods 教科書。
• Huber (1981): Robust Statistics 古典書。

⚠ よくある誤用 8 選

📔 MAD 関連ミニ用語集 30

MAD (Median Absolute Deviation)

中央値からの絶対偏差の中央値。 ロバスト散布度の代表。

MAD_n（一般版）

scale factor を分布依存にした MAD。 正規以外の分布で使う。

1.4826

正規分布で MAD を SD に換算する定数。 $1/\Phi^{-1}(0.75)$。

0.6745

標準正規分布の 75% 分位点。 MAD = 0.6745σ。

Breakdown point（破壊点）

推定量が崩壊するまでの汚染率。 MAD は 50%。

Influence Function (IF)

1 点が推定量に与える影響。 MAD のものは有界で階段状。

Asymptotic Relative Efficiency (ARE)

「正規時の効率の比」。 MAD vs SD は 0.37。

Sn 推定量

Rousseeuw & Croux (1993)。 効率 58%、 破壊点 50%。

Qn 推定量

Rousseeuw & Croux (1993)。 効率 82%、 破壊点 50%。 高効率のロバスト散布度。

τ 推定量

Yohai & Zamar (1988)。 効率 95%、 反復計算。

IQR (Interquartile Range)

四分位範囲 = Q3 - Q1。 正規時 1.349σ。

Hampel フィルタ

移動窓 MAD ベースの時系列スパイク除去フィルタ。

3 シグマルール

平均 ± 3 SD で 99.7% カバー。 ロバスト版は中央値 ± 3·MAD。

Modified Z-score

$0.6745 \cdot (x - \mathrm{median}) / \mathrm{MAD}$。 MAD ベースの標準化。

Sigma clipping

天文学で popular な反復的外れ値除去。 MAD ベース版が現代的。

Robust scale estimator

ロバスト散布度の総称。 MAD, Sn, Qn, τ などが含まれる。

Median polish

Tukey の二元表分析。 行・列の中央値で繰り返し補正。

Tukey hinge

Tukey 版の四分位数。 通常の Q1/Q3 と微妙に違う。

Fivenum summary

min, Q1, median, Q3, max の 5 値要約。 箱ひげ図の基礎。

M-estimator scale

M 推定における散布度推定量。 MAD が初期値・標準として使われる。

Huber 's Proposal 2

Huber (1964) のスケール推定法。 MAD と組み合わせて使う。

Centered MAD

中央値ベースの MAD。 標準的な定義。

Mean Absolute Deviation

平均からの絶対偏差の平均。 名前は似るが MAD とは別物（ロバストでない）。

Bisquare scale

Tukey biweight ベースのスケール推定量。 MAD より高効率。

MCD (Minimum Covariance Determinant)

多変量ロバスト共分散行列推定。 MAD の多変量版。

Outlier detection

外れ値検出。 MAD ベース閾値が現代標準。

Wavelet denoising

Donoho の MAD ベース閾値。 信号処理での MAD 応用。

Mahalanobis 距離

多変量距離。 ロバスト版は MCD ベースで計算。

RMA (Robust Multi-array Average)

マイクロアレイ正規化アルゴリズム。 median polish 使用。

SD (Standard Deviation)

標準偏差。 平均ベースの散布度。 MAD のライバル。

⚠️ 条件・限界・誤解回避 — 中央絶対偏差（MAD）の実務

MAD（Median Absolute Deviation）は外れ値に頑健な散布度の代表的指標で、 標準偏差（SD）の代替として広く使われる。 ただし「頑健 = 万能」ではなく、 適用条件・分布仮定・スケーリングを理解しないと、 誤った散布度比較や閾値設定の根拠になり得る。 SSDSE-B-2026 を例に注意点を整理する。

📐 適用条件（MAD が散布度の妥当な指標となる前提）

1. 中央値が代表値として意味を持つ: MAD は中央値からの絶対偏差の中央値。 中央値自体がデータの中心として妥当でない（多峰分布等）なら、 MAD も散布度として意味が薄い。
2. 連続変数または順序変数: 名義変数（カテゴリ）では中央値・絶対偏差が定義できないため適用不可。
3. 標本サイズ N ≥ 10 程度: 中央値の安定性に標本サイズが効くため、 N < 10 では MAD の値も大きく揺れる。 SSDSE-B-2026（N=47）は十分。
4. 正規分布近似で SD と比較する場合は係数 1.4826 を掛ける: MAD × 1.4826 が正規分布での SD の不偏推定（漸近的）。 この係数を忘れると比較が歪む。
5. 外れ値の定義に閾値を使うなら「median ± k×MAD」: k=2.5〜3 が経験則。 SD ベースの「mean ± 3σ」は外れ値で歪むので避ける。

🚧 限界（MAD で解けない問題）

1. 効率性で SD に劣る（正規分布下では）: 正規データでは SD の方が分散が小さい推定量。 MAD の漸近相対効率は約 37%。 外れ値が無いことが分かっているなら SD を使うべき。
2. 離散データで「同じ値」が多いと MAD = 0 になる: 例: 二値変数で多くが 0、 一部が 1 のとき MAD = 0。 散布度がゼロでも実際にはばらつきがあるので別指標（IQR、 エントロピー）が必要。
3. 非対称分布では中央値の解釈に注意: 歪度が大きい分布では、 中央値からの偏差を上下対称に扱うのが妥当でない場合がある。 上側 MAD / 下側 MAD に分けることがある。
4. 多変量化が難しい: 多変量の頑健散布度は MCD（Minimum Covariance Determinant）等が必要。 単変量 MAD を変数ごとに見るだけでは多変量構造は捉えられない。
5. 標準誤差の計算が複雑: MAD の標準誤差は SD の SE よりブートストラップ等の数値計算に頼ることが多い。

