🎨 概念図で押さえる

VIF（分散拡大係数）は、 説明変数同士の相関が回帰係数の推定分散をどれだけ増幅するかを表す。 多重共線性の有無を視覚化する 3 枚を見ておくとイメージが固まる。

✅ 理解度チェック

1. VIF の定義式 1/(1−R²) を説明できるか。
2. VIF が 5・10 を超えた場合の一般的な解釈と対処を 1 つ挙げられるか。
3. 多重共線性が回帰係数の標準誤差に与える影響を説明できるか。
4. VIF と相関係数の違いを 1 行で述べられるか。

🧮 数式に値を入れて手で計算する: VIF

合成 3 変数 R² から VIF を計算する。

Step 1: R² と VIF

Step 2: 判定

🐍 Python で再現

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import numpy as np
r2 = np.array([0.20, 0.70, 0.95])
vif = 1 / (1 - r2)
print(f"VIF: {vif}")

📤 実行結果

💬 手計算 (Step 1) と Python 出力が完全一致。

🔗 隣接手法への橋渡し (VIF 補助)

VIF は重回帰の係数解釈を保証する診断指標であり、 以下のフローで隣接手法と連結する。

• 上流 (前処理): 標準化 で単位差を排除、 中心化で 2 次項の VIF 膨張を予防
• 並列 (補助指標): 条件数 κ、 許容度 (1/VIF)、 相関行列固有値
• 下流 (対処): リッジ回帰 で正則化、 Lasso で変数選択自動化、 主成分回帰 で直交化

SSDSE-B-2026 では「規模変数同士の高 VIF (=100 超) → 比率化 (1 人あたり指標) で解消」が定石。

🔖 キーワード索引

「vif」は統計データ分析の文脈で扱う重要概念のひとつ。 本ページでは「vif」を取り巻く中核キーワードを以下にチップで一覧化する。 各キーワードは関連する概念・手法・道具立てを含み、 文献検索や学習計画の起点になる。

これらのキーワードは「vif の理解 → 適用 → 検証」のプロセスを構成する。 各章で詳しく解説する。

🎨 直感で掴む

VIF (Variance Inflation Factor、 分散拡大要因) は「ある説明変数が他の説明変数とどれだけ重複しているか」を測る指標だ。 例えば SSDSE-B-2026 で「総人口」と「高齢人口」を両方説明変数に入れると、 両者は強く相関しているため、 一方の係数を「高齢人口を一定にしたときの総人口の影響」と読むことが難しくなる。 VIF はこの「重複度」を数値化し、 10 を超えれば多重共線性が深刻と判断する慣習がある。

直感的には「説明変数 X_j を、 他の説明変数で重回帰したときの決定係数 R²_j」を使い、 VIF_j = 1 / (1 - R²_j) で求める。 R²_j が 0.9 なら VIF=10、 0.95 なら VIF=20。 つまり「他の変数で X_j の動きの 9 割が説明できるなら、 X_j を独立に解釈するのは無理」というシグナルになる。

具体例として、 SSDSE-B-2026 の「総人口」「年少人口」「高齢人口」「出生数」の 4 列で VIF を計算する。 次節以降で「数式 → 値代入 → 手計算 → statsmodels.variance_inflation_factor」の流れを再現する。

📐 数式または定義

VIF の定義は明確かつ一意である。 各説明変数ごとに次の式で計算する。

$$\text{VIF}_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$$

ここで $R_j^2$ は「説明変数 $X_j$ を、 残りすべての説明変数 $X_{-j}$ で回帰したときの決定係数」である。 つまり「$X_j$ を他の変数たちで予測したときに、 どれだけ説明できるか」。 $R_j^2$ が大きいほど多重共線性が強い。

$$\text{VIF}_j = 1 \ (R_j^2=0) \quad \Rightarrow \quad \text{完全独立}$$

$$\text{VIF}_j = 10 \ (R_j^2=0.9) \quad \Rightarrow \quad \text{多重共線性が強い、 要対処}$$

$$\text{VIF}_j = \infty \ (R_j^2=1) \quad \Rightarrow \quad \text{完全多重共線、 推定不可能}$$

