階層ベイズモデルを用いた
学力に対する教育費の費用対効果推定

日本の都道府県ごとの学力格差は改善されつつあるが、いまだに深刻な問題である。原論文は、2017年度の全国学力・学習状況調査【小学生・国語A】と【小学生・算数A】について、都道府県別平均正答率が最も高い県と最も低い県の差を求めると、それぞれ8%ポイント・9%ポイントだったと報告している。2007〜2017年度の推移を見ると格差は徐々に縮小しているものの、いまだに8%ポイントほどの差が残る。

なぜ学力格差にこだわるのか。原論文は先行研究（松浦）を引き、銘柄大学の卒業生は他の層に比べて年収が20.7%程度高いことを紹介する。学力は将来の所得に影響しうるため、都道府県別の学力格差を改善することは急務だ、という問題意識である。

そこで原論文は2つの分析を行う。分析①で各都道府県の「本質的な（真の）学力」を推定し、分析②で各都道府県において教育関連費用が学力に与える費用対効果を調べる。これらを踏まえ「小中学生の学力を向上させるには、どの要因に注目すれば効率的か」を考察する。

状態空間モデル 階層ベイズモデル MCMC 事後分布・信用区間

データと変数

目的変数のもと：全国学力・学習状況調査

学力データには、国立教育政策研究所が2007年度から実施している全国学力・学習状況調査を用いる。小学6年生と中学3年生を対象とした国語・算数（数学）のテストで、最新の令和元年度調査では小学校が全国19,600校中19,455校（約99%）、中学校も95.6%が参加しており、網羅性の高いデータである。原論文は都道府県別の正答率から各年の偏差値を作成した。2011年度・2016年度の熊本県のデータは欠損だったため線形補間している。

説明変数：SSDSE-2020B ・ e-Stat

教育関連の指標は47都道府県の2007〜2017年度のデータを、SSDSE-2020B または e-Stat（学校基本調査・家計調査・地方教育費調査）から入手している。原論文は次の指標から4つの説明変数を作成した。

各都道府県の本質的な学力が1年で急に変わることは考えにくく、前年と似た値を持つのが自然である。そこで原論文は、観測された偏差値 yt は「真の学力（状態 αt）」に正規分布のノイズが乗ったものと考え、状態空間モデル（ローカルレベルモデル）を立てた。

式(1)は「観測＝真の学力＋観測ノイズ」、式(2)は「真の学力は前年からゆっくり動く（ランダムウォーク）」を表す。観測値は2007〜2017年度の計11年分の都道府県別偏差値。原論文はこの推定をMCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ法）で行った。

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# 状態空間（ローカルレベル）モデル：原論文 2-1 節の式(1)(2)
#   y_t = α_t + ε_y   （観測方程式）
#   α_t = α_{t-1} + ε_α （状態方程式）
sigma_a, sigma_y = 0.9, 3.0          # 状態撹乱・観測撹乱の標準偏差

# Kalman フィルタ → RTS 平滑化で「真の学力（状態 α_t）」を推定
m, P = np.zeros(T), np.zeros(T)
for t in range(T):
    P_pred = (P0 if t == 0 else P[t-1]) + sigma_a**2
    m_pred = m0 if t == 0 else m[t-1]
    K = P_pred / (P_pred + sigma_y**2)   # カルマンゲイン
    m[t] = m_pred + K * (obs[t] - m_pred)
    P[t] = (1 - K) * P_pred

print(f"観測の散らばり  = {obs.std():.2f}")
print(f"真の学力の散らばり = {ms.std():.2f}")

観測の散らばり  = 3.34
真の学力の散らばり = 0.42

図1：状態空間モデルの考え方（概念デモ・合成データ）。オレンジの観測（偏差値）は大きく揺れるが、青の「真の学力（状態）」は滑らか。原論文の図4-3（福岡県）と同じく、観測の変動がノイズによるものであることを示す。※これは手法説明用の合成データであり、原論文の実データ・実推定値ではない（再計算ではない）。

分析①で推定した「真の学力」を目的変数、教育関連費用を説明変数として、教育費の費用対効果（回帰係数）を推定する。ここで難しいのは、47都道府県で効果が全く同じと仮定するのは強すぎ、かといって全県で全く違うと仮定するのも強すぎるという点だ。

そこで原論文は階層ベイズモデルを導入する。「県ごとの係数 β_p,j は、共通の事前分布 Normal(β_j, σ_βj) に従う」という緩やかな仮定を置くことで、両極端の中庸を取る。これが部分プーリングの考え方である。

事前分布は無情報事前分布を用いる（σ_p,y・σ_βj は上限100の一様分布、β_j は β=0・σ_β=100 の正規分布）。目的変数は分析①の真の学力、説明変数は生徒・教員比率／教育費（世帯）／教養娯楽費（世帯）／義務教育費（自治体）。MCMC のサンプリングには Pystan・NumPyro（Python）を用いている。