💡 誤解回避（MAD 運用で陥りがちな勘違い）

1. 「MAD = SD」と誤って解釈: MAD と SD はスケールが違う。 正規分布下では SD ≈ 1.4826 × MAD。 この係数を掛けないで比較すると「MAD は SD より小さい」と誤判定する。
2. 「MAD は外れ値があっても変わらない」も誤り: MAD は外れ値に頑健だが完全に不変ではない。 外れ値の割合が 50% を超えると中央値そのものが崩れ、 MAD も意味を失う。
3. 「MAD があれば SD は不要」も短絡: SD は分散分解（ANOVA、 PCA、 LSE）で数学的に扱いやすい。 「外れ値が無ければ SD、 ある場合は MAD」が原則。
4. 「MAD だけで外れ値判定」も危険: median ± 3×MAD は経験則で、 分布形状によっては正常データを切ってしまう。 視覚的確認（箱ひげ図・ヒストグラム）と組み合わせる。
5. 「MAD は SD より常に良い」は誤解: 正規分布では SD の方が効率的。 「データの性質と目的」で使い分けるべき。

✅ 実務でのチェックリスト

• □ データの分布形状（正規・歪・多峰）をヒストグラムで確認したか
• □ 外れ値の有無を箱ひげ図で確認したか
• □ SD と比較する場合、 MAD × 1.4826 で正規化したか
• □ MAD = 0 になっていないか（離散データの場合）
• □ 外れ値判定なら median ± 3×MAD、 SD ベースの 3σ ルールを混用していないか
• □ ブートストラップで MAD の標準誤差を推定したか
• □ 多変量データなら MCD など多変量頑健統計量を併用したか
• □ MAD と IQR の両方を報告し、 頑健散布度の冗長性を持たせたか

💬 MAD は「外れ値があるとき SD では信用できない」という認識から生まれた頑健統計の代表。 SSDSE-B-2026 のように東京都・沖縄県のような特徴的な値が混ざるデータでは、 SD だけでなく MAD・IQR を並べて散布度を見ると、 真の散らばりが立体的に見えてくる。 散布度は 1 つではなく、 複数の角度から見るのが安全。

🌐 関連手法・派生

• 四分位範囲（IQR）：第 3 四分位点 − 第 1 四分位点。 MAD と並ぶロバストばらつきの指標。 → 箱ひげ図
• Sn 推定量・Qn 推定量：Rousseeuw & Croux（1993）が提案したペアワイズ距離ベースのロバスト推定量。 MAD より効率が高い。
• トリム平均・ウィンザー平均：端の値を切り落とすロバスト平均。 MAD は「ばらつきの頑健化」、 これらは「中心の頑健化」。
• M 推定量・MM 推定量：MAD を初期値として使うことが多いロバスト回帰。 → ロバスト統計
• Huber 推定量：平均と中央値の中間的な性質を持つ。 MAD は分散版の中央値。
• 標準偏差：MAD の非頑健対応物。 → standard-deviation.html
• 分散：標準偏差の二乗。 → variance.html
• 歪度・尖度：分布の形状指標。 MAD は形状ではなく広がりを測る。

🌐 多変量 MAD への拡張

多変量への拡張：

• 多変量 MAD：各次元独立に MAD を計算（最も単純）。
• MCD ベース距離：Minimum Covariance Determinant を使うロバスト Mahalanobis 距離。
• OGK 共分散：直交化 GK 推定量、 高速ロバスト共分散。
• S 推定量：M 推定の多変量版。
• Stahel-Donoho：最も古い多変量ロバスト位置推定量。

🌐 適用領域別の MAD 事例集

MAD（中央絶対偏差）は領域ごとに微妙に異なる使い方をされる。 ここでは代表的な分野について「なぜ MAD なのか」「何を判断したいか」「具体的な使い方」をまとめる。 実務でこれらのパターンを知っておくと、 自分の課題に当てはめやすくなる。

🏦 金融リスク管理での MAD

株式・為替・債券などのリターン分布はファットテール（極端値が頻繁に出る）の特徴を持つ。 SD ベースのリスク指標（VaR）はリーマンショックやコロナショックのような極端イベント期に過小評価が起きやすい。 MAD ベースの代替指標は以下のように使われる。

• 頑健ボラティリティ推定: 日次リターンの MAD × 1.4826 を「典型的なボラティリティ」とし、 SD と比較して「外れ値依存度」を測る。
• 異常リターン検出: |リターン − 中央値| / MAD > 3 を「異常イベント」として抽出。 SD ベースより安定。
• 因子モデル残差の評価: ファーマ・フレンチ 3 因子モデル等の残差を MAD で評価し、 因子で説明できない異常を検出。
• クオンツ戦略のリスク制御: ポートフォリオの個別資産が MAD × 3 を超える日次変動を示した場合に自動でポジションを縮小。

🏥 医療・疫学での MAD

臨床データには重症例・薬剤副作用・測定エラーなどで外れ値が混入しやすい。 患者の検査値や入院日数は SD で散布度を見ると意味のない値になることが多い。 MAD は以下のように活用される。

• 基準値の設定: 検査値の中央値 ± 3×MAD を「正常範囲」として定義し、 平均 ± 3SD よりも外れ値を含みにくい。
• サブグループ間比較: 治療群・対照群の効果差を中央値で測り、 散布度を MAD で比較することで、 平均値の歪みを避ける。
• QC（品質管理）: 検査機器の出力値の MAD で「機器の安定性」を評価。 SD だと一過性の異常で過大評価される。
• 生存時間分析の補助: 中央値生存時間とその周辺の MAD を組み合わせて、 治療効果のばらつきを評価。

🌐 ネットワーク・センサーデータでの MAD

サーバ応答時間・センサー測定値・IoT データはノイズ・スパイク・障害イベントで外れ値が混じる。 リアルタイム異常検知では MAD ベースのアプローチが主流。

• SLO 監視: API 応答時間の中央値と MAD を併用して、 平均値だけでは捉えられないテール遅延の悪化を検出。
• 異常検知アルゴリズム: 「median ± 3×MAD」を動的に更新し、 リアルタイムでのアラート判定に使う。
• センサー較正: 同種のセンサー群の中央値からの MAD で「外れているセンサー」を特定し較正対象とする。
• ログ分析: アクセスログの応答時間で、 単一ユーザーの大量リクエストが全体平均を歪める問題を MAD で吸収。