実用的な閾値は VIF=10 (R²_j=0.9)、 厳しい基準では VIF=5 (R²_j=0.8) を採用する。

🔬 数式を言葉で読み解く

VIF の数式に含まれる記号を、 日本語の意味に翻訳する。

• j — 説明変数のインデックス (1 から p まで)。 p 個の説明変数があれば VIF も p 個出力される
• $X_j$ — j 番目の説明変数 (例: 総人口の列)
• $X_{-j}$ — j 番目を除いた残り p-1 個の説明変数のセット
• $R_j^2$ — $X_j$ を $X_{-j}$ で回帰した決定係数。 0〜1 の範囲
• $1 - R_j^2$ — 「$X_j$ のうち、 他の変数で説明できなかった独自情報の割合」
• VIF=1 — $X_j$ は他のどの変数とも無相関 (理想)
• VIF=10 — $X_j$ の動きの 9 割が他で説明される (要対処)

VIF は「係数推定の標準誤差が独立な場合と比べて何倍になるか」も同時に表す。 VIF=10 なら標準誤差は √10 ≒ 3.16 倍に膨らみ、 t 値が小さく出て「有意でない」と誤判断する原因になる。

🧮 実値で計算してみる

SSDSE-B-2026 の「総人口 (A1101)」「年少人口 (A1301)」「高齢人口 (A1303)」「出生数 (A4101)」 の 4 変数で VIF を手計算する。 VIF_総人口 を計算するため、 「総人口 = β0 + β1*年少人口 + β2*高齢人口 + β3*出生数」 の補助回帰を行う。

4 変数とも県の人口規模と連動するため、 VIF が爆発的に大きくなる。 実務では「総人口だけ残す」「比率に変換する (高齢化率=高齢人口/総人口)」などの対処が必要。

🐍 Python 実装

🎯 このコードでやること: SSDSE-B-2026（2023 年度）の 4 つの人口系変数 (総人口・年少人口・高齢人口・出生数) に対し、 statsmodels の variance_inflation_factor で VIF を計算し、 多重共線性を診断する。

📥 入力データ: SSDSE-B-2026 (47 都道府県 × 100 超列) の CSV。 4 列を抽出する。

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import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
from statsmodels.tools.tools import add_constant

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]                # 2023 年度のみ

cols = ['A1101', 'A1301', 'A1303', 'A4101']        # 総人口/年少人口/高齢人口/出生数
X = add_constant(df[cols].astype(float))           # 切片を加えたデザイン行列
vif = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]
for name, v in zip(X.columns, vif):
    print(f'{name}: VIF={v:.1f}')

📤 実行結果:

💬 結果の読み方: const 以外の全変数で VIF が 100 を超え、 極めて深刻な多重共線性。 4 変数すべてが「県の人口規模」と連動しているため。 対処として、 (1) 総人口だけ残す、 (2) 比率化 (高齢化率=A1303/A1101) する、 (3) 主成分分析で次元圧縮、 のいずれかを選ぶ。 A1101 の VIF=314.7 は手計算 (Step 3 の VIF≒315) と一致する。

⚠ 落とし穴

VIF を実務で使う際の典型的な落とし穴を列挙する。

• 閾値の機械的適用: VIF>10 で即除去ではない。 例えば 2 次項 (x、 x²) のように本来相関する変数は VIF が高くても問題なく、 中心化 (x - mean(x)) で解消する。
• カテゴリ変数の VIF 誤読: ダミー変数化したカテゴリは互いに排他的なので VIF が高くなりやすい。 GVIF (Generalized VIF) や全体としての p 値で判断する。
• 切片の扱い: statsmodels の variance_inflation_factor を切片なしで使うと結果が大きく変わる。 add_constant で切片列を明示的に追加して計算する。
• 因果効果との混同: VIF が高くても予測精度には影響しない。 影響を受けるのは「個別変数の係数解釈と標準誤差」のみ。 予測目的なら無視できる場合もある。
• 規模変数の同時投入: SSDSE-B-2026 のように「総人口」「世帯数」など全て規模変数を入れると、 VIF が 100 を超えることが多い。 比率化や PCA で対処する。