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# 階層ベイズ＝部分プーリング：β_{p,j} ~ Normal(β_j, σ_βj)
#   各県の単独推定を、精度で重み付けしてグループ平均へ縮約する
group_mean, tau = 3.0, 2.0            # 事前分布の中心 β_j と 県間ばらつき σ_βj
w = (1/se**2) / (1/se**2 + 1/tau**2)  # 精度に応じた重み（0〜1）
partial = w * nopool + (1 - w) * group_mean

print(f"非プーリングの散らばり  = {nopool.std():.2f}")
print(f"部分プーリングの散らばり = {partial.std():.2f}")

非プーリングの散らばり  = 1.63
部分プーリングの散らばり = 1.33

図2：階層ベイズ＝部分プーリングの概念デモ（合成データ）。オレンジ（県ごと単独推定）が、青（階層ベイズ）ではグループ平均（緑破線）へ縮約される。データの少ない県ほど移動幅が大きい。※手法説明用の合成データであり、原論文の県別推定値ではない。

MCMC の収束診断 R̂ と、原論文での変数除外

ベイズ推定では、複数のチェーン（サンプルの系列）が同じ事後分布にたどり着いたかをR̂（Rhat, Gelman–Rubin 統計量）で確認する。R̂ が1.0に近ければ収束、1.1を大きく超えると要再検討である。原論文では生徒・教員比率と教育費（自治体）の相関係数が0.8と高く、R̂ が不安定になったため、生徒・教員比率を説明変数から除いて再サンプリングしている。

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# MCMC の収束診断 R-hat（Gelman–Rubin）
def rhat(chains):                 # chains: shape (チェーン数, サンプル数)
    M, N = chains.shape
    B = N * chains.mean(axis=1).var(ddof=1)     # チェーン間分散
    W = chains.var(axis=1, ddof=1).mean()       # チェーン内分散
    var_hat = (N - 1) / N * W + B / N
    return np.sqrt(var_hat / W)

print(f"収束ケース  R-hat = {rhat(good):.3f}")   # 1.0 に近ければ収束
print(f"未収束ケース R-hat = {rhat(bad):.3f}")   # 1.1 超で要再検討

収束ケース  R̂ = 0.999
未収束ケース R̂ = 3.256

図4：MCMC の収束診断 R̂ の概念デモ（合成データ）。左は2本のチェーンが同じ分布を探索（R̂≒1.0、収束）、右は別々の場所に留まる（R̂＞1.1、未収束）。※手法説明用の合成データ。

主要な発見（原論文の報告値）

回帰係数は、事後分布の信用区間にもとづいて有意かどうかを判断する。原論文が報告した主な結果は次のとおり。

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# 原論文 表4-1 の報告値を「転記」（再計算ではない）
# 義務教育費（自治体）の回帰係数 β_3：事後平均・5%点・95%点
report = [
    ('沖縄県',  9.27,  6.19, 13.84),
    ('高知県',  5.00,  0.58,  9.03),
    ('山形県',  4.43,  0.92,  7.91),
    ('栃木県',  4.22,  2.97,  5.50),
    ('青森県',  3.53,  2.41,  4.72),
    ('佐賀県',  1.58,  0.54,  2.63),
    ('福島県', -4.54, -7.37, -1.41),
]
for name, mean, lo, hi in report:
    print(f"{name}: 事後平均 {mean:+.2f}  90%信用区間 [{lo}, {hi}]")

沖縄県: 事後平均 +9.27  90%信用区間 [6.19, 13.84]
高知県: 事後平均 +5.00  90%信用区間 [0.58, 9.03]
山形県: 事後平均 +4.43  90%信用区間 [0.92, 7.91]
栃木県: 事後平均 +4.22  90%信用区間 [2.97, 5.5]
青森県: 事後平均 +3.53  90%信用区間 [2.41, 4.72]
佐賀県: 事後平均 +1.58  90%信用区間 [0.54, 2.63]
福島県: 事後平均 -4.54  90%信用区間 [-7.37, -1.41]

図3：義務教育費（自治体）の回帰係数 β₃ の事後平均と90%信用区間。原論文が費用対効果が高い県として挙げた7県を表示。沖縄県が突出して大きい。※図中の値はすべて原論文 表4-1 からの転記であり、本ページによる再計算ではない（報告値の可視化）。

結論・限界・今後の課題

結論

教育費の学力に対する費用対効果は都道府県ごとに異なることが示された。まず状態空間モデルで真の学力を推定してノイズを除き、次に階層ベイズモデルでその真の学力を目的変数として県別の費用対効果を推定した。費用対効果が高かった県の教育政策・予算配分・具体的施策に注目することで、学力向上に効く要因を特定できる可能性がある、というのが原論文の主張である。

限界（原論文が挙げた点）

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