📊 行政統計・SSDSE-B-2026 での MAD

SSDSE-B-2026 の都道府県データは、 東京都・大阪府・愛知県などの大都市圏が極端な値を取りやすい。 SD で散布度を測ると「大都市の影響」が全体を支配するため、 MAD の方が「典型的な都道府県の幅」を素直に表現する。

• 地域間格差の評価: 都道府県別の中央値からの MAD で「典型的な地域格差」を測る。 大都市を除外せずに自然に重みを下げられる。
• 時系列での変化の検出: ある年に MAD が急増していれば、 「典型的な都道府県の幅が広がった」と解釈。 SD だと大都市の動きで支配される。
• 政策効果の判定: 政策介入後に MAD が縮小していれば「地域間の均衡化」が起きたと解釈できる。
• クラスタリングの前処理: 都道府県をクラスタリングする前に、 MAD で各変数のスケールを整える（mean/SD ではなく median/MAD でスケーリング）。

🔬 機械学習・データ前処理での MAD

機械学習の前処理でも MAD は重要な役割を持つ。 特に外れ値を含むデータに対して、 標準化や特徴量設計を頑健に行うのに使われる。

• RobustScaler: sklearn の RobustScaler は中央値で中心化、 IQR でスケーリング。 MAD ベースで実装することもある。
• 異常検知の前処理: Isolation Forest や One-Class SVM の入力として、 MAD で標準化した特徴量を使う。
• 特徴量重要度の頑健化: 訓練データの異常値が特徴量重要度を歪める問題を、 MAD ベースの外れ値除去で緩和。
• 残差ベース異常検知: 機械学習モデルの予測残差の MAD を計算し、 異常スコアとして利用する。

💬 MAD は「散らばりを頑健に測る」という統一的なアイディアの実装であり、 領域ごとに異なる形で使われている。 自分の業務領域でも、 SD と MAD のどちらが「現実の散らばり」を素直に表すかを意識すると、 データの解釈が一段確かになる。 特に外れ値・スパイク・極端イベントが頻発する領域では、 MAD ベースの指標が誤判断を防ぐ最後の防波堤になる。

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

📘 前提として理解しておくべき用語

📗 並列に並ぶ・対比する用語

📕 発展として進む用語

🧪 ロバスト統計での位置づけ

MAD は「ロバスト統計」と呼ばれる分野の基本ツールです。 ロバスト統計の哲学は次の通り：

「データの中に少数の異常（外れ値・記入ミス・極端なケース）が混じっていても、 結果が大崩れしないような統計量を使おう。」

崩壊点（Breakdown Point）の比較

「データの何パーセントが汚染されたら統計量が壊れるか」を表す指標：

MAD は理論的に最高の崩壊点（50%）を持つ統計量で、 「データの半数が偽物でも壊れない」のが強み。 これより高い崩壊点は数学的に不可能です。

影響関数（Influence Function）の比較

「1 つの外れ値が統計量にどれだけ影響するか」を表す関数：

• 標準偏差：影響関数は外れ値の値に対して無限大に発散。 1 つの極端値で SD が任意の大きさになる。
• MAD：影響関数は外れ値の値によらず有界（bounded）。 どんなに大きな外れ値でも、 MAD への影響は一定の上限内。

これが「MAD は外れ値に強い」を厳密に定式化したものです。

🔗 関連用語（拡張）

• 中央値：MAD の構成要素。
• ロバスト統計：MAD を含む大枠。
• 外れ値：MAD の主な応用先。
• 標準化：Modified z-score 概念。
• 分位点：MAD は中央値の応用。
• 四分位：IQR は MAD の親戚。
• 外れ値処理：MAD ベース検出の応用。
• データクレンジング：MAD を含む前処理。

❓ よくある質問（FAQ）

🏛 MAD の歴史

• 1816：Gauss: 誤差論で中央値の頑健性に言及（明示的に MAD は提案せず）。
• 1882：Edgeworth: 「絶対偏差の中央値」概念を統計学に導入。
• 1974：Hampel: The Influence Curve and Its Role in Robust Estimation で MAD の影響関数を解析。
• 1981：Huber: Robust Statistics 教科書で MAD の地位を確立。
• 1993：Iglewicz & Hoaglin: How to Detect and Handle Outliers で Modified z-score を体系化。
• 1993：Rousseeuw & Croux: Alternatives to the Median Absolute Deviation で Sn・Qn の代替案。
• 2010 年代: 機械学習で MAD ベースの外れ値検出が標準化（sklearn.preprocessing.RobustScaler）。

💼 産業応用事例

📚 関連グループ教材

• 📦 基礎統計（中央値） — 中央値・MAD は「ロバストな要約統計量」の柱
• 🛡 ロバスト手法グループ — MAD、 トリム平均、 M 推定量を体系的に整理
• 🔬 データ品質グループ — 外れ値検出・データクリーニングの基本
• 📊 記述統計グループ — 平均・中央値・SD・MAD を並べて分布を要約

📚 参考文献・関連教材（拡張）

• Gauss, C. F. (1816). "Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen." Probable error の概念。
• Hampel, F. R. (1974). "The Influence Curve and Its Role in Robust Estimation." JASA 69: 383-393.
• Huber, P. J. (1981). "Robust Statistics." Wiley. — MAD を Huber M 推定の標準スケールに。
• Rousseeuw, P. J., Croux, C. (1993). "Alternatives to the Median Absolute Deviation." JASA 88: 1273-1283. — Sn, Qn 提案。
• Leys, C., Ley, C., Klein, O., Bernard, P., Licata, L. (2013). "Detecting outliers: Do not use SD, use absolute deviation around the median." J. Experimental Social Psychology 49: 764-766. — 心理学界で MAD ベース判定を啓蒙。
• Maronna, R., Martin, D., Yohai, V. (2006). "Robust Statistics: Theory and Methods." Wiley. — 現代の決定版。
• Donoho, D., Johnstone, I. (1994). "Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage." Biometrika 81: 425-455. — MAD ベース閾値処理。
• scipy: scipy.stats.median_abs_deviation, scipy.stats.iqr。
• statsmodels: statsmodels.robust.mad。
• R: mad()（base R）, robustbase::Sn(), robustbase::Qn()。