🌐 関連手法・派生

VIF は重回帰分析の診断指標群の一部であり、 以下の手法と組み合わせて使う。

• 上位概念: 多重共線性 (multicollinearity)、 重回帰分析、 回帰診断統計量
• 並列手法 (代替指標): 条件数 (Condition Number)、 許容度 (Tolerance = 1/VIF)、 相関行列の固有値
• 前段処理: 標準化、 中心化 (2 次項対応)、 カテゴリエンコード
• 後段処理: 変数選択 (高 VIF 変数の除去)、 リッジ回帰 (正則化で対処)、 主成分分析 (次元圧縮)
• 派生: GVIF (Generalized VIF、 多自由度変数用)、 時系列 VIF
• 競合解決法: Lasso (自動変数選択)、 Elastic Net (相関グループ保持)

SSDSE-B-2026 のように規模変数が多いデータでは、 VIF 診断 → 比率化 or リッジ正則化 という流れが標準パターンとなる。

🔗 関連用語

VIF を学ぶ際に併読すると理解が深まる関連用語を 3 区分で整理する。

• 前提概念: 重回帰分析、 決定係数 R²、 標準誤差、 最小二乗法 (OLS)
• 並列概念: 条件数、 許容度、 固有値解析、 相関行列
• 発展概念: リッジ回帰、 Lasso、 主成分回帰、 PLS 回帰、 変数選択法

VIF は問題の検出指標、 リッジ / Lasso / PCA は対処手法という位置関係を意識すると体系が見える。

📚 関連グループ教材

VIF を学ぶ際に併読すると理解が深まる関連グループ教材を以下にまとめる。

• 📚 用語集トップ — 全 514 用語のインデックス
• 🌐 関連手法・派生 — VIF と関連する具体的な手法群
• 🔗 隣接手法への橋渡し — VIF と組み合わせる前段・後段手法
• 🌳 手法選択フロー — VIF を含む手法の使い分け判断
• 🗺 全体概念マップ — 用語集全体の関係図

これらを順に参照することで、 VIF を中核とした分析の体系的理解が得られる。

🗺 概念マップ

VIF を中心に、 関連する概念・上位カテゴリ・応用領域を放射状に配置した。

🔗 隣接手法への橋渡し

VIF は多重共線性診断の中核指標であり、 前後の手法と以下のように接続する。

典型フロー: 重回帰実行 → VIF 計算 → 10 超の変数あり → 比率化 or リッジ or 変数除去 → 再フィット。

🌳 手法選択フロー

VIF の値に応じた対処法の選択フロー。 まず VIF を全変数で計算し、 最大値に応じて分岐する。

VIF 値別の対処フロー

対処後の検証ステップ

1. VIF 再計算: 対処後に全 VIF が 10 未満に収まっているか確認
2. 係数の符号一致: 対処前後で符号や大小関係が大きく変わらないかチェック
3. 予測性能の維持: 変数除去後も R² や RMSE が許容範囲か CV で評価
4. 解釈の明確化: 残した変数の係数が分野知識と整合するか確認
5. 条件数との照合: VIF だけでなく κ (条件数) も併用、 両方で問題なしを確認

🔬 補強：VIF の数式的深掘り — 固有値と条件数

VIF は多重共線性の代表指標ですが、 説明変数行列 X の 固有値 と 条件数 に翻訳すると、 なぜ大きい VIF が「数値的不安定」を生むのかが透けて見えます。 SSDSE-B-2026 を題材に、 設計行列の構造から VIF へ降りる道筋を辿ります。

📐 設計行列と分散共分散

標準化された説明変数行列を Z（n×p）とすると、 OLS 推定量の分散は次の形を取ります。

Var(β̂) = σ² (ZᵀZ)⁻¹

(ZᵀZ) を固有値分解すると ZᵀZ = U Λ Uᵀ（Λ は固有値の対角行列）。 VIF が大きくなる方向 = (ZᵀZ)⁻¹ の固有値が小さい方向 = 共線性の「同じ向き」の固有ベクトル。 つまり VIF=10 以上の変数は、 設計行列のある方向で情報がほぼゼロになっていることを意味します。

🧮 SSDSE-B-2026 で固有値を見る

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import pandas as pd, numpy as np
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]  # 2023 年度のみ
X = df[['A1101', 'A4101', 'A1301', 'A1303']].astype(float)  # 総人口/出生数/年少/高齢
Z = (X - X.mean()) / X.std()
# 共分散行列の固有値
eig = np.linalg.eigvalsh(Z.T @ Z / len(Z))
cond_number = np.sqrt(eig.max() / eig.min())
print('固有値:', np.round(eig, 4))
print('条件数:', round(cond_number, 1))
# 実測出力(2023): 固有値 [≈0.0009, 0.003, 0.021, 3.89]、 条件数 ≈ 64.3
# → 条件数 > 30 で深刻、 100 超で危機的

📊 VIF と固有値の対応表

🐍 主成分回帰で VIF を「畳む」

VIF が大きい変数群を主成分（PC）に縮約すれば、 PC 同士は直交（共線性ゼロ）。 SSDSE-B-2026 の人口変数 4 つを 2 主成分に縮約すれば、 累積寄与率 99% を保ちつつ VIF=1 を実現できます。

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from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
Z_pc = pca.fit_transform(Z)
print('寄与率:', pca.explained_variance_ratio_.round(3))
# 主成分回帰モデルで Var(β̂) は安定化

💡 実務メモ：VIF が示すのは「数値的不安定さ」であって「予測性能の悪さ」ではない。 予測だけが目的なら Ridge 回帰のような正則化、 解釈が目的なら主成分や変数削減、 と目的別に対処法を選びましょう。

📚 補強2：VIF の閾値「10」の根拠と多変量診断のベストプラクティス

「VIF > 10 は深刻」「VIF > 5 は注意」という閾値はどこから来たのでしょうか。 実は厳密な統計的根拠というよりは、 経験的な慣習に近いものです。 SSDSE-B-2026 で実際に検証してみると、 閾値だけに頼ることの危険性が見えてきます。

📊 閾値の歴史的経緯

O'Brien (2007) は A Caution Regarding Rules of Thumb for Variance Inflation Factors で、 VIF=10 という閾値が「絶対的な意味を持たない」と警鐘を鳴らしました。 サンプルサイズ・モデルのフィット・他の説明変数の数を考慮した相対的判断が必要です。

🔬 サンプルサイズで閾値の意味は変わる

同じ VIF=10 でも、 n=30 と n=3000 では信頼区間の幅がまったく違います。 大標本では VIF=20 でも実用的に問題ないケースがあり、 小標本では VIF=5 でも係数推定が破綻するケースがあります。

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import pandas as pd, numpy as np
import statsmodels.api as sm

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]  # 2023 年度のみ (47 都道府県)
n = len(df)

# 信頼区間の幅は std_err × t_critical に比例
# std_err は √VIF に比例
X = sm.add_constant(df[['A4101', 'A1301', 'A1303']].astype(float))
model = sm.OLS(df['A1101'].astype(float), X).fit()
ci = model.conf_int()
ci_width = ci[1] - ci[0]
print(f'n = {n}')
for var in ['A4101', 'A1301', 'A1303']:
    print(f'  {var}: 95% CI 幅 = {ci_width[var]:.2f}')
# n=47 では幅が広く、 同じ VIF でも n=470 なら 1/√10 ≈ 0.32 倍

🌐 「予測 vs 推論」目的別の VIF 対応表

🐍 中心化（centering）で VIF を下げる

多項式項や交互作用項で VIF が爆発する場合、 元の変数を 平均で引いてから（中心化）二乗・乗算すると、 VIF を劇的に下げられます。 これは数学的に等価な変換ですが、 数値計算上は別物として振る舞います。

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import pandas as pd
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932', skiprows=[1])
df = df[df['SSDSE-B-2026'] == 2023]  # 2023 年度のみ

x = df['A1101'].astype(float)  # 総人口

# 中心化なし：x と x²
X1 = pd.DataFrame({'x': x, 'x2': x ** 2})
print('中心化なし:')
for i, c in enumerate(X1.columns):
    print(f'  {c}: VIF = {variance_inflation_factor(X1.values, i):.1f}')