📚 まとめ — MAD を使いこなすための整理

中央絶対偏差（MAD）について、 本ページの内容を実務目線で整理する。 MAD は単なる計算公式ではなく、 「データを誠実に扱うための道具」であり、 統計分析の透明性を担保する重要な役割を持つ。

核心となる 5 つのポイント

1. MAD は外れ値に強い散布度: 中央値からの絶対偏差の中央値であり、 ブレークダウンポイント 50% という最強の頑健性を持つ。
2. SD との換算は ×1.4826: 正規分布の理論から導かれる係数。 これを忘れて比較すると意味のない結論になる。
3. 効率性で SD に劣る: 正規分布下では SD の方が効率的なので、 「外れ値の有無」で使い分ける。
4. 適用範囲は連続変数: 離散・名義変数では MAD = 0 になる場合があり、 別指標（IQR、 エントロピー）が必要。
5. SD と MAD の並記が透明性のある実務: 1 つの指標で散布度を語らず、 複数の指標を並べて「データの真の姿」を立体的に見せる。

次のステップで学ぶべきこと

• 多変量データの頑健散布度（MCD、 MVE）
• ロバスト回帰（M 推定、 Huber 損失、 LAV 回帰）
• 頑健統計の漸近理論（ブレークダウンポイント、 影響関数）
• ブートストラップによる MAD の信頼区間推定
• 異常検知アルゴリズム（Isolation Forest、 One-Class SVM）との組み合わせ

💬 MAD は「外れ値が混じった現実のデータを扱うための入り口」。 ここから頑健統計の世界が広がる。 SSDSE-B-2026 のような実データで SD と MAD を並べて計算する習慣を持つことが、 「データに対して謙虚であり続ける」最初の一歩。

🗾 公的データ・実教材 — MAD を手で動かせる一次資料

外れ値が含まれる実データで MAD を試すには、 以下の公的統計が扱いやすい。 いずれも分布が右に裾を引きやすく、 SD と MAD の差が現れる。

• SSDSE-B-2026（教育用標準データセット、 独立行政法人統計センター）— 47 都道府県 × 約 100 指標。 A1101（総人口）や L3221（消費支出）は東京都・大阪府が極端な外れ値となり、 SD と MAD の差を可視化する好題材。
• e-Stat（政府統計の総合窓口、 総務省）— 国勢調査・経済センサスの市区町村別データを取得可能。 全国 1700 市区町村レベルになると外れ値の影響が一層明瞭になる。
• 国民生活基礎調査（厚生労働省）— 世帯所得分布は典型的な右裾分布。 中央値と平均、 MAD と SD の対比を学ぶ教材として標準的に引用される。
• 賃金構造基本統計調査（厚生労働省）— 賃金分布の中央値・分位数が公表されており、 MAD の実用場面（中央値からの散らばり把握）と直結。
• 地域経済分析システム RESAS（内閣府・経済産業省）— 自治体別の経済指標を可視化。 「外れ値が地図上のどこにあるか」を MAD と空間情報の両面から検討できる。

📖 日本語標準書・参考文献

• 東京大学教養学部統計学教室『統計学入門』（東京大学出版会）— 中央値・分位数・絶対偏差を含む記述統計の定番教科書。 MAD の前提となる中央値・散布度の基礎が押さえられる。
• 『日本統計学会公式認定 統計検定 2 級 公式問題集』— 中央値・四分位範囲・MAD を含むロバスト指標の出題が頻出。 試験対策として実地で計算力を鍛えられる。
• 蓑谷千凰彦『ロバスト統計入門』（朝倉書店）— 日本語で読める頑健統計の入門書。 MAD、 Huber M 推定、 LAV 回帰までを実例で展開。
• Wilcox, R.R. Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing（Academic Press）— トリム平均・MAD・Winsorized 分散などをデータ例つきで体系化。
• Maronna, R., Martin, D., Yohai, V. Robust Statistics: Theory and Methods（Wiley）— 現代の頑健統計の決定版。 MAD のブレークダウンポイント証明と影響関数を理論的に押さえたい場合に。

🗺 概念マップ — MAD が属する位置

ばらつきの指標
├── 非頑健（平均・二乗ベース）
│   ├── 分散（$\sigma^2$）
│   ├── 標準偏差（$\sigma$）
│   └── 変動係数（$CV = \sigma/\mu$）
├── 頑健（中央値・絶対値・分位点ベース）◀ ロバスト統計
│   ├── 中央絶対偏差（MAD）◀ このページ
│   │   ├── 生の MAD
│   │   ├── 1.4826 × MAD（σ 推定）
│   │   └── Modified z-score（外れ値検出）
│   ├── 四分位範囲（IQR）
│   ├── 平均絶対偏差（MeanAD、 別概念）
│   ├── Sn 推定量・Qn 推定量
│   └── トリム標準偏差
└── 応用
    ├── 外れ値検出（Modified z > 3.5）
    ├── ロバスト回帰の初期値
    ├── KDE の頑健バンド幅
    └── 異常検知・データクリーニング

🎓 論文での MAD の典型的使い方

❓ よくある質問

Q1. 「MAD」と「Mean Absolute Deviation」はどちらが普通？

統計実務では Median Absolute Deviation（中央絶対偏差） が圧倒的に主流。 統計入門書では「Mean Absolute Deviation（平均絶対偏差）」が出ることもあるが、 ロバスト性で劣るので実用ではあまり使われない。

Q2. 1.4826 はどこから出る？

標準正規分布 $N(0,1)$ で、 中央値からの絶対偏差の中央値（理論値）は約 0.6745。 これは標準正規の上 4 分の 1 点（75 パーセンタイル）と一致する。 1.4826 = 1/0.6745 で、 これを掛けると正規分布のとき MAD ≈ $\sigma$。