# 中心化あり
x_c = x - x.mean()
X2 = pd.DataFrame({'x_c': x_c, 'x_c2': x_c ** 2})
print('中心化あり:')
for i, c in enumerate(X2.columns):
    print(f'  {c}: VIF = {variance_inflation_factor(X2.values, i):.1f}')
# 実測(2023): 中心化なし VIF≈5.4、 中心化あり VIF≈2.6（総人口は右に歪むため低減は緩やか）

💡 実務 4 か条：(1) VIF 単独で判断せず、 標本サイズと目的を併せて評価、 (2) 多項式項は必ず中心化、 (3) ダミー変数は基準カテゴリを意識した解釈、 (4) 高 VIF でも予測目的なら Ridge で正則化、 が王道です。

🎮 触って理解する

2つの説明変数 X1・X2 の相関 r をスライダー（またはグラフを指でドラッグ）で動かすと、 散布図と VIF がリアルタイムに変わります。 説明変数どうしが似てくるほど VIF がどう跳ね上がるかを体感してください。

2変数モデルでは「X1 を X2 で回帰した $R^2$」は相関の2乗に一致します（$R^2 = r^2$）。 したがって $\text{VIF} = 1/(1-R^2) = 1/(1-r^2)$。 計算は正確です。

🧠 直感 — なぜ「分散が拡大」するのか

VIF は文字どおり「係数推定量の分散を何倍に膨らませるか」を表します。 ある説明変数が他の説明変数でほぼ説明できてしまうと（$R^2$ が1に近い）、 回帰はその変数固有の効果を「見分けられなく」なり、 係数の推定が不安定になります。 標準誤差は $\sqrt{\text{VIF}}$ に比例して伸びるため、 VIF=10 なら標準誤差は約 $\sqrt{10}\approx3.16$ 倍。 上のスライダーで r を 0.9 → 0.95 に上げると、 VIF が約 5.3 → 約 10.3 へ跳ね上がり、 VIF>10 の警告境界を越える様子が見えます。

⚠️ よくある落とし穴

• VIF が高い＝予測がダメ、ではない：多重共線性が強くても予測（当てはめ・外挿でない内挿）の精度は落ちません。 困るのは「どの変数がどれだけ効くか」という係数の解釈のほうです。
• VIF は因果の指標ではない：VIF が高くても交絡や因果の話とは別物。 あくまで係数推定量の不安定さを測るだけです。
• 閾値10は絶対ではない：標本サイズ・目的で許容範囲は変わります（このページ上部の「予測 vs 推論」表も参照）。

🚀 発展 — 3変数以上・対処法

説明変数が3つ以上になると $R^2 = r^2$ の単純式は使えず、 各変数を「残りすべて」で回帰した $R^2_j$ が必要です（実データでの計算例はこのページ上部の Python コードを参照）。 高 VIF への対処は、 (1) 片方の変数を落とす、 (2) 比率化（例：高齢化率）、 (3) 主成分に置き換える、 (4) リッジ回帰で正則化、 が定番です。

🔗 関連ページ

• 多重共線性 — VIF が診断する現象そのもの
• 決定係数 R² — VIF の分母 $1-R^2$ の中身
• 相関係数 — 2変数では $R^2 = r^2$
• 重回帰 — VIF が問題になる文脈
• リッジ回帰／正則化 — 高 VIF への対処
• 主成分分析 — 相関の強い変数を独立成分に置き換える

🧭 補強3：別角度からの直感・落とし穴・発展 — 許容度(1/VIF)・標準化不変性・GVIF

ここまでの節（固有値・条件数は「VIF の数式的深掘り」節、 閾値の根拠は「閾値『10』の根拠」節、 変数除去の実演は「実値計算例」節）で扱わなかった別の切り口だけを、 SSDSE-B-2026（2023年・47県）の実測値で補います。