Q3. データ数が偶数のとき、 中央値はどうする？

慣例的に「中央 2 つの平均」を取る。 例えば 47 県なら奇数なので問題ないが、 46 県データなら 23 番目と 24 番目の平均が中央値。 MAD の計算でも同じ処理。

Q4. MAD は加法性を持つ？

持ちません。 分散には $\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ という美しい性質があるが、 MAD には同様の関係はない。 これがロバスト統計が「数学的に扱いにくい」と言われる理由の一つ。

Q5. MAD の信頼区間は？

ブートストラップで計算するのが標準：データから $B = 1000$ 回再標本化し、 各回の MAD を計算、 その分布から信頼区間を取る。 解析的な公式もあるが、 実用ではブートストラップで十分。

Q6. 多変量データの MAD は？

素朴には「マハラノビス距離のロバスト版」として、 MCD（Minimum Covariance Determinant）推定量を使う。 各変数の MAD を独立に取ることもあるが、 相関を無視するため一般的でない。

Q7. 標準偏差より MAD を使うべきタイミングは？

(1) データに外れ値が混じる可能性、 (2) 分布が正規から大きく外れる（歪み・裾の重さ）、 (3) データクリーニング段階、 (4) ロバスト回帰のスケール推定。 「典型的な値の周りのばらつき」を知りたいときは MAD。

Q8. R では？

R では mad(x) 関数が組み込み。 デフォルトで 1.4826 倍されている。 生の MAD が欲しければ mad(x, constant=1)。

Q9. MAD と Median Absolute Error（MAE）はどう違う？

名前が紛らわしいですが別概念。 MAE（平均絶対誤差）は予測モデルの評価指標で $\frac{1}{n}\sum|y_i - \hat{y}_i|$。 MAD（中央絶対偏差）は単一変数のばらつき指標。 「絶対値の平均」と「絶対偏差の中央値」で大きく違う。

Q10. MAD と分位偏差は？

分位偏差（QD）は $(Q_3 - Q_1)/2$、 つまり IQR の半分。 MAD と並ぶロバストばらつき指標だが、 MAD のほうが理論的に扱いやすく標準的。 IQR / 1.349 ≈ $\sigma$ という近似もある（正規分布前提）。

Q11. 「rolling MAD」とは？

時系列で「直近 $w$ 期の MAD」を窓スライドで計算するもの。 pandas なら series.rolling(window=20).apply(lambda x: np.median(np.abs(x - np.median(x))))。 異常検知でよく使う。

Q12. MAD を負の値に対しても定義できる？

はい、 普通に定義できる。 中央値からの絶対偏差なので、 元の値の符号は関係ない。 例：気温データ（−10〜+35℃）でも問題なく計算可能。

🧠 MAD の核心 — 二重中央値の威力

MAD (Median Absolute Deviation) は 「中央値からの絶対偏差の中央値」。 標準偏差 (SD) が「平均からの二乗偏差の平方根」であるのに対し、 MAD は二重に「中央値」を使うことで 外れ値の影響を完全に有界化します。

$$\mathrm{MAD} = \mathrm{median}_i\!\left(|x_i - \mathrm{median}_j(x_j)|\right)$$

正規分布では $\mathrm{MAD} \approx 0.6745 \sigma$、 つまり $\hat\sigma_{\text{MAD}} = 1.4826 \cdot \mathrm{MAD}$ で SD と同等のスケールに変換できます。 SSDSE-B-2026 の総人口を見ると、 SD は東京都の影響で大きく出ますが、 MAD は中央値ベースなので「典型県のばらつき」を反映します。

📊 分散指標 — 6 種類の比較

Sn と Qn (Rousseeuw & Croux, 1993) は MAD より高効率ですが、 計算量と複雑性で MAD が事実上の標準です。 scikit-learn や scipy には MAD のみ実装されています。

🎯 Modified z-score による外れ値検出

Modified z-score による外れ値検出：

$$M_i = \frac{0.6745 (x_i - \mathrm{median}(x))}{\mathrm{MAD}}$$

Iglewicz & Hoaglin (1993) は $|M_i| > 3.5$ を外れ値の閾値として提案。 SSDSE-B-2026 の総人口で計算すると、 東京都・神奈川県・大阪府をはじめ 9 都道県が $|M_i| > 3.5$ で検出されます。 これは通常の $|z_i| > 3$ ルール（SD ベース）では東京都しか検出されないこともあります（masking 効果）。

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]
pop = df['A1101'].to_numpy(dtype=float)
med = np.median(pop)
mad = stats.median_abs_deviation(pop)
M = 0.6745 * (pop - med) / mad

outliers = np.where(np.abs(M) > 3.5)[0]
print(f'外れ値: {df.iloc[outliers, 2].tolist()}')
print(f'σ̂_MAD = {1.4826 * mad:,.0f}')
print(f'σ̂_SD  = {pop.std(ddof=1):,.0f}')

🎓 Masking 効果 — なぜ SD では足りないか

Masking 効果（外れ値が自身を隠す現象）の数学：

SD = $\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ は外れ値自身を計算に含めるので、 「外れ値があると SD が大きくなり、 すると外れ値が z スコア的に普通に見える」。 これが masking。 MAD は外れ値の影響を有界に抑えるので、 SD ベースで隠れた外れ値も検出できます。

SSDSE-B-2026 では、 もし「東京は外れ値か？」を SD ベースで判定すると、 東京の存在が SD を吊り上げるため、 通常の閾値（3σ）に収まることがあります。 一方 MAD ベースなら、 東京は明確に外れ値として識別されます。

🔗 隣接手法への橋渡し

MAD (中央絶対偏差) は単独の指標というより、 外れ値に頑健な散布度を測りたいときに分散・標準偏差の代替として使う。 上流の中央値計算、 並列の IQR / 四分位偏差、 下流の MAD ベース正規化 (Robust Scaler) と組み合わせて使う。

• 上流 (前段処理): 外れ値検出前処理 — 中央値ベースで頑健な散らばりを測る前段
• 並列 (代替/比較): 標準偏差 / IQR — 正規性仮定が成り立つときの代替散布指標
• 下流 (後段活用): ロバスト統計推定 — 修正 Z スコアによる外れ値除去判定

SSDSE-B-2026 の県別人口は東京・大阪が外れ値で標準偏差が肥大化する。 そこで MAD = median(|xi - median(x)|) で散布度を測り、1.4826 倍して標準偏差スケールに変換し、ロバスト Z スコア (xi - median) / MAD で異常検知する、 という三段構成が現場の標準。

🌳 決定木 — どのロバスト散布度を選ぶか

🌳 決定木 — どのロバスト散布度を選ぶか

🧪 モンテカルロ実験 — MAD と SD の汚染下での挙動

「MAD の方が頑健」は理論ですが、 シミュレーションで体感するのが一番です。 以下のコードを実行すると、 5% 汚染で SD は 4 倍以上に膨らみ、 MAD はほぼ動かないことが分かります。

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# 汚染下での SD vs MAD 比較
import numpy as np
from scipy.stats import median_abs_deviation

def simulate(n=1000, eps=0.05, scale_contam=10, n_sim=1000):
    sds, mads = [], []
    for _ in range(n_sim):
        # (1-ε) N(0,1) + ε N(0, scale²) の混合
        clean = np.random.standard_normal(int(n*(1-eps)))
        contam = np.random.standard_normal(int(n*eps)) * scale_contam
        x = np.concatenate([clean, contam])
        sds.append(np.std(x, ddof=1))
        mads.append(median_abs_deviation(x, scale='normal'))
    return np.mean(sds), np.std(sds), np.mean(mads), np.std(mads)

# 汚染 0%, 1%, 5%, 10%, 20% で比較
print(f"{'eps':<6}{'SD(mean)':<12}{'SD(std)':<12}{'MAD(mean)':<12}{'MAD(std)':<12}")
for eps in [0.0, 0.01, 0.05, 0.10, 0.20]:
    sd_m, sd_s, mad_m, mad_s = simulate(eps=eps)
    print(f'{eps:<6.2f}{sd_m:<12.4f}{sd_s:<12.4f}{mad_m:<12.4f}{mad_s:<12.4f}')

典型的な出力結果：

SD は汚染 1% で既に 45% 増、 5% で 2 倍以上、 20% で 4.5 倍まで肥大化。 一方、 MAD は汚染 5% でもわずか 2% 増、 20% でも 14% 増に留まる。 「MAD は外れ値の影響を真に有界に保つ」という主張の数値的裏付けです。

📊 SSDSE-B-2026 での実測値（再現コード付き）

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# SSDSE-B-2026 で SD と MAD を計算して並べる
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import median_abs_deviation

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv',
                 encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df.iloc[:, 0] == 2023]  # 2023 年度・47 都道府県

# 全データ vs 東京を除いたデータで SD と MAD を比較
for use_tokyo in [True, False]:
    sub = df if use_tokyo else df[df['Prefecture'] != '東京都']
    x = sub['A1101'].astype(float).values  # A1101 = 総人口
    sd = np.std(x, ddof=1)
    mad = median_abs_deviation(x, scale='normal')
    label = "全47県" if use_tokyo else "東京除く46県"
    print(f'{label}: SD={sd:9.0f}  MAD={mad:9.0f}  比={sd/mad:.2f}')

典型出力：

全47県:      SD=  2797551  MAD=   923661  比=3.03
東京除く46県: SD=  2242451  MAD=   872511  比=2.57

東京都を含めると SD/MAD 比が 3.03 ＝ 明確な外れ値あり。 東京都を除いても比は 2.57 でまだ 1.5 を上回る — 神奈川県・大阪府など大都市圏が残るため、 単に東京都 1 県を抜くだけでは正規には戻りません。 一方 MAD は 923,661→872,511 とほとんど動かず、 「典型県のばらつき」を一貫して表現していることがわかります。 SD だけが外れ値の増減に敏感に反応します。

🗣 ナラティブ — 「散らばりをどう測るか」という根本問

SD は「平均からの距離の二乗の平均の平方根」。 美しい数学的性質を持ち、 ガウス分布の最尤推定量でもあります。 しかし二乗という操作が外れ値の影響を増幅する弱点を持ち、 1 つの巨大な外れ値が SD を桁違いに肥大化させる。 これは現代統計学が直面する基本問題でした。

MAD は「中央値からの距離の中央値」。 シンプルだが効果絶大で、 (1) 破壊点 50%、 (2) 影響関数が有界、 (3) 計算容易――の三拍子が揃います。 教科書的に効率 37% と言われる弱点も、 「外れ値混入下では SD が崩壊するから実効効率は MAD が上」という現代的観点では大した問題ではありません。 むしろ MAD は「現代統計学の常識」になりつつあると言えます。

SSDSE-B-2026 のように一部の巨大県（東京・大阪）を含む小サンプル（n=47）データでは、 SD 単独報告はミスリードに繋がります。 MAD を併記し、 「典型県と異常値を分けて議論する」文化を作ること――これが統計家としての社会的責任の一部であり、 MAD という小さな指標が持つ大きな意味でもあります。

この視点は機械学習時代になっても色褪せていません。 異常検知のリアルタイムシステム、 サイバーセキュリティの侵入検知、 自動運転の障害物センサの故障判定――いずれも「正常データのばらつき」を MAD で推定し、 「中央値 ± k·MAD を超えれば異常」というシンプルなルールで動いています。 シンプルだからこそ実装が容易で、 シンプルだからこそ説明可能。 MAD は 20 世紀の統計の遺産であり、 21 世紀の機械システムの基盤でもあるのです。

🌟 追加応用例 — MAD が活きる「もう一段深い」場面

📡 通信信号の SNR 推定

無線通信では「信号 + ノイズ」のうち、 ノイズ量を推定する必要があります。 高い瞬間電力（spike）が混じることが多く、 SD ベース推定は SNR を過大評価しがち。 MAD ベース推定なら spike の影響を排除し、 「典型的ノイズレベル」を正しく推定できます。 4G/5G の信号処理パイプラインで実装済みです。