🧠 直感（別角度）— VIF は「2変数の相関」ではなく「残り全部で回帰した R²ⱼ」

よくある誤解は「VIF は 2 変数の相関係数を見ている」というもの。 正しくは、 変数 $x_j$ を残りの説明変数すべてで重回帰したときの決定係数 $R_j^2$ を使い、 $\text{VIF}_j = 1/(1-R_j^2)$ で定義します。 だからペアごとの相関がどれも中程度でも、 3 変数以上が線形に絡めば VIF は跳ね上がります（その「同じ向き」を固有値・条件数で見るのが別節の話）。

許容度（tolerance）= 1/VIF は「その変数の分散のうち、 他変数で説明しきれず残った割合」を表す裏返しの指標です。 tolerance が 0 に近いほど、 その変数は他変数のほぼ線形結合＝固有情報がないことを意味します。 SSDSE-B-2026 の人口系 4 変数（A1101 総人口 / A1301 年少人口 / A1303 高齢人口 / A4101 出生数）の実測：

tolerance が軒並み 1% 未満 ＝ どの人口系変数も「他の 3 つでほぼ再現できる」状態です。

⚠️ よくある落とし穴（別角度）

• 標準化しても VIF は変わらない：単位変換や z 標準化は VIF を下げません。 上の 4 変数を z 標準化して VIF を再計算しても、 実測は 314.74 / 507.28 / 116.41 / 478.47 と1 桁も変わりません。 VIF はスケールに不変な「線形従属の度合い」だからです（下げたいなら中心化ではなく変数の除去・比率化・直交化が必要）。
• ダミー変数群を 1 本ずつ VIF で見ると誤解する：多カテゴリ因子（例：地域）はダミーの本数・基準カテゴリの取り方で個別 VIF が揺れます。 因子全体の共線性は Fox & Monette の一般化 VIF（GVIF）で、 自由度をそろえた $\text{GVIF}^{1/(2\,df)}$ を通常 VIF の $\sqrt{\text{VIF}}$ と同じ土俵で比較します。
• 交互作用項・多項式項の VIF は「見かけ倒し」が多い：$x$ と $x^2$、 $x\cdot z$ は元変数と強相関し VIF が膨らみますが、 説明変数を中心化（平均を引く）するだけで大幅に下がることが多い。 これは「本質的な共線性」ではなく原点の取り方の問題（構造的多重共線性）です。
• 閾値 5/10 は目的次第：予測（内挿）が目的なら高 VIF でも当てはめ精度は落ちず、 気にしなくてよい場面があります。 困るのは個々の係数の解釈・符号の安定性を問う推論のとき（閾値の由来は別節参照）。

🚀 発展（別角度）— GVIF を SSDSE-B-2026 で実測

47 県を全国 7 地域（北海道東北 / 関東 / 中部 / 近畿 / 中国 / 四国 / 九州）に区分した地域因子（ダミー 6 本, df=6）を、 標準化した A1101・A4101 と同じモデルに入れて GVIF を計算した実測：

読み方：地域因子の $\text{GVIF}^{1/(2df)}=1.089$ は $\sqrt{\text{VIF}}\approx1$ 相当でほぼ無害。 一方、 総人口と出生数は互いに強相関のため $\sqrt{\text{VIF}}\approx14$ と深刻です。 因子全体は GVIF、 単一の連続変数は通常 VIF と使い分けるのが要点。 高 VIF への対処は「除去 / 比率化 / 正則化 / 主成分」（各手法は関連ページへ）。

※ 地域区分は都道府県コードから機械的に 7 区分したもの。 GVIF・VIF・tolerance の数値はすべて SSDSE-B-2026（cp932, skiprows=[1], 2023年47県）からの実測です。

🔗 関連ページ（別角度）

• 多重共線性 — VIF・GVIF が診断する現象そのもの
• 標準化 — z 標準化しても VIF が変わらない理由
• 固有値 — 条件数を通じた別の共線性診断（本ページ別節と対）
• 共分散 — VIF の背後にある $(Z^\top Z)^{-1}$ の構造
• 回帰係数 — VIF が膨らませるのは係数の標準誤差