🏛 経済統計のロバスト要約

所得分布のような重い裾の分布では、 SD はトップ 0.1% に支配されます。 OECD や厚労省の所得統計でも「中央値・MAD ベース」での要約が増えており、 「典型的世帯のばらつき」を語る文化が定着しつつあります。 SSDSE-B-2026 の都道府県データでも同じ考え方が活きます。

🧬 single-cell RNA-seq

遺伝子発現解析の単細胞シーケンシング (scRNA-seq) では、 個々の細胞ごとに発現量の MAD を計算し、 doublet（二細胞）を検出します。 これは Seurat や scanpy といった主要ライブラリで標準実装。 数百万細胞のスケールで MAD ベース品質管理が走っています。

🛰 衛星画像の cosmic ray 除去

CCD/CMOS センサに宇宙線が当たると、 一画素に巨大な値が記録されます。 ハッブル・ジェイムズウェッブ宇宙望遠鏡のパイプラインでは、 画像の各画素について「近傍 MAD ベース閾値」を計算し、 cosmic ray を自動除去します。 統計学の理論が宇宙の最先端観測を支えている例です。

⚙ IoT センサ異常検知

工場の IoT センサは年中無休でデータを送信します。 センサの誤動作、 通信エラー、 一時的スパイクが頻繁に発生する中で、 「正常状態の散布度」を MAD ベースで推定し、 リアルタイムに異常検知。 単純な閾値で実装可能なため、 エッジコンピュータでも動作します。

📈 アルゴリズム取引のリスク管理

高頻度取引 (HFT) では、 ミリ秒単位で価格変動を監視。 SD ベースだとフラッシュクラッシュ時に閾値が爆発し、 全注文停止に至ります。 MAD ベース閾値なら過去 1 分間の典型変動に基づく安定した監視ができ、 アルゴリズム取引の事故防止に貢献。

🏥 ICU バイタルサイン監視

集中治療室 (ICU) の心拍・血圧モニターは、 個人ごとの「正常範囲」の MAD を学習し、 中央値 ± 3·MAD を逸脱したら看護師にアラート。 SD ベースだと体動・センサずれで誤警報多発、 MAD ベースなら「真の異常」だけを検知できます。 ICU の alarm fatigue 問題（誤警報多発で看護師が無視）への対策技術として注目されています。

🌍 地震計のキャリブレーション

地震計の長期記録は人為的ノイズ（工事、 交通振動）と真の地震が混在します。 ノイズレベル推定に MAD を使うことで、 工事や交通振動の影響を受けず、 「真の地震活動の閾値」を安定して定めることができます。 USGS や気象庁の地震監視システムで MAD ベース処理が組み込まれています。

📊 SSDSE-B-2026 への応用展望

SSDSE-B-2026 は 47 都道府県 × 100+ 指標の大規模な公的統計。 「全指標について SD と MAD を並べた要約表」を作成するだけで、 「どの指標で外れ値（東京・大阪など）の影響が大きいか」が一目で分かります。 さらに MAD-Z score でランキングを作れば、 「平均的な県」と「特殊な県」を分類でき、 政策提言の根拠資料として価値が高まります。 単なるロバスト統計の練習ではなく、 「正しい統計報告」の実例として SSDSE-B-2026 と MAD は相性抜群です。

🎴 サマリーカード — MAD 早見ボード

MAD を採用するか別のロバスト散布度に切り替えるかは、 (1) 外れ値混入率、 (2) サンプルサイズ、 (3) 効率 vs 解釈性のトレードオフ、 で判断する。 SSDSE-B-2026 の県別人口のように東京が極端な場合は MAD ×1.4826 が第一選択。

1. Step 1: 分布の形は?
   • ほぼ正規 → 標準偏差 (SD) で OK、 MAD は不要
   • 裾が重い / 外れ値混入 5% 以下 → MAD ×1.4826 (breakdown 50%)
   • 汚染 10% 以上 / 多変量 → MCD (最小共分散行列式) でロバスト推定
2. Step 2: サンプルサイズ・効率は?
   • n < 50 → IQR/1.349 (バイアス補正の手間少)
   • n >= 50 + 効率 82% 目標 → Qn 推定量 (Rousseeuw-Croux)
   • 時系列スパイク除去 → Hampel フィルタ (移動窓 MAD)
3. Step 3: 外れ値判定の保守性は?
   • 探索的 → 中央値 ± 2.5·MAD で広めに拾う
   • 標準 → 中央値 ± 3·MAD (modified Z-score > 3.5 に対応)
   • 報告用・保守的 → 中央値 ± 3.5·MAD で誤検出を抑える

SSDSE-B-2026 47 都道府県人口を分析する場合、 東京 (1400 万) と鳥取 (55 万) があるため SD は外れ値に引っ張られて意味を失う。 中央値 200 万 ± 3·MAD で外れ値判定すると東京・神奈川・大阪が候補となり、 これら 3 都府県を別群として扱うか否かを決定できる。

🎮 触って理解する

数直線上の点をドラッグして動かすと、 中央値・MAD・平均・標準偏差(SD)がリアルタイムに再計算されます。 特に一番右の赤い点(外れ値)を大きく動かして、 MAD(頑健)がほとんど動かないのに対し SD が大きく暴れる様子を体感してください。 このページの MAD は median(|xᵢ − median(x)|)、 つまり「中央値からの絶対偏差」を「もう一度中央値」で集約したものです。

読み方: 上段の数直線でオレンジ線が中央値、 その周りのオレンジ帯が±MAD。 青の破線が平均、 青帯が±SD。 下段の横棒は各点の|xᵢ − 中央値|を短い順に並べたもので、 真ん中の棒(＝その中央値)が MAD です。 外れ値の棒だけが飛び抜けて長くても、 「真ん中の棒」は動かない — これが MAD が頑健である理由の可視化です。

💡 直感

MAD は「ズレの絶対値を並べて真ん中を取る」だけ。 上段で外れ値を右へ引っ張ると、 下段では一番長い棒(外れ値のズレ)がぐんぐん伸びますが、 真ん中の棒(MAD)は不動です。 一方 SD は全点の二乗平均なので、 外れ値 1 個の巨大なズレが二乗で効いて青帯が大きく広がります。 「並べて真ん中」＝順位ベースだから外れ値に強い、 を手で確かめられます。

⚠️ よくある落とし穴 — 「MAD」の2つの定義

同じ略語 MAD に、 実は 2 つの別物があります。 混同は初学者の最頻ミスです。

上の触って理解するツールが計算しているのは前者(中央値版)です。 後者(平均版)は中心も集約も平均なので、 外れ値に対する頑健性を持たず、 このツールで示している「外れ値でも不動」という性質はありません。 論文やライブラリで「MAD」を見たら、 どちらの定義か必ず確認してください(scipy の median_abs_deviation、 R の mad() はいずれも中央値版)。

🚀 発展 — σ 換算(×1.4826)を数直線で確かめる

正規分布では MAD ≈ 0.6745σ なので、 σ̂ = 1.4826 × MAD で SD と同じスケールに換算できます。 読み取りパネルの「1.4826×MAD」と「SD」を見比べてみましょう。 外れ値がないときは両者が近い値になりますが、 外れ値を極端にすると SD だけが跳ね上がり、 1.4826×MAD はほぼ据え置き。 この乖離の大きさが「データが正規からどれだけ汚染されているか」のバロメータになります(乖離が大きいほど外れ値の影響大)。 さらに |xᵢ − median| / MAD > 3 をロバストな外れ値判定に使えます。

関連ページ: 中央値 ／ 標準偏差 ／ 四分位範囲(IQR) ／ ロバスト統計 ／ 外れ値 ／ 正規分布

🔬 解説深化 — MAD を「診断計」として使う

ここまでのページで「MAD は外れ値に強い散布度」であることは分かりました。 この追補では一歩進めて、 MAD を「データの汚染度・歪みを測る診断計」として使う視点を、 SSDSE-B-2026 の 2023 年・47 都道府県データの実測値で確かめます。

💡 直感 — 比 SD / (1.4826×MAD) は「外れ値汚染メーター」

正規分布に近いデータなら $\hat{\sigma} = 1.4826 \times \mathrm{MAD}$ は SD とほぼ一致するので、 比 $R = \mathrm{SD} / (1.4826 \times \mathrm{MAD})$ は 1 に近いはず。 逆に $R$ が 1 から大きく離れるほど「少数の極端値が SD を膨らませている」サインです。 SSDSE-B-2026 の 2023 年データ全 109 列(MAD>0 の数値列)でこの比を実際に計算すると、 変数ごとの「汚染度」が一目でランキングできます。

傾向は明快で、 「県の規模に比例する絶対数」(人口・学生数・宿泊者数)は比が大きく、 「率・世帯あたり量」(リサイクル率・世帯支出)は比が 1 前後。 分析前にこの比を全列に流すだけで、 「どの変数は中央値+MAD で報告すべきか」を機械的にスクリーニングできます。

⚠️ 落とし穴(重要) — 右に歪んだデータでは「対称な ±3MAD」が片側しか見えなくする

MAD 外れ値判定(modified z-score $M_i = 0.6745(x_i-\tilde{x})/\mathrm{MAD}$、 $|M_i|>3.5$)は中央値の左右で同じ幅を仮定します。 ところが都道府県人口のような右歪みデータでは、 この対称仮定が静かに壊れます。 実測(総人口 A1101、 2023 年)では:

• 上側: $M_i>3.5$ が 9 県も出る — 東京 13.57、 神奈川 8.31、 大阪 7.81、 愛知 6.42、 埼玉 6.26、 千葉 5.10、 兵庫 4.14、 福岡 3.85、 北海道 3.84
• 下側: 最小の鳥取県でさえ $M_i = -1.10$。 下側の外れ値は原理的に 1 つも検出できない(中央値 154.9 万人より下の県は 0 人以下になれない以上、 大きく離れようがない)

つまり「9 県が外れ値」という判定は、 外れ値の異常さではなく分布の歪みを検出している可能性が高い。 埼玉・千葉・兵庫・福岡・北海道を「異常値」として除外してしまうと、 大都市圏という構造的な情報ごと捨てることになります。 対称 ±k×MAD の判定を歪んだデータに機械的に当てるのは、 実務で最も起きやすい MAD の誤用の一つです。

🚀 発展 — Double MAD(左右別 MAD)で歪みに対応する

対処法の一つが double MAD(左右非対称 MAD): 中央値より下の点は「下側だけで計算した MAD」、 上の点は「上側だけで計算した MAD」でスケールします。 総人口(2023 年)の実測では:

• 通常の MAD = 62.3 万人 に対し、 左側 MAD = 51.5 万人、 右側 MAD = 108.8 万人(右裾が左裾の約 2.1 倍広い — 歪みの定量化にもなる)
• 右側の点を右側 MAD でスケールし直すと、 $M_i>3.5$ の県は 9 県 → 5 県(東京 7.78、 神奈川 4.76、 大阪 4.47、 愛知 3.68、 埼玉 3.59)に絞られ、 千葉・兵庫・福岡・北海道は「右裾の厚さの範囲内」と判定が変わる

もう一つの定番は対数変換してから MAD を取る方法(規模に比例する変数に有効)。 いずれも「MAD が使えないのではなく、 歪みを測ってから MAD の当て方を変える」という発想です。 左右 MAD の比(ここでは 108.8/51.5 ≈ 2.1)は、 歪度の頑健な代替指標としてそのまま報告する価値があります。

🔗 関連ページ

対数変換(歪み対策の定番) ／ 外れ値処理(検出した後どうするか) ／ 箱ひげ図(IQR ベースの視覚版) ／ MAE(同じ「絶対偏差」でも予測誤差指標) ／ 分位数(左右 MAD の一般化) ／ ヒストグラム(歪みをまず目で確認)

※ 本セクションの数値はすべて SSDSE-B-2026(2023 年度・47 都道府県)から Python (pandas/numpy) で実際に算出した実測値。